一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分）
1．準(zhǔn)線為x=?2的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．y2=?8x B．y2=8x C．x2=8y D．x2=?8y
2．設(shè)x∈R，則x＞e的一個(gè)必要不充分條件是（ �。�
A．x＞1 B．x＜1 C．x＞3 D．x＜3
3．不等式ax2+bx?2≥0的解集為 ，則實(shí)數(shù)a，b的值為（ �。�
A．a(chǎn)=?8，b=?10 B．a(chǎn)=?1，b=9 C．a(chǎn)=?4，b=?9 D．a(chǎn)=?1，b=2
4．已知函數(shù)f（x）=（x?3）ex，則f′（0）=（ ）
A．2 B．?2 C．3 D．4
5．首項(xiàng)a1＞0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S5=S12，則Sn取得最大值時(shí)n的值為（ ）
A．7 B．8或9 C．8 D．10
6．橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，恰好是含60°角的菱形的四個(gè)頂點(diǎn)，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． 或 D． 或
7．等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a5a6+a4a7=18，則log3a1+log3a2+…log3a10=（ ）
A．12 B．10 C．8 D．2+log35
8．下列命題為真命題的是（ �。�
A．已知x，y∈R，則 是 的充要條件
B．當(dāng)0＜x≤2時(shí)，函數(shù)y=x? 無(wú)最大值
C．∀a，b∈R，
D．∃x∈R，sinx+cosx=
9．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若 ，且 ，則下列關(guān)系一定不成立的是（ �。�
A．a(chǎn)=c B．b=c C．2a=c D．a(chǎn)2+b2=c2
10．已知函數(shù)f（x）=（1? ）ex，若同時(shí)滿足條件：
①∃x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)；
②∀x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ �。�
A．（4，8] B．[8，+∞） C．（?∞，0）∪[8，+∞） D．（?∞，0）∪（4，8]
二、填空題（共5小題，每小題5分，滿分25分）
11．命題“∀x∈N，x2≠x”的否定是 �。�
12．在△ABC中，若BC=3，∠A= ，AC= ，則∠C的大小為 �。�
13．曲線f（x）=xsin x在點(diǎn)（ ， ）處的切線方程是 �。�
14．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇1，+∞），且f（2）=f（4）=1，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示，則不等式組 所表示的平面區(qū)域的面積是 �。�
15．以下幾個(gè)命題中：其中真命題的序號(hào)為 �。▽�(xiě)出所有真命題的序號(hào)）
①設(shè)A，B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，| |?| |=k，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；
②平面內(nèi)，到定點(diǎn)（2，1）的距離與到定直線3x+4y?10=0的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線；＜
③雙曲線 與橢圓 有相同的焦點(diǎn)；
④若方程2x2?5x+a=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，則0＜a＜3．
三、解答題（共6小題，滿分75分）
16．已知命題p：∃x0∈R，使得 成立；命題q：函數(shù)y=loga（x+1）在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)；
（1）若命題?p為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若命題“p或q”為真命題，且“p且q”為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
17．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a，b，c成等比數(shù)列．
（Ⅰ）若 ，B=60°，求a，b，c的值；
（Ⅱ）求角B的取值范圍．
18．已知橢圓 + =1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在此橢圓上，且PF1⊥F1F2，|PF1|= ，|PF2|= ．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線l過(guò)圓x2+y2+4x?2y=0的圓心M且交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且A，B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)，求直線l的方程．
19．?dāng)?shù)列{an}滿足a1=1且8an+1an?16an+1+2an+5=0（n≥1）．記 ．
（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn．
20．一個(gè)截面為拋物線形的舊河道（如圖1），河口寬AB=4米，河深2米，現(xiàn)要將其截面改造為等腰梯
梯形（如圖2），要求河道深度不變，而且施工時(shí)只能挖土，不準(zhǔn)向河道填土．
（1）建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并求出拋物線弧AB的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）試求當(dāng)截面梯形的下底（較長(zhǎng)的底邊）長(zhǎng)為多少米時(shí)，才能使挖出的土最少？
21．如圖，動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)A（?1，0）、B（2，0）構(gòu)成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C．
（Ⅰ）求軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=?2x+m與y軸交于點(diǎn)P，與軌跡C相交于點(diǎn)Q、R，且|PQ|＜|PR|，求 的取值范圍．
2018-2019學(xué)年山東省淄博市高青縣高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（文科）
參考答案與試題解析
一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分）
1．準(zhǔn)線為x=?2的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ �。�
A．y2=?8x B．y2=8x C．x2=8y D．x2=?8y
【考點(diǎn)】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【專(zhuān)題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．
【分析】先根據(jù)準(zhǔn)線求出p的值，然后可判斷拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上進(jìn)而可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)形式，將p的值代入可得答案．
【解答】解：由題意可知： =2，∴p=4且拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上
故可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2=2px
將p代入可得y2=8x
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力．屬基礎(chǔ)題．
2．設(shè)x∈R，則x＞e的一個(gè)必要不充分條件是（ �。�
A．x＞1 B．x＜1 C．x＞3 D．x＜3
【考點(diǎn)】必要條件．
【專(zhuān)題】規(guī)律型．
【分析】根據(jù)必要不充分的定義即可得到結(jié)論．
【解答】解：當(dāng)x＞1時(shí)，滿足條件．
x＜1是x＞e的既不必要也不充分條件．
x＞3是x＞e的充分不必要條件．
x＜3是x＞e的既不必要也不充分條件．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，利用定義是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．
3．不等式ax2+bx?2≥0的解集為 ，則實(shí)數(shù)a，b的值為（ �。�
A．a(chǎn)=?8，b=?10 B．a(chǎn)=?1，b=9 C．a(chǎn)=?4，b=?9 D．a(chǎn)=?1，b=2
【考點(diǎn)】一元二次不等式的解法．
【專(zhuān)題】不等式的解法及應(yīng)用．
【分析】由不等式ax2+bx?2≥0的解集為 ，可得 解出即可．
【解答】解：∵不等式ax2+bx?2≥0的解集為 ，
∴
解得a=?4，b=?9．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．
4．已知函數(shù)f（x）=（x?3）ex，則f′（0）=（ �。�
A．2 B．?2 C．3 D． 4
【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．
【專(zhuān)題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．
【分析】根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式直接進(jìn)行求導(dǎo)，然后即可求f'（0）的值．
【解答】解：∵f（x）=（x?3）ex，
∴f'（x）=ex+（x?3）ex=（x?2）ex，
∴f'（0）=（0?2）e0=?2，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，要求熟練掌握常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，比較基礎(chǔ)．
5．首項(xiàng)a1＞0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S5=S12，則Sn取得最大值時(shí)n的值為（ �。�
A．7 B．8或9 C．8 D．10
【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【專(zhuān)題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．
【分析】由已知條件利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出a1=?8d，再結(jié)合題設(shè)條件推導(dǎo)出Sn= ，由此利用二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性能求出結(jié)果．
【解答】解：∵首項(xiàng)a1＞0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S5=S12，
∴ ，
解得a1=?8d，
∵a1＞0，
∴d＜0，
∴
= ，
∵d＜0，
∴Sn是一個(gè)關(guān)于n的開(kāi)口向下的拋物線，
∵S5=S12，
∴由二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性知：
當(dāng) ，即n=8或n=9時(shí)，Sn取得最大值．
故選B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，解題時(shí)要注意二次函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用，是中檔題．
6．橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，恰好是含60°角的菱形的四個(gè)頂點(diǎn)，則橢圓的離心率為（ �。�
A． B． C． 或 D． 或
【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．
【專(zhuān)題】分類(lèi)討論；分析法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．
【分析】由題意可得tan30°= ，或tan60
°= ，再由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值．
【解答】解：由于橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸兩個(gè)頂點(diǎn)，
是一個(gè)含60°角的菱形的四個(gè)頂點(diǎn)，
則tan30°= ，或tan60°= ，
當(dāng) = 時(shí)，即b= c，即有a= =2c，
由e= = ；
當(dāng) = 時(shí)，即b= c，即有a= = c，
由e= = ．
可得離心率為 或 ．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，運(yùn)用分類(lèi)討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．
7．等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a5a6+a4a7=18，則log3a1+log3a2+…log3a10=（ �。�
A．12 B．10 C．8 D．2+log35
【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)；對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．
【專(zhuān)題】計(jì)算題．
【分析】先根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)可知a5a6=a4a7，進(jìn)而根據(jù)a5a6+a4a7=18，求得a5a6的值，最后根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5答案可得．
【解答】解：∵a5a6=a4a7，
∴a5a6+a4a7=2a5a6=18
∴a5a6=9
∴l(xiāng)og3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5=5log39=10
故選B
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是靈活利用了等比中項(xiàng)的性質(zhì)．
8．下列命題為真命題的是（ �。�
A．已知x，y∈R，則 是 的充要條件
B．當(dāng)0＜x≤2時(shí)，函數(shù)y=x? 無(wú)最大值
C．∀a，b∈R，
D．∃x∈R，sinx+cosx=
【考點(diǎn)】特稱(chēng)命題．
【專(zhuān)題】證明題；整體思想；綜合法；簡(jiǎn)易邏輯．
【分析】A利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷
B利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷
C根據(jù)基本不等式成立的條件進(jìn)行判斷
D根據(jù)三角函數(shù)的有界性進(jìn)行判斷
【解答】解：A．當(dāng)x=4，y=1，滿足 ，但 不成立，即 不是 的充要條件，故A錯(cuò)誤，
B．當(dāng)0＜x≤2時(shí)，函數(shù)y=x? 為增函數(shù)，則當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取得最大值，故B錯(cuò)誤，
C．當(dāng)a，b＜0時(shí)， 不成立，故C錯(cuò)誤，
D．sinx+cosx= sin（x+ ）∈[? ， ]，
∵ ∈[? ， ]，∴∃x∈R，sinx+cosx= ，故D正確，
故選：D
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查命題的真假判斷，涉及充分條件和必要條件，函數(shù)單調(diào)性，基本不等式以及三角函數(shù)的真假判斷，知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，但難度不大．
9．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若 ，且 ，則下列關(guān)系一定不成立的是（ �。�
A．a(chǎn)=c B．b=c C．2a=c D．a(chǎn)2+b2=c2
【考點(diǎn)】余弦定理．
【專(zhuān)題】解三角形．
【分析】利用余弦定理表示出cosA，將已知第一個(gè)等式代入求出cosA的值，確定出A度數(shù)，再利用正弦定理化簡(jiǎn)第二個(gè)等式，求出sinB的值，確定出B的度數(shù)，進(jìn)而求出C的度數(shù)，確定出三角形ABC形狀，即可做出判斷．
【解答】解：∵b2+c2?a2= bc，
∴cosA= = ，
∴A=30°，
由正弦定理化簡(jiǎn)b= a，得到sinB= sinA= ，
∴B=60°或120°，
當(dāng)B=60°時(shí)，C=90°，此時(shí)△ABC為直角三角形，
得到a2+b2=c2，2a=c；
當(dāng)B=120°時(shí)，C=30°，此時(shí)△ABC為等腰三角形，
得到a=c，
綜上，b=c不一定成立，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正弦、余弦定理，以及直角三角形與等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．
10．已知函數(shù)f（x）=（1? ）ex，若同時(shí)滿足條件：
①∃x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)；
②∀x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ �。�
A．（4，8] B．[8，+∞） C．（?∞，0）∪[8，+∞） D．（?∞，0）∪（4，8]
【考點(diǎn)】函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．
【專(zhuān)題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．
【分析】求導(dǎo)數(shù)，由①得到 ；
由②∀x∈（8，+∞），f（x）＞0，故只需f（x）在（8，+∞）上的最小值大于0即可，
分別解出不等式即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍為4＜a≤8．
【解答】解：由于 ，則 =
令f
′（x）=0，則 ，
故函數(shù)f（x）在（?∞，x1），（x2，+∞）上遞增，在（x1，x2）上遞減
由于∀x∈（8，+∞），f（x）＞0，故只需f（x）在（8，+∞）上的最小值大于0即可，
當(dāng)x2＞8，即 時(shí)，函數(shù)f（x）在（8，+∞）上的最小值為 ，此時(shí)無(wú)解；
當(dāng)x2≤8，即 時(shí)，函數(shù)f（x）在（8，+∞）上的最小值為 ，解得a≤8．
又由∃x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)，故 解得a＞4；
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為4＜a≤8
故答案為 A
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，屬于基礎(chǔ)題．
二、填空題（共5小題，每小題5分，滿分25分）
11．命題“∀x∈N，x2≠x”的否定是 ∃x∈N，x2=x�。�
【考點(diǎn)】命題的否定．
【專(zhuān)題】簡(jiǎn)易邏輯．
【分析】根據(jù)全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題，
∴命題的否定是：∃x∈N，x2=x．
故答案為：∃x∈N，x2=x．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎(chǔ)．
12．在△ABC中，若BC=3，∠A= ，AC= ，則∠C的大小為 �。�
【考點(diǎn)】正弦定理．
【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；解三角形．
【分析】由已知及正弦定理可得sinB= = ，由大邊對(duì)大角可得0＜B＜ ，即可解得B的值，利用三角形內(nèi)角和定理即可求C的值．
【解答】解：∵BC=3，∠A= ，AC= ，
∴由正弦定理可得：sinB= = = ，
∵AC＜BC，由大邊對(duì)大角可得：0＜B＜ ，
∴B= ，
∴C=π?A?B= ．
故答案為： ．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，大邊對(duì)大角，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，求B的值是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．
13．曲線f（x）=xsin x在點(diǎn)（ ， ）處的切線方程是 x?y=0�。�
【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．
【專(zhuān)題】導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．
【分析】求導(dǎo)函數(shù)，求出切線的斜率，再求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，可得切線方程．
【解答】解：∵f（x）=xsinx，
∴f′（x）=sinx+xcosx，
∴f′（ ）=1，
∵f（ ）= ，
∴曲線f（x）=xsin x在點(diǎn)（ ， ）處的切線方程是y? =x? ，即x?y=0．
故答案為：x?y=0．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查切線方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
14．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇1，+∞），且f（2）=f（4）=1，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示，則不等式組 所表示的平面區(qū)域的面積是 3�。�
【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用．
【專(zhuān)題】數(shù)形結(jié)合；不等式的解法及應(yīng)用．
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，確定f（x）在[1，3）上是減函數(shù)，在[3，+∞）上是增函數(shù)，結(jié)合f（2）=f（4）=1，可得一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次不等式組，畫(huà)出滿足條件的可行域，根據(jù)平面圖形，由面積公式可得答案．
【解答】解：由圖可知，f（x）在[1，3）上是減函數(shù)，在[3，+∞）上是增函數(shù)，
又f（2）=f（4）=1，f（2x+y）≤1，
所以2≤2x+y≤4，
從而不等式組為 ，作出可行域如圖所示，
其面積為S=×2×4?×1×2=3．
故答案為：3
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用，函數(shù)的圖象與性質(zhì)，平面區(qū)域的面積問(wèn)題是線性規(guī)劃問(wèn)題中一類(lèi)重要題型，在解題時(shí)，關(guān)鍵是正確地畫(huà)出平面區(qū)域，然后結(jié)合有關(guān)面積公式求解．
15．以下幾個(gè)命題中：其中真命題的序號(hào)為�、邰堋。▽�(xiě)出所有真命題的序號(hào)）
①設(shè)A，B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，| |?| |=k，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；
②平面內(nèi)，到定點(diǎn)（2，1）的距離與到定直線3x+4y?10=0的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線；＜
③雙曲線 與橢圓 有相同的焦點(diǎn)；
④若方程2x2?5x+a=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，則0＜a＜3．
【考點(diǎn)】曲線與方程．
【專(zhuān)題】綜合題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．
【分析】①根據(jù)雙曲線的定義知①不正確；
②說(shuō)明點(diǎn)（2，1）在直線3x+4y?10=0上，不滿足拋物線的定義；
③雙曲線的離心率大于1，橢圓的離心率小于1
大于0，即可判定；
④求出雙曲線的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)，即可判定．
【解答】解：①平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)k（k＜|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，當(dāng)0＜k＜|AB|時(shí)是雙曲線的一支，當(dāng)k=|AB|時(shí)，表示射線，∴①不正確；
②在平面內(nèi)，點(diǎn)（2，1）在直線3x+4y?10=0上，
∴到定點(diǎn)（2，1）的距離與到定直線3x+4y?10=0的距離相等的點(diǎn)的軌跡不是拋物線，∴②不正確；
③雙曲線 與橢圓 的焦點(diǎn)都是（± ，0），有相同的焦點(diǎn)，正確；
④正確方程2x2?5x+a=0的可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，則 ，∴0＜a＜3，正確；
故答案為：③④．
【點(diǎn)評(píng)】本題通過(guò)命題真假的判定考查橢圓、雙曲線拋物線的定義、性質(zhì)和曲線的方程與方程的曲線等問(wèn)題，是綜合題目．
三、解答題（共6小題，滿分75分）
16．已知命題p：∃x0∈R，使得 成立；命題q：函數(shù)y=loga（x+1）在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)；
（1）若命題?p為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若命題“p或q”為真命題，且“p且q”為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【考點(diǎn)】復(fù)合命題的真假．
【專(zhuān)題】簡(jiǎn)易邏輯．
【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是復(fù)合命題的真假判定，解決的辦法是先判斷組成復(fù)合命題的簡(jiǎn)單命題的真假，再根據(jù)真值表進(jìn)行判斷．
【解答】解：（1）∵命題p：∃x0∈R，使得 成立
∴?p：∀x∈R，ax2?2x?1≤0成立
∴①a≥0時(shí) ax2?2x?1≤0不恒成立
②由 得a≤?1
（2）∵命題q：函數(shù)y=loga（x+1）在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)
∴命題q為真，實(shí)數(shù)a的取值范圍是：0＜a＜1
∵命題“p或q”為真，且“p且q”為假，
∴命題p、q一真一假
①當(dāng)p真q假時(shí)，則 ，得實(shí)數(shù)a的取值范圍，?1＜a≤0或a≥1
②當(dāng)p假q真時(shí)，則 ，實(shí)數(shù)a的取值范圍：無(wú)解
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是?1＜a≤0或a≥1
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是復(fù)合命題的真假判定，屬于基礎(chǔ)題目
17．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a，b，c成等比數(shù)列．
（Ⅰ）若 ，B=60°，求a，b，c的值；
（Ⅱ）求角B的取值范圍．
【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)；余弦定理．
【專(zhuān)題】綜合題；等差數(shù)列與等比數(shù)列；解三角形．
【分析】（Ⅰ）利用等比數(shù)列的性質(zhì)，可得b2=ac，再結(jié)合余弦定理，即可求a，b，c的值；
（Ⅱ）利用余弦定理，結(jié)合基本不等式，即可求角B的取值范圍．
【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等比數(shù)列，
∴b2=ac???????????????????????（2分）
∵B=60°
∴ ???????????????????????（4分）
聯(lián)立方程組 ，
解得 ???????????????????????（6分）
（Ⅱ） ???????????????????????（8分）
∵a2+c2≥2ac，∴ ???????????????????????（10分）
∴0°＜B≤60°???????????????????????（12分）
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查余弦定理的運(yùn)用，考查基本不等式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用余弦定理是關(guān)鍵．
18．已知橢圓 + =1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在此橢圓上，且PF1⊥F1F2，|PF1|= ，|PF2|= ．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線l過(guò)圓x2+y2+4x?2y=0的圓心M且交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且A，B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)，求直線l的方程．
【考點(diǎn)】橢圓的應(yīng)用．
【專(zhuān)題】綜合題；壓軸題．
【分析】解：（Ⅰ）由題意可知2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3， ，由此可求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）解法一：設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1，y1）、（x2，y2）．設(shè)直線l的方程為y=k（x+2）+1，代入橢圓C的方程得（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k?27=0．因?yàn)锳，B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)．所以 ．解得 ，由此可求出直線l的方程．
（Ⅱ）解法二：設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2）．由題意x1≠x2且 ，① ，②
由①?②得 ．③因?yàn)锳、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)，所以x1+x2=?4，y1+y2=2，代入③得直線l的斜率為 ，由此可求出直線l的方程．
【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C
上，所以2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3．
在Rt△PF1F2中， ，
故橢圓的半焦距c= ，
從而b2=a2?c2=4，
所以橢圓C的方程為 =1．
（Ⅱ）解法一：
設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1，y1）、（x2，y2）．
已知圓的方程為（x+2）2+（y?1）2=5，
所以圓心M的坐標(biāo)為（?2，1）．
從而可設(shè)直線l的方程為
y=k（x+2）+1，
代入橢圓C的方程得
（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k?27=0．
因?yàn)锳，B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)．
所以 ．
解得 ，
所以直線l的方程為 ，
即8x?9y+25=0．
（經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意）
（Ⅱ）解法二：
已知圓的方程為（x+2）2+（y?1）2=5，
所以圓心M的坐標(biāo)為（?2，1）．
設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2）．
由題意x1≠x2且 ，① ，②
由①?②得 ．③
因?yàn)锳、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)，
所以x1+x2=?4，y1+y2=2，
代入③得 = ，
即直線l的斜率為 ，
所以直線l的方程為y?1= （x+2），
即8x?9y+25=0．
（經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意．）
【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查直線和圓、橢圓的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解題，避免錯(cuò)誤．
19．?dāng)?shù)列{an}滿足a1=1且8an+1an?16an+1+2an+5=0（n≥1）．記 ．
（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn．
【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．
【專(zhuān)題】計(jì)算題；壓軸題．
【分析】（法一）（I）由a1結(jié)合遞推公式可求a2，a3，a4，代入 求b1，b2，b3，b4
（II）先由（I）中求出的b1，b2，b3，b4的值，觀察規(guī)律可猜想數(shù)列 為等比數(shù)列，進(jìn)而可求bn，結(jié)合 ⇒ ，從而猜想得以證明，代入求出an•bn，進(jìn)而求出前n和sn
（法二）（I） 代入遞推公式可得 ，代入可求b1，b2，b3，b4
（II）利用（I）中的遞推關(guān)系個(gè)構(gòu)造數(shù)列 為等比數(shù)列，從而可求bn，sn
（法三）（I）同法一
（II）先由（I）中求出的b1，b2，b3，b4的值，觀察規(guī)律可猜想數(shù)列bn+1?bn為等比數(shù)列，仿照法一再證明猜想，根據(jù)求通項(xiàng)的方法求bn，進(jìn)一步求sn
【解答】解：法一：
（I）a1=1，故 ； ，
故 ； ，
故 ； ，
故 ．
（II）因 ，
故猜想 是首項(xiàng)為 ，公比q=2的等比數(shù)列．
因an≠2，（否則將an=2代入遞推公式會(huì)導(dǎo)致矛盾）故 ．
因 ，
故 確是公比為q=2的等比數(shù)列．
因 ，故 ， ，
由 得 ，
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn= = =
法二：
（Ⅰ）由 得 ，代入遞推關(guān)系8an+1an?16an+1+2an+5=0，
整理得 ，即 ，
由a1=1，有b1=2，所以 ．
（Ⅱ）由 ，
所以 是首項(xiàng)為 ，公比q=2的等比數(shù)列，
故 ，即 ．
由 ，得 ，
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn= = = ．
法三：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ） 猜想{bn+1?bn}是首項(xiàng)為 ，
公比q=2的等比數(shù)列，
又因an≠2，故 ．
因此 =
；
= ．
因 是公比q=2的等比數(shù)列， ，
從而bn=（bn?bn?1）+（bn?1?bn?2）+…+（b2?b1）+b1=
=
= ．
由 得 ，
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn= = = ．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列的綜合運(yùn)用：遞推關(guān)系的運(yùn)用，構(gòu)造等比求數(shù)列通項(xiàng)，累加求通項(xiàng)，歸納推理的運(yùn)用，綜合考查了考生的推理運(yùn)算能力．
20．一個(gè)截面為拋物線形的舊河道（如圖1），河口寬AB=4米，河深2米，現(xiàn)要將其截面改造為等腰梯形（如圖2），要求河道深度不變，而且施工時(shí)只能挖土，不準(zhǔn)向河道填土．
（1）建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并求出拋物線弧AB的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）試求當(dāng)截面梯形的下底（較長(zhǎng)的底邊）長(zhǎng)為多少米時(shí)，才能使挖出的土最少？
【考點(diǎn)】拋物線的應(yīng)用．
【專(zhuān)題】應(yīng)用題．
【分析】（1）以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，AB中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，一依題意可
知A，B的坐標(biāo)，設(shè)出拋物線的方程，把點(diǎn)B代入求得p，進(jìn)而可求得拋物線的方程．
（2）設(shè)等腰梯形的腰與拋物線相切于P，則可利用導(dǎo)函數(shù)求得P的切線的斜率，表示直線l的方程，分別令y=0和2求得x，利用梯形面積求得面積的表達(dá)式，利用基本不等式求得三角形面積的小值．
【解答】解：（1）如圖：以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，AB中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系
則A（?2，2），B（2，2）
設(shè)拋物線的方程為x2=2Py（P＞0），
將點(diǎn)B（2，2）代入得P=1
所以拋物線弧AB方程為x2=2y（?2≤x≤2）
（2）設(shè)等腰梯形的腰與拋物線相切于 ，（不妨t＞0）
則過(guò) 的切線l的斜率為y′|x=t=t
所以切線l的方程為： ，即
令y=0，得 ，
令y=2，得 ，
所以梯形面積
當(dāng)僅當(dāng) ，即 時(shí)，“=”成立
此時(shí)下底邊長(zhǎng)為
答：當(dāng)梯形的下底邊長(zhǎng)等于 米時(shí)，挖出的土最少．
【點(diǎn)評(píng)】考查待定系數(shù)法求曲線方程的知識(shí)；考查直線方程的知識(shí)；考查由函數(shù)導(dǎo)數(shù)或判別式法求曲線切線的知識(shí)；考查應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性或不等式求函數(shù)最值的知識(shí)；考查選擇恰當(dāng)參數(shù)建立數(shù)學(xué)式子研究幾何圖形的解析幾何思維；考查根據(jù)實(shí)際選擇數(shù)學(xué)模型的能力（即數(shù)學(xué)建模能力）．
21．如圖，動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)A（?1，0）、B（2，0）構(gòu)成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C．
（Ⅰ）求軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=?2x+m與y軸交于點(diǎn)P，與軌跡C相交于點(diǎn)Q、R，且|PQ|＜|PR|，求 的取值范圍．
【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；圓錐曲線的軌跡問(wèn)題．
【專(zhuān)題】綜合題；壓軸題．
【分析】（Ⅰ）設(shè)出點(diǎn)M（x，y），分類(lèi)討論，根據(jù)∠MBA=2∠MAB，利用正切函數(shù)公式，建立方程化簡(jiǎn)即可得到點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）直線y=?2x+m與3x2?y2?3=0（x＞1）聯(lián)立，消元可得x2?4mx+m2+3=0①，利用①有兩根且均在（1，+∞）內(nèi)
可知，m＞1，m≠2設(shè)Q，R的坐標(biāo)，求出xR，xQ，利用 ，即可確定 的取值范圍．
【解答】解：（Ⅰ）設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），顯然有x＞0，且y≠0
當(dāng)∠MBA=90°時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，±3）
當(dāng)∠MBA≠90°時(shí)，x≠2，由∠MBA=2∠MAB有tan∠MBA= ，
化簡(jiǎn)可得3x2?y2?3=0
而點(diǎn)（2，±3）在曲線3x2?y2?3=0上
綜上可知，軌跡C的方程為3x2?y2?3=0（x＞1）；
（Ⅱ）直線y=?2x+m與3x2?y2?3=0（x＞1）聯(lián)立，消元可得x2?4mx+m2+3=0①
∴①有兩根且均在（1，+∞）內(nèi)
設(shè)f（x）=x2?4mx+m2+3，∴ ，∴m＞1，m≠2
設(shè)Q，R的坐標(biāo)分別為（xQ，yQ），（xR，yR），
∵|PQ|＜|PR|，∴xR=2m+ ，xQ=2m? ，
∴ = =
∵m＞1，且m≠2
∴ ，且
∴ ，且
∴ 的取值范圍是（1，7）∪（7，7+4 ）
【點(diǎn)評(píng)】本題以角的關(guān)系為載體，考查直線、雙曲線、軌跡方程的求解，考查思維能力，運(yùn)算能力，考查思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，解題的關(guān)鍵是確定參數(shù)的范圍．
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaoer/1135935.html
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