勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關(guān)系，大約在公元前1100多年前，商高已經(jīng)證明了普通意義下的勾股定理，在國外把勾股定理稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”．
勾股定理是平面幾何中一個(gè)重要定理，其廣泛的應(yīng)用體現(xiàn)在：勾股定理是現(xiàn)階段線段計(jì)算、證明線段平方關(guān)系的主要方法，運(yùn)用勾股 定理的逆定理，通過計(jì)算也是證明兩直線垂直位置關(guān)系的一種 有效手段．
直角三角形是一類特殊三角形，有著豐富的性質(zhì)：兩銳角互余(角的關(guān)系)、勾股定理(邊的關(guān)系)，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半(邊角關(guān)系)，這些性質(zhì)在求線段的長度、證明線段倍分關(guān)系、證明線段平方關(guān)系等方面有廣泛的應(yīng)用．
例題求解
【例1】如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊AB為邊向內(nèi)作等邊△ABD，連結(jié)DC，以DC為邊作等邊△DCE，B、E在CD的同側(cè)，若AB= ，則BE= ．
(重慶市中考題)
思路點(diǎn)撥 因BE不是直 角三角形的邊，故不能用勾股定理直接計(jì)算，需找出與BE相等的線段轉(zhuǎn)化問題．
注 千百年來，勾股定理的證明吸引著數(shù)學(xué)愛好者，目前有400多種證法，許多證法的共同特點(diǎn)是通過弦圖的割補(bǔ)、借助面積加以證明，美國第20任總統(tǒng)加菲爾德(1831—1881)曾給出一個(gè)簡單證法．
勾股定理的發(fā)現(xiàn)是各族人民早期文明的特征，有人建議，將來與“外星人”交往，可以把勾股定理轉(zhuǎn)化為光電訊號(hào)，傳向異域，他們一定懂得勾股定理．
現(xiàn)已確定的2002年8月在北京舉行的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)來源于弦圖的圖案．
【例2】 2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)取 材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖所示)．如果 大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較短直角邊為a，較長直角邊為b，那么(a+b)2的值為( )
A．13 B ．19 C．25 D．169
(山東省中考題)
思路點(diǎn)撥 利用勾股定理、面積關(guān)系建立a、b的方程組．
【例3】 如圖，P為△ABC邊BC上的一點(diǎn)，且PC＝2PB， 已知∠ABC＝45°，∠APC＝60°，求∠ACB的度數(shù)．
(“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題)
思路點(diǎn)撥 不可能簡單地由角的關(guān)系推出∠ACB的度數(shù)，解本例的關(guān)鍵是由條件構(gòu)造出含30°角的直角三角形．
【例4】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，設(shè)AC＝b，BC＝a，AB=c，CD=h．
求證：（1） ；
(2) ；
(3) 以 、 、 為邊的三角形，是直角三角形．
思路點(diǎn)撥 (1)只需證明 ，從左邊推導(dǎo)到右邊；（2）證明( ；(3)證明 ．在證明過程中，注意面積關(guān)系式 的應(yīng)用．
【例5】 一個(gè)直角三角形的邊長都是整數(shù)，它的面積和周長的數(shù)值相等，這樣的直角三角形是否存在?若存在，確定它三邊的長，若不存 在，說明理由．
(北京市競(jìng)賽題)
思路點(diǎn)撥 假設(shè)存在符合條件的直角三角形，它的三邊長為a、b、c，其中c為斜邊，則 ，于是將存在性問題的討論轉(zhuǎn)化為求方程組的解．
注 當(dāng)勾股定理不能直接運(yùn)用時(shí)，常需要通過等線段的代換、作輔助垂線等途徑，為勾股定理的運(yùn)用創(chuàng)造必要的條件，有時(shí)又需要由線段的數(shù)量關(guān)系去判斷線段的位置關(guān)系， 這就需要熟悉一些常用的勾股數(shù)組．
從代數(shù)角度，考察方程 的正整數(shù)解，古代中國人發(fā)現(xiàn)了“勾三股，四弦五”，古希臘人找到了這個(gè)方程的全部整數(shù)解（用代數(shù)式表示的勾股數(shù)組）．
17世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬提出猜想：當(dāng) ≥3時(shí)，方程 無正整數(shù)解．
1994年，曼國普林斯頓大學(xué)維爾斯教授歷盡艱辛證明了這個(gè)猜想，被譽(yù)為20世紀(jì)最偉大的成果．
一般地，在有等邊三角形、正 方形的條件下，可將圖形旋轉(zhuǎn)60°或90°，旋轉(zhuǎn)過程中角度、線段的長度保持不變，在新的位置上分散的條件相對(duì)集中，以便挖掘隱含條件，探求解題思路．
學(xué)力訓(xùn)練
1．如圖，AD是△ABC的中線，∠ADC=45°，把△ACD沿AD對(duì)折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′的位置，則BC′與BC之間的數(shù)量關(guān)系是 ．(山西省中考題)
2．如圖，△ABC是直角三角形，BC是斜邊，將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，能與△ACP'重合，若AP＝3，則PP′的長等于 ．
3．如圖，已知AB=13，BC=14，AC=15，AD⊥BC于D，則AD= ．
(武 漢市選拔賽試題)
4．如圖，四邊形ABCD中，AB＝3cm，BC=4cm，CD=12?，DA=13cm，且∠ABC=90°，則四邊形ABCD的面積是 cm2．
5．如圖，一個(gè)長為10米的梯子，斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8米，如果梯子的頂端下滑1米，那么，梯子底端的滑動(dòng)距離( )
A．等于1米 B．大于l米 C．小于l米 D．不確定
(寧波市中考題)
6．如果一個(gè)三角形的一條邊是另一條邊的2倍，并且有一個(gè)角是30°，那么這個(gè)三角形的形狀是( )
A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．銳角三角形 D．不能確定
7．在四邊形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D＝90°，BC=2，CD=3，則AB=( )
8．在由單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)出了AB，CD，EF，GH四條線段，其中能構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的線段是( )
A．CD，EF，GH B．AB，CD，EF C．AB，CD，GH D．AB，EF，GH
(北京市競(jìng)賽題)
9．如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫三角形：(1)使三角形的三邊長分別為3，2 ， ；(2)使三角形為鈍角三角形且面積為4．
(吉林省中考題)
10．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，MN垂直平分AB，求證：CM=2BM．
(南道市中考題)
11．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，D為斜邊BC中點(diǎn)，DE⊥DF，求證： ．
12．如圖，在△ABC中，AB=5，AC=13，邊BC上的中線AD=6，則BC的長為 ．
(湖北省預(yù)賽試題)
13．如圖，設(shè)P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，PA=3，PB=4，PC=5，則∠APB的度數(shù)是 ．
14．如圖，一個(gè)直角三角形的三邊長均為正整數(shù)，已知它的一條直角邊的長恰是1997，那么另一條直角邊的長為 ．
15．若△ABC的三邊a、b、c滿足條件： ，則這個(gè)三角形最長邊上的高為 ．
16．在銳角△ABC中，已知某兩邊a=1，b=3，那么第三邊的變化范圍是( )
A．2
17．如圖，用3個(gè)邊長為l的正方形組成一個(gè)對(duì)稱圖形，則能將其完全覆蓋的圓的最小半徑為( )
A． B． C． D．
(天津市競(jìng)賽題)
18．△ABC三邊BC、CA、AB的長分別為a、b、c，這三邊的高依次為 、 、 ，若a≤ ，b≤，則這個(gè)三角形為( )
A．等邊三角形 B．等腰非直角三角形 C．直角非等腰三角形 D．等腰直角三角形
(武漢市選拔賽試題)
19．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，則CF與CB的大小關(guān)系是( )
A． CF>GB B． CF＝GB C．GF
21．如圖，在△ABC中，AB=AC，(1)若P是BC邊上的中點(diǎn)，連結(jié)AP，求證：BP×CP=AB2一AP2；(2)若P是BC邊上任意一點(diǎn)，上面的結(jié)論還成立嗎?
若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說明理由；(3)若P是BC邊延長線上一點(diǎn)，線段AB、AP、BP、CP之間有什么樣的關(guān)系?請(qǐng)證明 你的結(jié)論．
22．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，E、F分別是BC上兩點(diǎn)，若∠EAF=45°，試推斷BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
23．如圖，∠ACB=90°，AD是∠CAB 的平分線，BC=4，CD= ，求AC的長．
(河南省競(jìng)賽題)
24．(1)四年一度的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)于2002年8月20日在北京召開．大會(huì)會(huì)標(biāo)如圖甲．它是由四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．
若大正方形的面積為13，每個(gè)直角三角形兩直角邊的和是5，求中間小正方形的面積．
(2)現(xiàn)有一張長為6.5cm．寬為2?的紙片，如圖乙，請(qǐng)你將它分割成6塊，再拼合成一個(gè)正方形．(要求：先在圖乙中畫出分割線，再畫出拼成的正方形并標(biāo)明相應(yīng)數(shù)據(jù))
(煙臺(tái)市中考題)
25．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD，求證：BD2=AB2+BC2．
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/chuer/56947.html
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