第十講 全等三角形
全等三角形是平面幾何內(nèi)容的基礎(chǔ),這是因為全等三角形是研究特殊三角形、四邊形等圖形性質(zhì)的有力工具,是解決與線段、角相關(guān)問題的一個出發(fā)點,運用全等三角形,可以證明線 段相等、線段的和差倍分關(guān)系、角相等、兩直線位置關(guān)系等常見的幾何問題 .
利用全等三角形證明問題,關(guān)鍵在于從復(fù)雜的圖形中找到一對基礎(chǔ)的三角形,這對基礎(chǔ)的三角形從實質(zhì)上來說,是由三角形全等判定定理中的一對三角形變位而來,也可能是由幾對三角形組成,其間的關(guān)系互相傳遞,應(yīng)熟悉涉及有公共邊、公共角的以下兩類基本圖形:
例題求解
【例1】 如圖,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AC=AF,給出下列結(jié)論:①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=DN,其中正確的結(jié)論是 (把你認為所有正確結(jié)論的序號填上). (廣州市中考題)
思路點撥 對一個復(fù)雜的圖形,先找出比較明顯的一對全等三角形,并發(fā)現(xiàn)有用的條件,進而判斷推出其他三角形全等.
注 兩個三角形的全等是指兩個圖形之間的一種‘對應(yīng)”關(guān)系,“對應(yīng)’兩字,有“相當(dāng)”、“相應(yīng)”的含意,對應(yīng)關(guān)系是按一定標準的一對一的關(guān)系,“互相重合”是判斷其對應(yīng)部分的標準.
實際遇到的圖形,兩個全等三角形并不重合在一起,但其中一個三角形是由另一個三角形按平行移動、翻拆、旋轉(zhuǎn)等方法得到,這種改變位置,不改變形狀大小的圖形變動叫三角形的全等變換.
【例2】 在△ABC中,AC=5,中線AD =4,則邊AB的取值范圍是( )
A.1
思路點撥 線段AC、AD、AB不是同一個三角形的三條邊,通過中線倍長將分散的條件加以集中.
【例3】 如圖,BD、CE分別是△ABC的邊AC和AB上的高,點P在BD的延長線上,BP=A C,點Q在CE上,CQ=AB
求證:(1)AP=AQ;(2)AP⊥AQ.
(江蘇省競賽題)
思路點撥 (1)證明對應(yīng)的兩個三角形全等;(2)在(1)的基礎(chǔ)上,證明∠PAQ=90°
【例4】 若兩個三角形的兩邊和其中一邊上的高分別對應(yīng)相等,試判斷這兩個三角形的第三邊所對的角之間的關(guān)系,并說明理由.
( “五羊杯”競賽題改編題)
思路點撥 運用全等三角形的判定和性質(zhì),探討兩角之間的關(guān)系,解題的關(guān)鍵是由高的特殊性,分三角形的形狀討論.
注 有時圖中并沒有直接的全等三角形,,需要通過作輔助線構(gòu)造全等三角形,完成恰當(dāng)添輔助線的任務(wù),我們的思堆要經(jīng)歷一個觀察、聯(lián)想、構(gòu)造的過程.
邊 、角、中線、角平分線、高是三角形的基本元素,從以上諸元素中選取三個條件使之組合可得到關(guān)于三角形全等判定的若干命題,其中有真有假,課本中全等三角形的判定方法只涉及邊、角兩類元素.
【例5】 如圖,已知四邊形紙片ABCD中,AD∥ BC,將∠ABC、∠DAB分別對折,如果兩條折痕恰好相交于DC上一點E,你能獲得哪些結(jié)論?
思路點撥 折痕前后重合的部分是全等的,從線段關(guān)系、角的關(guān)系、面積關(guān)系等不同方面進行探索,以獲得更多的結(jié)論.
注 例5融操作、觀察、猜想、推理于一體,需要一定的綜合能力.推理論證既是說明道理,也是探索、發(fā)現(xiàn)的逄徑.
善于在 復(fù)雜的圖形中發(fā)現(xiàn)、分解、構(gòu)造基本的全等三角形是解題的關(guān)鍵,需要注的是,通常面臨以下情況時,我們才考慮構(gòu)造全等三角形:
(1)給出的圖形中沒有全等三角形,而證明結(jié)論需要全等三角形;
(2)從題設(shè)條件無法證明圖形中的三角形全等,證明需要另行構(gòu)造全等三角形.
學(xué)力訓(xùn)練
1.如圖,AD、A′D′分別是銳角△ABC和△A′B′C′中BC、B′C邊上的高,且AB= A′B′,AD=A′D,若使△ABC≌△A′B′C′,請你補充條件(只需要填寫一個你
認為適當(dāng)?shù)臈l件) . (黑龍江省中考題)
2.如圖,在△ABD和△ACE中,有下列4個論斷:①AB=AC;②AD=AC;③∠B=∠C;④BD=CE,請以其中三個論斷作為條件,余下一個論斷作為結(jié)論,寫出一個真命題(用序號○○○→○的形式寫出) . (海南省中考題)
3.如圖,把大小為4×4的正方形方格圖形分割成兩個全等圖形,例如圖1.請在下圖 中,沿著虛線畫出四種不同的分法,把4×4的正方形方格圖形分割成兩個全等圖形.
4.如圖,DA⊥AB,EA⊥AC,AB=AD,AC=AE,BE和CD相交于O,則∠DOE的度數(shù)是 .
5.如圖,已知OA=OB,OC=OD,下列結(jié)論中:①∠A=∠B;(②DE=CE;③連OE,則OE平分∠O,正確的是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
6.如圖,A在DE上,F(xiàn)在AB上,且AC=CE,∠1=∠2=∠3,則DE的長等于( )
A.DC B. BC C.AB D.AE+AC (2003年武漢市選拔賽試題)
7.如圖,AE∥CD, AC∥DB,AD與BC交于O,AE⊥BC于E,DF⊥BC于F,那么圖中全等的三角形有( )對
A.5 B.6 C. 7 D.8
8.如圖,把△A BC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)35°,得到△A′B′C′,A′B′交AC于點D,已知∠A′DC=90°,求∠A的度數(shù). (貴州省中考題)
9.如圖,在△ABE和△ACD中,給出以下4個論斷:①AB=AC;②AD=AE;③AM=AN;④AD⊥DC,AE⊥BE.以其中3個論斷為題設(shè),填人下面的“已知”欄中,一個論斷為結(jié)論,填人下面的“求證”欄中,使之組成一個真命題,并寫出證明過程.
已知:
求證:
(荊州市中考題)
10.如圖,已知∠1=∠2,EF⊥AD于P,交B C延長線于M,
求證:∠M= (∠ACB-∠B). (天津市競賽題)
11.在△ABC中,高AD和BE交于H點,且BH=AC,則∠ABC= .
12.如圖,已知AE平分∠BAC,BE⊥AE于E,ED∥AC,∠BAE=36°,那么∠BED .
(河南省競賽題)
13.如圖,D是△ABC的邊AB上一點,DF交A C于點F,給出3個論斷:①DE=FE;②AE=CE;③FC∥AB,以其中一個論斷為結(jié)論,其余兩個 論斷為條件,可作出3個命題,其中正確命題的個數(shù)是 .
(武漢市選拔賽試題)
14.如圖,AD∥BC,∠1=∠2,∠3=∠4,AD=4,BC=2 ,那么AB= .
15.如圖,在△ABC中,AD是∠A的外角平分線,P是AD上異于A的任意一點,設(shè)PB=m,PC=n,AB=c,AC=b,則(m+n)與(b+c)大小關(guān)系是( )
A.m+n> b+c B. m+n16.如圖,在四邊形ABCD中,對角線AC平分∠BAD,AB>AD,下列結(jié)論中正確的是( ) A.A B-AD>CB-CD B.AB-AD=CB—CD
C.AB—AD
17.考查下列命題( )
(1)全等三角形的對應(yīng)邊上的中線、高、角平分線對應(yīng)相等;
(2)兩邊和其中一邊上的中線(或第三邊上的中線)對應(yīng)相等的兩個三角形全等;
(3)兩角和其中一角的角平分線(或第三角的角平分線)對應(yīng)相等的兩個三角形全等;
(4)兩邊和其中一邊上的高(或第三邊上的高)對應(yīng)相等的兩個三角形全等.
其中正確命題的個數(shù)有( )
A.4個 B.3個 C. 2個 D.1個
18.如圖,在四邊形ABCD中,AC平分∠BAD,過C作CE⊥AB于E,并且AE= (AB+AD),求∠ABC+∠ADC的度數(shù). (上海市競賽題)
19.如圖,△ABC中,D是BC的中點,DE⊥DF,試判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
20.如圖,已知AB=CD=AE=BC+DE=2,∠ABC=∠AED=90°,求五邊形ABCDC的面積.
(江蘇省競賽題)
21.如圖,在△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB,求證:AC=AF+CD.
(武漢市選拔賽試題)
22.(1)已知△ABC和△A′B′C′中,AB= A′B′,BC= B′C′,∠BAC=∠B′A′C′=100°,求證:△ABC≌△A′B′C′;
(2)上問中,若將條件改為AB=A′B′,BC= B′C′,∠BAC=∠∠B′A′C ′=70°,
結(jié)論是否成立?為什么?
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