第二十七講 圖形的折疊、剪拼與分割
一頁普通的紙，童年時我們用稚氣的雙手把它折成有趣的動物，民間藝人可以把它剪成美麗的圖案．折紙與剪紙是最富于自然情趣而又形象生動的實驗，是豐富想象力與心靈手巧的結合．
對圖形進行折疊與剪拼，是學習幾何不可 或缺的重要一環(huán)，通過折疊與剪拼圖形，我們可 以發(fā)現(xiàn)一些幾何結論并知曉這些結論是怎樣被證明的．
把圖形或部分沿某直線翻折叫圖形的折疊，對圖形通過有限次的剪裁再重新拼接成新的圖形叫圖形的剪拼．
解與圖形折疊或剪拼相關的問題，利用不變量解題是關鍵，在折疊過程中，線段的長度、角的度數(shù)保持不變；在剪拼過程中，新圖形與原圖形的面積一般保持不變．
例題求解
【例1】 如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6?，BC=8?，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于 ．
(南通市中考題)
思路點撥 設CD=x，由折疊的性質(zhì)實現(xiàn)等量轉換，將條件集中到Rt△BDE中，建立x的方程．
注 圖形折疊與剪拼問題可考壹我們的動手操作能力和分析推理能力，解題時需要把計算、推理與合 情想象結合起來．
折疊問題可以對稱觀點認識：
(1)折痕兩邊是全等的；
(2)對應點連線被折痕垂直平分．
解折疊問題常用到勾股定理、相似形、方程思想等知識與方法．
【例2】 如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，將矩形沿AC折疊，則重疊部分△AFC的面積 為( )
A．12 D10 C．8 D．6 (2004年武漢市選拔賽試題)
思路點撥 只需求出AF長即可．
【例3】取一張矩形的紙進行折疊，具體操作過程如下：
第一步：先把矩形ABCD對折，折痕為MN，如圖1；
第二步：再把B點疊在折痕線MN上，折痕為AE，點B在MN上的對應點為B′，得Rt△AB'E，如圖2；
第三步：沿EB'線折疊得折痕EF，如圖3．
利用展開圖4探究：
(1)△AEF是什么三角形?證明你的結論．
(2)對于任一矩形，按照上述方法是否都能折出這種三角形?請說明理由．
(山西省中考題)
思路點撥 本例沒有現(xiàn)成的結論，需經(jīng)歷實驗、觀察、猜想、證明等數(shù)學活動，從而探究得到結論．
【例4】如圖，是從邊長為40cm、寬為30cm的矩形鋼板的左上角截取一塊長為20cm、寬為10cm的矩形后，剩下的一塊下腳料．工人師傅要將它作適 當?shù)厍懈睿匦缕唇雍蠛赋梢粋�面積與原下腳料的面積相等，接縫盡可能短的正方形工件．
(1)請根據(jù)上述要求，設計出將這塊下腳料適當分割成三塊或三塊以上的兩種不同的拼接方案(在圖2和圖3中分別畫出切割時所沿的虛線，以及拼接后所得到的正方形，保留拼接的痕跡)；
(2)比較(1)中的兩種方案，哪種更好一些?說說你的看法和理由．
（山東省中考題)
思路點撥 拼接后正方形的邊長為 ?，它恰是以30cm和10cm為兩直角邊的直角三角形的斜邊的長，為此可考慮設法在原鋼板上構造兩直角邊長分別為30?和l0cm的直角三角形，這是解本例的關鍵．
注 有效的數(shù)學學習過程不能單純地依賴模仿與記憶，應該通過觀察、實驗、操作、猜測、驗證、推理等數(shù)學活動，形成自己對數(shù)學知識的理解和有效的學習策略，從而使知識得到內(nèi)化，形成能力．
近年中考中涌現(xiàn)的設計新穎、富有創(chuàng)意的折疊、剪拼與分割等問題，注重對動手實踐操作、應用意識、學習潛能的考查．
【例5】 用10個邊長分別為3，5，6，11，17，19，22，23，24，25的正方形，可以拼接成一個矩形．
(1)求這個矩形的長和寬；
(2)請畫出拼接圖．
思路點撥 利用拼接前后圖形面積不變求矩形的長和寬；運用矩形對邊相等這一性質(zhì)畫拼接圖．
【例6】 如圖，已知△ABC中，∠B=∠C=30°，請設計三種不同的分法，將△ABC分割成四個三角形，使得其中兩個是全等三角形，而另外兩個是相似但不全等的直角三角形．請畫出分割線段，標出能夠說明分法的所得三角形的頂點和內(nèi)角度數(shù)(或記號)．(畫圖工具不限， 不要求證明，不要求寫出畫法) (溫州市中考題)
思路點撥 充分運用幾何計算、推理和作圖，綜合運用動手操作、空間想象、解決問題．
學力訓練
1．將一張長方形的紙對折，如圖所示可得到一條折痕(圖中虛線)，繼續(xù)對折，對折時每次折痕與上次的折痕保持平行，連續(xù)對折三次后，可以得 到7條折痕，那么對折四次可以得到 條折痕，如果對折n次，可以得到 條折痕．(2002年南寧市中考題)
2．一張直角三角形的紙片，像圖中那樣折疊，使兩個銳角頂點A、B重合，若∠B=30°，AC= ，則折痕DE的長等于 ． (三明市中考題)
3．如圖，將一塊長為12的正方形紙片ABCD的頂點A折至DC邊上的點E，使DE＝5，折痕為PQ，則線段PM= ．
4．在△ABC中 ，已知AB=20，∠A=30°，CD是AB邊的中線，若將△ABC沿CD對折起來，折疊后兩個小三角形ACD與三角形BCD重疊部分的面積恰好等于折疊前△ABC的面積的 ，有如下結論：①AC邊的長可以等于a；②折疊前的△ABC的面積可以等于 ；③折疊后，以A、B為端點的線段AB與中線CD平行且相等，其中，正確結論有 個．
(天津市中考題)
5．將四個相同的矩形(長是寬的3倍)，用不同的方式拼成一個大矩形，設拼得大矩形的面積是四個小矩形的面積和，則大矩形周長的值只可能有( )
A．1種 B．2種 C．3種 D．4種 (2003年南昌市中考題)
6．如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當點A落在四邊形BCDE內(nèi)部時，則∠A與∠1+∠2之間有一種數(shù)量關系始終保持不變，請試著找一找這個規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是( )
A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A＝∠1+∠2
C．3∠A＝2∠1+∠2 D．3∠A=2(∠l+∠2)
(北京市海淀區(qū)中考題)
7．將一張矩形紙對折再對折(如圖)，然后沿著圖中的虛線剪下，得到①、②兩部分．將①展開后得到的平面圖形是( )
A．矩形 B．三角形 C．梯形 D．菱形 (陜西省中考題)
8．如圖1，小強拿一張正方形的紙，沿虛線對折一次得圖2，再對折一次得圖3，然后用剪刀沿圖3中的虛線剪去一個角，再打開后的形狀是( ) (濟南市中考題)
9．如圖，東風汽車公司沖壓廠沖壓汽車零件的廢料都是等腰三角形的小鋼板，其中AB=AC，該沖壓廠為了降低汽車零件成本，變廢為寶，把這些廢料再加工成紅星農(nóng)業(yè)機械廠粉碎機上的零件，銷售給紅星農(nóng)業(yè)機械廠，這些零件的形狀都是矩形． 現(xiàn)在要把如圖所示的等腰三角形鋼板切割后再焊接成兩種不同規(guī)格的矩形 ，每種矩形的面積正好等于該三角形的面積，每次切割的次數(shù)最多兩次(切割的損失可忽略不計)．
(1)請你設計兩種不同的切割 焊接方案，并用簡要的文字加以說明；
(2)若要把該三角形廢料切割后焊接成正方形 零件(只切割一次)，則該三角形需滿足什么條件? (十堰市中考題)
10．如圖，ABCD是矩形紙片，E是AB上一點，且BE：EA＝5：3，EC=15 ，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若點B恰好落在AD邊上，設這個點為F，求AB、BC的長．
11．如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC=5，現(xiàn)將它折疊，使點B與點C重合，則折痕的長是 ． (四川省競賽題)
12．如圖，一張矩形紙片沿BC折疊，頂點A落在點A，處，第二次過A，再折疊，使折痕DE∥BC，若AB=2，AC=3，則梯形BDEC的面積為 ．
( “宇振杯”上海市競賽題)
13．如圖，將矩形ABCD的四個角向內(nèi)折起，恰好拼成既無縫隙又無重疊的四邊形EFGH，若EH＝3，EF＝4，那么線段AD與AB的比等于 ． ( “希望杯 ”邀請賽試題)
14．要剪切如圖l(尺寸單位mm)所示的兩種直角梯形零件，且使兩種零件的數(shù)量相等．有兩種面積相等的矩形鋁板，第一種長500mm，寬300mm(如圖2)；第二種長600mm，寬250mm(如圖3)；可供選用．
兩種零件共 個，剪出這些零件后，剩余的邊角料的面積是 mm2．
(2)畫圖，從圖2或圖3中選出你要用的鋁板示意圖，在上面畫出剪切線，并把邊角余料用陰影表示出來．
15．如圖，EF為正方形ABCD的對折線，將∠A沿DK折疊使它的頂點A落在EF上的G點，則∠DKG為( )
A．15° B．30° C．55° D．75°
16．某班在布置新年聯(lián)歡會會場時，需要將直角三角形彩紙裁成長度不等的矩形彩條，如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=30?，AB=50cm，依次裁下寬為1?的矩形紙條a1，a2，a3，…，若使裁得的矩形紙條的長都不小于5cm，則每張直角三角形彩紙能裁成的矩形紙條的總數(shù)是( )
A．24 B．25 C． 26 D．27 (山東省濟南市中考題)
17．如圖，若將左邊正方形剪成四塊，恰能拼成右邊的矩形，設a＝1，則這個正方形的面積為( )
A． B． C． D．
(2003年山東省競賽題)
18．如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，沿過點月的一條直線BE折疊這個三角形，使點C落在AB邊上的點為D，要使點D恰為AB的中點，問在圖中還需添加什么條件?
(1)寫出兩個滿足邊的條件；
(2)寫出兩個滿足角的條件；
(3)寫出一個滿足除邊角以外的其他條件． (黃岡市競賽題)
19．如圖，正方形紙片ABCD中，E為BC的中點，折疊正方形，使點A與點E重合，壓平后，得折痕MN，設梯形ADMN的面積為S1，梯形BCMN的面積為S2，求 的值
20．已知一個三角形紙片ABC，面積為25，BC 的長為l0，∠B、∠C都為銳角，M為AB邊上的一動點(M與A、B不重合)，過點M作MN∥BC交AC于點N，設MN=x．
(1)用x表示△AMN的面積；
(2)△AMN沿MN折疊，使△AMN緊貼四邊形BCNM(邊AM、AN落在四邊形BCNM所在的平面內(nèi))，設點A落在平面BCNM內(nèi)的點A′，△A′MN與四邊形BCNM重疊部分的面積為y．
①用的代數(shù)式表示y，并寫出x的取值范圍．
②當x為何值時，重疊部分的面積y最大，最大為多少?
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/chuer/72482.html
相關閱讀：平行四邊形的識別