線(xiàn)段的中點(diǎn)是幾何圖形中一個(gè)特殊的點(diǎn)，它關(guān)聯(lián)著三角形中線(xiàn)、直角三角形斜邊中線(xiàn)、中心對(duì)稱(chēng)圖形、三角形中位線(xiàn)、梯形中位線(xiàn)等豐富的知識(shí)，恰當(dāng)?shù)乩弥悬c(diǎn)，處理中點(diǎn)是解與中點(diǎn)有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵，由中點(diǎn)想到什么?常見(jiàn)的聯(lián)想路徑是：
1．中線(xiàn)倍長(zhǎng)；
2．作直角三角形斜邊中線(xiàn)；
3．構(gòu)造中位線(xiàn)；
4．構(gòu)造中心對(duì)稱(chēng)全等三角形等．
熟悉以下基本圖形，基本結(jié)論：
例題求解
【例1】 如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M為BC的中點(diǎn)， AB=10cm，則MD的長(zhǎng)為 ．
(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)
思路點(diǎn)撥 取AB中點(diǎn)N，為直角三角形斜邊中線(xiàn)定理、三角形中位線(xiàn)定理的運(yùn)用創(chuàng)造條件．
注 證明線(xiàn)段倍分關(guān)系是幾何問(wèn)題中一種常見(jiàn)題型，利用中點(diǎn)是一個(gè)有效途徑，基本方法有：
(1)利用直角三角斜邊中線(xiàn)定理；
(2)運(yùn)用中位線(xiàn)定理；
(3)倍長(zhǎng)(或折半)法．
【例2】 如圖，在四邊形ABCD中，一組對(duì)邊AB=CD，另一組對(duì)邊AD≠BC，分別取AD、BC的中點(diǎn)M、N，連結(jié)MN．則AB與MN的關(guān)系是( )
A．AB=MN B．AB>MN C．AB
思路點(diǎn)撥 中點(diǎn)M、N不能直接運(yùn)用，需增設(shè)中點(diǎn)，常見(jiàn)的方法是作對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)．
【例3】如圖，在△ABC中，AB=AC，延長(zhǎng)AB到D，使BD＝AB，E為AB中點(diǎn)，連結(jié)CE、CD，求證：C D=2EC．
(浙江省寧波市中考題)
思路點(diǎn)撥 聯(lián)想到與中位線(xiàn)相關(guān)的豐富知識(shí)，將線(xiàn)段倍分關(guān)系的證明轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段相等關(guān)系的證明，解題的關(guān)鍵是恰當(dāng)添輔助線(xiàn)．
【例4】 已知：如圖l，BD、CE分別是△ABC的外角平分線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BD，AG ⊥ CE，垂足分別為F、G，連結(jié)FG，延長(zhǎng)AF、AG，與直線(xiàn)BC相交，易證FG= (AB+BC+AC)．
若(1)BD、CF分別是△ABC的內(nèi)角平分線(xiàn)(如圖2)；
(2)BD為△ABC的內(nèi)角平分線(xiàn)，CE為△ABC的外角平分線(xiàn)(如圖3)，則在圖2、圖3兩種情況下，線(xiàn)段FG與△ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并對(duì)其中的一種情況給予證明．
(2003年黑龍江省中考題)
思路點(diǎn)撥 圖1中FG與△ABC三邊的數(shù)量關(guān)系的求法(關(guān)鍵是作輔助線(xiàn))，對(duì)尋求后兩個(gè)圖形中線(xiàn)段FG與△ABC三邊的數(shù)量關(guān)系起著重要作用，而由平分線(xiàn)、垂線(xiàn)發(fā)現(xiàn)中點(diǎn)，這是解題的基礎(chǔ)．
注 三角形與梯形的中位線(xiàn)．在位置上涉及到平行，在數(shù)量上是上下底和的一半，它起著傳遞角的位置關(guān)系和線(xiàn)段長(zhǎng)度的功能，在證明線(xiàn)段倍分關(guān)系、兩直線(xiàn)位置關(guān)系、線(xiàn)段長(zhǎng)度的計(jì)算等方面有著廣泛的應(yīng)用．
【例5】 如圖，任意五邊形ABCDE，M、N、P、Q分別為AB、CD、BC、DE的中點(diǎn)，K、L分別為MN、PQ的中點(diǎn)，求證：KL∥AE且KL= AE．
(2001年天津賽區(qū)試題)
思路點(diǎn)撥 通過(guò)連線(xiàn)，將多邊形分割成三角形、四邊形，為多個(gè)中點(diǎn)的 利用創(chuàng)造條件，這是解本例的突破口．
注 需要什么，構(gòu)造什么，構(gòu)造基本圖形、構(gòu)造線(xiàn)段的和差(倍分)關(guān)系、構(gòu)造角的關(guān)系等，這是作輔助線(xiàn)的有效思考方法之一．
學(xué)歷訓(xùn)練
1．BD、CE是△ABC的中線(xiàn)，G、H分別是BE、CD的中點(diǎn)，BC=8，則GH= ．
(2003年廣西中考題)
2．如圖,△ABC中、BC＝a，若D1、E1；分別是AB、AC的中點(diǎn)，則 ；若 D2、E2分別是D1B、E1C的中點(diǎn)，則 ：若 D3、E3分別是D2B、E2C的中點(diǎn).則 ……若Dn、En分別是Dn-1B、En-1C的中點(diǎn)，則DnEn= (n≥1且 n為整數(shù)).
(200l年山東省濟(jì)南市中考題)
3．如圖，△ABC邊長(zhǎng)分別為AD=14，BC=l6，AC=26，P為∠A的平分線(xiàn)AD上一點(diǎn)，且BP⊥AD，M為BC的中點(diǎn)，則PM的值是 ．
4．如圖， 梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線(xiàn)AC⊥BD，AC=5cm，BD=12cm，則該梯形的中位線(xiàn)的長(zhǎng)等于 cm．
(2002年天津市中考題)
5．如圖，在梯形ABCD中，AD∥EF∥GH∥BC，AE=EG=GB=AD=18，BC=32，則EF+GH=( )
A．40 B．48 C 50 D．56
6．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分別是對(duì)角線(xiàn)BD、AC的中點(diǎn)，若AD=6cm，BC=18?，則EF的長(zhǎng)為( )
A．8cm D．7cm C． 6cm D．5cm
7．如圖，矩形紙片ABCD沿DF折疊后，點(diǎn)C落在AB上的E點(diǎn)，DE、DF三等分∠ADC，AB的長(zhǎng)為6，則梯形ABCD的中位線(xiàn)長(zhǎng)為( )
A．不能確定 B．2 C． D． +1
(2001年浙江省寧波市中考題)
8．已知四邊形ABCD和對(duì)角線(xiàn)AC、BD，順次連結(jié)各邊中點(diǎn)得四邊形MNPQ，給出以下6個(gè)命題：
①若所得四邊形MNPQ為矩形，則原四邊形ABCD為菱形；
②若所得四邊形MNPQ為菱形，則原四邊形ABCD為矩形；
③若所得四邊形MNPQ為矩形，則AC⊥BD；
④若所得四邊形MNPQ為菱形，則AC=BD；
⑤若所得四邊形MNPQ為矩形，則∠BAD=90°；
⑥若所得四邊形MNPQ為菱形，則AB=AD．
以上命題中，正確的是( )
A．①② B．③④ C．③④⑤⑥ D．①②③④
(2001年江蘇省蘇州市中考題)
9．如圖，已知△ABC中，AD是 高，CE是中線(xiàn)，DC=BE，DG⊥CE，G為垂足．求證：(1)G 是CE的 中點(diǎn)；(2)∠B=2∠BCE．
(2003年上海市中考題)
10．如圖，已知在正方形ABCD中，E為DC上一點(diǎn)，連結(jié)BE，作CF⊥BE于P，交AD于F點(diǎn)，若恰好使得AP=AB，求證：E是DC的中點(diǎn)．
11．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，以AC、AD為邊作平行四邊形ACED，DC的延長(zhǎng)線(xiàn)交BE于F．
(1)求證：EF＝FB；
(2)S△BCE能否為S梯形ABCD的 ?若不能，說(shuō)明理由；若能，求出AB與CD的關(guān)系．
12．如圖，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD、CF分別是∠ABC和∠ACB的角平分線(xiàn)，若BF=2，ED=3，GC=4，則△ABC的周長(zhǎng)為 ．
(2002年四川省競(jìng)賽題)
13．四邊形ADCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)F，M、N分別為AB、CD中點(diǎn)，MN分別交BD、AC于P、Q，且∠FPQ＝∠FQP，若BD=10，則AC= ．
(重慶市競(jìng)賽題)
1 4．四邊形ABCD中，AD>BC，C、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長(zhǎng)線(xiàn)分別與EF的延長(zhǎng)線(xiàn)交于H、G，則∠AHE ∠BGE(填“>”或“=”或“<”號(hào))
15．如圖，在△ABC中，DC=4，BC邊上的中線(xiàn)AD=2，AB+AC=3+ ，則S△ABC等于( )
A． B． C． D．
16．如圖，正方形ABCD中，AB＝8，Q是CD的中點(diǎn)，設(shè)∠DAQ=α，在CD上取一點(diǎn)P，使∠BAP＝2α，則CP的長(zhǎng)是( )
A．1 D．2 C．3 D．
17．如圖，已知A為DE的中點(diǎn)，設(shè)△DBC、△ABC、△EBC的面積分別為S1，S2，S3，則S1、S2、S3之間的關(guān)系式是( )
A． B． C． D．
18．如圖，已知在△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，分別延長(zhǎng)CA、CB到E、F，使DE=DF，過(guò)E、F分別作CA、 CB的垂線(xiàn)，相交于點(diǎn)P．求證：∠PAE=∠PBF．
(2003年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)
19．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，試判斷AB+CD與AD+BC的大小，并證明你的結(jié)論．
(山東省競(jìng)賽題)
20．已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°．如圖甲，連結(jié)DE，設(shè)M為D正的中點(diǎn)．
(1)求證：MB=MC；
(2)設(shè)∠BAD=∠CAE，固定△ABD， 讓Rt△ACE繞頂點(diǎn)A在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)到圖乙的位置，試問(wèn)：MB；MC是否還能成立?并證明其結(jié)論．
(江蘇省競(jìng)賽題)
21．如圖甲，平行四邊形ABCD外有一條直線(xiàn)MN，過(guò)A、B、C、D4個(gè)頂點(diǎn)分別作MN的垂線(xiàn)AA1、BB1、CCl、DDl，垂足分別為Al、B1、Cl、D1．
(1)求證AA1+ CCl = BB1 +DDl；
(2)如圖乙，直線(xiàn)MN向上移動(dòng)，使點(diǎn)A與點(diǎn)B、C、D位于直線(xiàn)MN兩側(cè)，這時(shí)過(guò)A、B、C、D向直線(xiàn)MN引垂線(xiàn)，垂足分別為Al、B1、Cl、D1，那么AA1、BB1、CCl、DDl 之間存在什么關(guān)系?
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/chuer/57335.html
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