二次根式的化簡求值

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 八年級 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)
用運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子,叫做代數(shù)式,有理式和無理式統(tǒng)稱代數(shù)式,整式和 分式統(tǒng)稱有理式.
有條件的二次根式的化簡求值問題是代數(shù)式的化簡求值的重點與難點.這類問題包容了有理式的眾多知識,又涉及最簡根式、同類根式、有理化等二次根式的重要概念,同時聯(lián)系著整體代入、分解變形、構(gòu)造關(guān)系式等重要的技巧與方法,解題的關(guān)鍵是,有時需把已知條件化簡,或把已知條件變形,有時需把待求式化簡或變形,有時需把已知條件和待求式同時變形.
例題求解
【例l】已知 ,那么 的值 等于 .
(河北省初中數(shù)學(xué)創(chuàng)新與知識應(yīng)用競賽題)
思路點撥 通過平方或分式性質(zhì),把已知條件和待求式的被開方數(shù)都用 的代數(shù)式表示.
【例2】 滿足等式 的正整數(shù)對(x,y)的個數(shù)是( )
A.1 B. 2 C. 3 D. 4
(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)
思路點撥 對條件等式作類似于因式分解的變形,將問題轉(zhuǎn)化為求不定方程的正整數(shù)解.
【例3】已知a、b是實數(shù),且 ,問a、b之間有怎樣的關(guān)系?請推導(dǎo).
(第20屆俄羅斯數(shù)學(xué)奧林匹克競賽題改 編)
思路點撥 由特殊探求一般,在證明一般性的過程中, 由因?qū)Ч,從化簡條件等式入手,而化簡的基本方法是有理化.
【例4】 已知: (0 (四川省中考題)
思路點撥 視 為整體,把 平 方 ,移項用含a代數(shù)式表示 ,注意0 【例5】 (1)設(shè)a、b、c、d為正實數(shù),aad,有一個三角形的三邊長分別為 , , ,求此三角形的面積;
( “五羊杯”競賽題)
(2)已知a,b均為正數(shù),且a+b=2,求U= 的最小值.
(北京市競賽題)
思路點撥 (1)顯然不能用面積公式求三角形面積(為什么?), 的幾何意義是以a、c為直角邊的直角三角形的 斜邊,從構(gòu)造圖形人手,將復(fù)雜的根式計算轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決;(2)用代數(shù)的方法求U的最小值較繁,運用對稱分析,借助圖形求U的最小值.
學(xué)力訓(xùn)練
1.已知 , ,那么代數(shù)式 值為 .
2.若 (03.已知 ,則 的值.
(2武漢市中考題)
4.已知a是 的小數(shù)部分,那么代數(shù)式 的值為 .
(黃石市中考題)
5.若 ,則 的值是( )
A.2 B.4 C.6 D. 8 (河南省競賽題)
6.已知實數(shù)a滿足 ,那么 的值是( )
A.1999 B.2000 C .2001 D.2002
7.設(shè) , , ,則a、b、c之間的大小關(guān)系是( )
A.a(chǎn)8.設(shè) ,則 的值為( )
A. B. C. D .不能確定
9.若a>0,b>0, 且 ,求 的值.
10.已知 ,化簡 .
11.已知 ,那么 = .
( “信利杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽題)
12.已知 ,則 = .
13.已知 的最小值為= .(“希望杯”邀請賽試題)
14.已知 ,則 = .
(江蘇省競賽題)
15.1+a2如果 , , ,那么a3b3-c3的值為( )
A.2002 B.200 1 C.1 D.0
(武漢市選拔賽試題)
16.已知 , , ,那么a、b、c的大小關(guān)系是( )
A.a(chǎn) (全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)
17.當 時,代數(shù)式 的值是( )
A. 0 B.一1 C. 1 D.- 22003 (2002年紹興市競賽題)
18.設(shè)a、b、c為有理數(shù),且等式 成立,則2a+999b+1001c的值是( )
A.1999 B. 2000 C. 2001 D.不能確定
(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)
19.某船在點O處測得一小島上的電視塔A在北偏西60°的方向,船向西航行20海里到達B處,測得電視塔在船的西北方向,問再向西航行多少海里,船離電視塔最近?
20.已知實數(shù) a、b滿足條件 ,化簡代數(shù)式 ,將結(jié)果表示成不含b的形式.
21.已知 (a>0),化簡: .

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