1.在前面幾講中我們分別學(xué)習(xí)了整式、分式以及根式的恒等變形與證明,其中也涉及到它們的化簡與求值.本講主要是把這蘭種類型的代數(shù)式綜合起來,其中求值問題是代數(shù)式運(yùn)算中的非常重要的內(nèi)容.
2.對于代數(shù)式的化簡、求值,常用到的技巧有:
(1)因式分解,對所給的條件、所求的代數(shù)式實(shí)施因式分解,達(dá)到化繁為簡的目的;
(2)運(yùn)算律,適當(dāng)運(yùn)用運(yùn)算律,也有助于化簡;
(3)換元、配方、待定系數(shù)法、倒數(shù)法等;
(4)有時 對含有根式的等式兩邊同時實(shí)施平方,也不失為一種有效的方法.
例題求解
【例1】已知 ,求 的值.
思路點(diǎn)撥 由已知得(x-4)2=3,即x2-8x+13=0.所以原式=5.
注 本題使用了整體代換的作法.
【例2】已知:x+ y+x=3a(a ≠0),求: 的值.
思路點(diǎn) 撥 由 得:
解設(shè) , , ,∴
∴原式= (可將 兩邊平方的得到)
【例3】已知 ,求 的值.
思路點(diǎn)撥 設(shè)
∴ ,然后對 和 兩種情況進(jìn)行討論,原式= 和 .
【例4】已知 , , ,求(1) 的值:(2) 的值.
思路點(diǎn)撥 先由條件求出 ,可得 , .
注 這道題充分體現(xiàn)了三個數(shù)的平方和,三個數(shù)的立方和,及三個數(shù)四次方和的常規(guī)用法,這些常用處理方法對我們今后的學(xué)習(xí)是十分重要的.
【例5】 (2003年河北初中數(shù)學(xué)應(yīng)用競賽題)同一價格的一種商品在三個商場都進(jìn)行了兩次價格調(diào)整.甲商場:第一次提價的百分率為a,第二次提價的百分率為b;乙商場:兩次提價的百分率都是 (a>0,b>0);丙商場:第一次提價的百分率為b,第二次提價的百分率為a,則提價最多的商場是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.不能確定
思路點(diǎn)撥 乙商場兩次提價后,價格最高.選B
【例6】 已知非零實(shí)數(shù) a、b、c滿足 , ,求 的值.
思路點(diǎn)撥 原條件變形為:
∴ 為±1或0.
【例7】(2001年重慶市)閱讀下面:
在計算3+5+7+9+11+13+15+17+19+21時;我機(jī)發(fā)現(xiàn),從第一個數(shù)開始,以后的每個 數(shù)與它的前一個數(shù)的差都是一個相同的定值.具有這種規(guī)律的一列數(shù),除了直接相加外,我們還可以用公式 計算它們的和.(公式中的n表示數(shù)的個數(shù),a表示第一個數(shù)的值,d表示這個相差的定值.)
那么3+5+7+9+11+13+15+17+19+21= .
用上面的知識解決下列問題:
為保護(hù)長江,減少水土流失,我市某縣決定對原有的坡荒地進(jìn)行退耕還林.從1995年起在坡荒地上植樹造林,以后每年又以比上一年多植相同面積的樹木改造坡荒地,由于每年因自然災(zāi)害、樹木成活率、人為因素等的影響,都有相同數(shù)量的新坡荒地產(chǎn)生,下表 為1995、1996、1997年的坡荒地面積和植樹的面積的統(tǒng)計數(shù)據(jù).假 設(shè)坡荒地全部種上樹后,不再有水土流失形成新的坡荒地,問到哪一年,可以將全縣所有的坡荒地全部種上樹木.
1995年1996年1997年
每年植樹的面積(畝)100014001800
植樹后坡荒地的實(shí)際面積(畝)252002400022400
思路點(diǎn)撥 1996年減少了25200-24000=1200,
1997年減少了24000-22400=1600,
…
m年減少了1200+400×(m―1996).
1200+1600+…+1200+400(m―1996)=25200.
令n=m―1995,得 , 或 (舍去)
∴ m =1995+n =2004.
∴ 到2004年,可以將坡荒地全部種上樹木.
【例8】 ( “信利杯”)某校初三兩個畢業(yè)班的學(xué)生和教師共100人一起在臺階上拍畢業(yè)照留念,攝影師要將其排列成前多后少的梯形隊陣{排數(shù)≥3),且要求各行的人數(shù)必須是連續(xù)的自然數(shù),這樣才能使后一排的人均站在前一排兩人間的空 擋處,那么,滿足上述要求的排法的方案有( )
A.1種 B. 2種 C.4種 D.0種
思路點(diǎn)撥 設(shè)最后一排有k個人,共有n排,那么從后往前各排的人數(shù)分別為k,k+1,k+2,…,k+(n―1),由題意可知 ,即n=200.因?yàn)閗,n都是正整數(shù),且n≥3,所以n<2k+(n―1),且n與2k+(n―1)的奇偶性不同.將200分解質(zhì)因數(shù),可知n=5或n=8.當(dāng)n=5時,k=l8;當(dāng)n=8時,k=9.共有兩種不同方案.選B
【例9】 (江蘇省競賽初三)有兩道算式:
好+好=妙,妙×好好×真好=妙題題妙,
其中每個漢字表示0~9中的一個數(shù)字,相同漢字表示相同數(shù)字,不同漢字表示不同數(shù)字.那么,“妙題題妙”所表示的四位數(shù)的所有因數(shù)的個數(shù)是 .
思路點(diǎn)撥 從加法式得“好”<5,“妙”≠0,因此“好”=1,“妙”=2或“好”=2,“妙”=4或“好”=3,“妙”=6或“好”=4,“妙”=8.顯然,中間兩種情形不滿足乘法式,所以只能是:
(1)“好”=1,“妙”=2,從而乘法式變?yōu)?br /> 2×11×(真×10+1)=2002+題×110,
即 真×10+1=91+題×5.
上式左邊≤91,右邊≥91,所以兩邊都等于91.
由此得“真”=,“題”=0“妙題題妙”=2002.
(2)“好”=4,“妙”=8,乘法式為
8×44×(真×10十4)=8008+題×110.
即704+1760×真=4004十題×55.
在0~9中,只有“真”=2,“題”=4滿足上式,但此時“好”與“題”表示 相同的數(shù)字,與題意不符.
故四位數(shù)“妙題題妙”有唯一解2002.
由2002=2×7×11×13,知2002的所有因數(shù)的個數(shù)為24=16.
【例9】設(shè) ,,且 .
求 的值.
思路點(diǎn)撥 設(shè) ,顯然 ,于是 , , ,代入已知得 ,即 ,
由 , ,可知 , , ,∴ ,原式=1.
學(xué)力訓(xùn)練
(A級))
1.當(dāng)m在可取值范圍內(nèi)取不同的值時,代數(shù)式 的最小值是( )
A.0 B.5 C.3 D.9
2.已知:a、b都是負(fù)實(shí)數(shù),且 ,那么 的值為( )
A. B. C. D.
3.如a、b、c是三個任意整 數(shù),那么 、 、 ( )
A.都不是整數(shù) B.至少有兩個整數(shù) C.至少有一個整數(shù) D.都是整數(shù)
4.如果 ,那么 的值是( )
A.0 B.1 C.2 D.4
5.已知: , , ,且 ,試求 的值.
6.已知 ,那么 的值是多少?
(B級)
1.設(shè)等式 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立,其中a、x、y是兩兩不同的實(shí)數(shù),則 的值是( )
A.3 B. C.2 D.
2.已知m>0, n>0,且 ,求 的值.
3.已知 2,試求 的值.
4.已知 , 且x≠y,求 的值.
5.設(shè)a、 b、c均不為0,且 , ,求證:a、b、c中至少有一個等于1998.
6. 已知a、b、c為整數(shù),且滿足 ,求 的值.
A級
1.B 2.C 3.C 4 .D 5.1 6.20
B級
1.B.2.3 3.4 4.
本文來自:逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/chuer/70590.html
相關(guān)閱讀:有條件的分式的化簡與求值