全等三角形全章教案

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 八年級(jí) 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)
j.Co M

13.1全等三角形
教學(xué)目標(biāo):1了解全等形及全等三角形的的概念;
2 理解全等三角形的性質(zhì)
3 在圖形變換以及實(shí)際操作的過程中發(fā)展學(xué)生的空間觀念,培養(yǎng)學(xué)生的幾何直覺,
4 學(xué)生通過觀察、發(fā)現(xiàn)生活中的全等形和實(shí)際操作中獲得全等三角形的體驗(yàn)在探索和運(yùn)用全等三角形性質(zhì)的過程中感受到數(shù)學(xué)的樂趣
重點(diǎn):探究全等三角形的性質(zhì)
難點(diǎn):掌握兩個(gè)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊,對(duì)應(yīng)角
教學(xué)過程:
觀察下列圖案,指出這些圖案中中形狀與大小相同的圖形

問題:你還能舉出生活中一些實(shí)際例子嗎?
這些形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合。能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形
能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形
思考:

一個(gè)圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后,位置變化了,但形狀、大小都沒有改變,即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。
“全等”用 表示,讀作“全等于”
兩個(gè)三角形全等時(shí),通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上,如 全等時(shí),點(diǎn)A和點(diǎn)D,點(diǎn)B和點(diǎn)E,點(diǎn)C和點(diǎn)F是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn),記作
把兩個(gè)全等的三角形重合到一起,重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn),重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊,重合
的角叫做對(duì)應(yīng)角
思考:如上圖,13。1-1 ,對(duì)應(yīng)邊有什么關(guān)系?對(duì)應(yīng)角呢?
全等三角形性質(zhì):
全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等;
全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。
思考:
(1)下面是兩個(gè)全等的三角形,按下列圖形的位置擺放,指出它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角

(2)將 沿直線BC平移,得到 ,說出你得到的結(jié)論,說明理由?

(3)如圖, AB與AC,AD與AE是對(duì)應(yīng)邊,已知: ,求 的大小。

小結(jié):
作業(yè):P92—1,2,3

課題:13.2 三角形全等的條件(1)

教學(xué)目標(biāo)
①經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程,利用操作、歸納獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的過程.
②掌握三角形全等的“邊邊邊”條件,了解三角形的穩(wěn)定性.
③通過對(duì)問題的共同探討,培養(yǎng)學(xué)生的協(xié)作精神.
教學(xué)難點(diǎn)
三角形全等條件的探索過程.
一、復(fù)習(xí)過程,引入新知
多媒體顯示,帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)全等三角形的定義及其性質(zhì),從而得出結(jié)論:全等三角形三條邊對(duì)應(yīng)相等,三個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等.反之,這六個(gè)元素分別相等,這樣的兩個(gè)三角形一定全等.
二、創(chuàng)設(shè)情境,提出問題
根據(jù)上面的結(jié)論,提出問題:兩個(gè)三角形全等,是否一定需要六個(gè)條件呢?如果只滿足上述六個(gè)條件中的一部分,是否也能保證兩個(gè)三角形全等呢?
組織學(xué)生進(jìn)行討論交流,經(jīng)過學(xué)生逐步分析,各種情況逐漸明朗,進(jìn)行交流予以匯總歸納.
三、建立模型,探索發(fā)現(xiàn)
出示探究1,先任意畫一個(gè)△ABC,再畫一個(gè)△A'B'C',使△ABC與△A'B'C',滿足上述條件中的一個(gè)或兩個(gè).你畫出的△A'B'C'與△ABC一定全等嗎?
讓學(xué)生按照下面給出的條件作出三角形.
(1)三角形的兩個(gè)角分別是30°、50°.
(2)三角形的兩條邊分別是4cm,6cm.
(3)三角形的一個(gè)角為30°,—條邊為3cm.
再通過畫一畫,剪一剪,比一比的方式,得出結(jié)論:只給出一個(gè)或兩個(gè)條件時(shí),都不能保證所畫出的三角形一定全等.
出示探究2,先任意畫出一個(gè)△A'B'C',使A'B'=AB,B'C'=BC,C'A'=CA,把畫好的△A'B'C'剪下,放到△ABC上,它們?nèi)葐?
讓學(xué)生充分交流后,在教師的引導(dǎo)下作出△A'B'C',并通過比較得出結(jié)論:三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.
四、應(yīng)用新知,體驗(yàn)成功
實(shí)物演示:由三根木條釘成的一個(gè)三角形的框架,它的大小和形狀是固定不變的.
鼓勵(lì)學(xué)生舉出生活中的實(shí)例.
給出例l,如下圖△ABC是一個(gè)鋼架,AB=AC,AD是連接點(diǎn)A與BC中點(diǎn)D的支架,求證△ABD≌△ACD.

讓學(xué)生獨(dú)立思考后口頭表達(dá)理由,由教師板演推理過程.
例2 如圖是用圓規(guī)和直尺畫已知角的平分線的示意圖,作法如下:

①以A為圓心畫弧,分別交角的兩邊于點(diǎn)B和點(diǎn)C;
②分別以點(diǎn)B、C為圓心,相同長度為半徑畫兩條弧,兩弧交于點(diǎn)D;
③畫射線AD.
AD就是∠BAC的平分線.你能說明該畫法正確的理由嗎?
例3 如圖四邊形ABCD中,AB=CD,AD=BC,你能把四邊形ABCD分成兩個(gè)相互全等的三角形嗎?你有幾種方法?你能證明你的方法嗎?試一試.

五、鞏固練習(xí)
教科書第96頁的思考及練習(xí).
六、反思小結(jié)
回顧反思本節(jié)課對(duì)知識(shí)的研究探索過程、小結(jié)方法及結(jié)論,提煉數(shù)學(xué)思想,掌握數(shù)學(xué)規(guī)律.
七、布置作業(yè)
1.必做題:教科書第103頁習(xí)題13.2中的第1、2題.
2.選做題:教科書第104頁第9題.

課題:13.2 三角形全等的條件(2)

教學(xué)目標(biāo)
①經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程,培養(yǎng)學(xué)生觀察分析圖形能力、動(dòng)手能力.
②在探索三角形全等條件及其運(yùn)用的過程中,能夠進(jìn)行有條理的思考并進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理.
③通過對(duì)問題的共同探討,培養(yǎng)學(xué)生的協(xié)作精神.
教學(xué)難點(diǎn)
指導(dǎo)學(xué)生分析問題,尋找判定三角形全等的條件.
知識(shí)重點(diǎn)
應(yīng)用“邊角邊”證明兩個(gè)三角形全等,進(jìn)而得出線段或角相等.
教學(xué)過程(師生活動(dòng))
一、創(chuàng)設(shè)情境,引入課題
多媒體出示探究3:已知任意△ABC,畫△A'B'C',使A'B'=AB,A'C'=AC,∠A'=∠A.
教帥點(diǎn)撥,學(xué)生邊學(xué)邊畫圖,再讓學(xué)生把畫好的△A'B'C',剪下放在△ABC上,觀察這兩個(gè)三角形是否全等.
二、交流對(duì)話,探求新知
根據(jù)前面的操作,鼓勵(lì)學(xué)生用自己的語言來規(guī)律:
兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(SAS)
補(bǔ)充強(qiáng)調(diào):角必須是兩條相等的對(duì)應(yīng)邊的夾角,邊必須是夾相等角的兩對(duì)邊.
三、應(yīng)用新知,體驗(yàn)成功
出示例2,如圖,有—池塘,要測(cè)池塘兩端A、B的距離,可先在平地上取一個(gè)可以直接到達(dá)A和B的點(diǎn)C,連接AC并延長到D,使CD=CA,連接BC并延長到E,使CE=CB.連接DE,那么量出DE的長就是A、B的距離,為什么?

讓學(xué)生充分思考后,書寫推理過程,并說明每一步的依據(jù).
(若學(xué)生不能順利得到證明思路,教師也可作如下分析:
要想證AB=DE,
只需證△ABC≌△DEC
△ABC與△DEC全等的條件現(xiàn)有……還需要……)
明確證明分別屬于兩個(gè)三角形的線段相等或者角相等的問題,常常通過證明這兩個(gè)三角形全等來解決.
補(bǔ)充例題:
1、已知:如圖AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE
求證: △ABD≌△ACE
證明:∵∠BAC=∠DAE(已知)
∠ BAC+ ∠ CAD= ∠DAE+ ∠ CAD
∴∠BAD=∠CAE
在△ABD與△ACE
AB=AC(已知)
∠BAD= ∠CAE (已證)
AD=AE(已知)
∴△ABD≌△ACE(SAS)
思考:
求證:1.BD=CE
2. ∠B= ∠C
3. ∠ADB= ∠AEC
變式1:已知:如圖,AB⊥AC,AD⊥AE,AB=AC,AD=AE.
求證: ⑴ △DAC≌△EAB
1.BE=DC
2.∠B= ∠ C
3.∠ D= ∠ E
4.BE⊥CD

四、再次探究,釋解疑惑
出示探究4,我們知道,兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.由“兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的條件能判定兩個(gè)三角形全等嗎?為什么?
讓學(xué)生模仿前面的探究方法,得出結(jié)論:兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.
教師演示:方法(一)教科書98頁圖13.2-7.
方法(二)通過畫圖,讓學(xué)生更直觀地獲得結(jié)論.
五、鞏固練習(xí)
教科書第99頁,練習(xí)(1)(2).
六、小結(jié)提高
1.判定三角形全等的方法;
2.證明線段、角相等常見的方法有哪些?讓學(xué)生自由表述,其他學(xué)生補(bǔ)充,讓學(xué)生自己將知識(shí)系統(tǒng)化,以自己的方式進(jìn)行建構(gòu).
七、布置作業(yè)
1.必做題:教科書第104頁,習(xí)題13.2第3、4題.
2.選做題:教科書第105頁第10題.
3.備選題:
(1)小明做了一個(gè)如圖所示的風(fēng)箏,測(cè)得DE=DF,EH=FH,你能發(fā)現(xiàn)哪些結(jié)淪?并說明理由.
(2)如圖,∠1=∠2,AB=AD,AE=AC,求證BC=DE.

課題: 13.2 三角形全等的條件(3)

教學(xué)目標(biāo)
①探索并掌握兩個(gè)三角形全等的條件:“ASA”“AAS”,并能應(yīng)用它們判別兩個(gè)三角形是否全等.
②經(jīng)歷作圖、比較、證明等探究過程,提高分析、作圖、歸納、表達(dá)、邏輯推理等能力;并通過對(duì)知識(shí)方法的,培養(yǎng)反思的習(xí)慣,培養(yǎng)理性思維.
③敢于面對(duì)教學(xué)活動(dòng)中的困難,能通過合作交流解決遇到的困難.
教學(xué)重點(diǎn)
理解,掌握三角形全等的條件:“ASA”“AAS”.
教學(xué)難點(diǎn)
探究出“ASA”“AAS”以及它們的應(yīng)用.
教學(xué)過程(師生活動(dòng))
創(chuàng)設(shè)情境
復(fù)習(xí):
師:我們已經(jīng)知道,三角形全等的判定條件有哪些?
生:“SSS”“SAS”
師:那除了這兩個(gè)條件,滿足另一些條件的兩個(gè)三角形是否
也可能全等呢?今天我們就來探究三角形全等的另一些條件。
探究新知:
一張教學(xué)用的三角形硬紙板不小心
被撕壞了,如圖,你能制作一張與原來
同樣大小的新教具?能恢復(fù)原來三角形
的原貌嗎?
1.師:我們先來探究第一種情況.(課件出示“探究5……”)
(1)探究5
先任意畫出一個(gè)△ABC,再畫一個(gè)△A'B'C',使A'B'=AB,∠A'=∠A,∠B'=∠B(即使兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等).把畫好的△A'B'C'剪下,放到△ABC上,它們?nèi)葐?
師:怎樣畫出△A'B'C'?先自己獨(dú)立思考,動(dòng)手畫一畫。
在畫的過程中若遇到不能解決的問題.可小組合作交流解決.
生:獨(dú)立探究,試著畫△A'B'C',(有問題的,可以小組內(nèi)交流解決……)……
(2)全班討論交流
師:畫好之后,我們看這兒有一種畫法:(課件出示畫法,出現(xiàn)一步,畫一步)
你是這樣畫的嗎?
師:把畫好的△A'B'C'剪下,放到△ABC上,看看它們是否全等.
生:(剪△A'B'C',與△ABC作比較……)
師:全等嗎?
生:全等.
師:這個(gè)探究結(jié)果反映了什么規(guī)律?試著說說你的發(fā)現(xiàn).
生1:我發(fā)現(xiàn)……
生2:……
生3:兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.
師:這條件可以簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”.至此,
我們又增加了—種判別三角形全等的方法.特別應(yīng)
注意,“邊”必須是“兩角的夾邊”.
練習(xí):已知:如圖,AB=A’C,∠A=∠A’,∠B=∠C
求證:△ABE≌ △A’CD

例1.已知:點(diǎn)D在AB上,點(diǎn)E在AC上,BE和CD
相交于點(diǎn)O,AB=AC,∠B=∠C。 求證:BD=CE

2.探究6
師:我們?cè)倏纯聪旅娴臈l件:
在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF,△ABC與△DEF全等嗎?能利用角邊角條件證明你的結(jié)論嗎?

師:看已知條什,能否用“角邊角”條件證明.
生獨(dú)立思考,探究……再小組合作完成.
師:你是怎么證明的?(讓小組派代表上臺(tái)匯報(bào))
小組1:….
小組2:……投影儀展示學(xué)生證明過程
(根據(jù)學(xué)生的不同探究結(jié)果,進(jìn)行不同的引導(dǎo))
師:從這可以看出,從這些已知條件中能得出兩個(gè)三角形全等.這又反映了一個(gè)什么規(guī)律?
生l:兩個(gè)角和其中一條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.
生2:在"ASA”中,“邊”必須是“兩角的夾邊”,而這里,“邊”可以是“其中一個(gè)角的對(duì)邊”.
師:非常好,這里的“邊”是“其中一個(gè)角的對(duì)邊”.那怎樣更完整的表述這一規(guī)律?
生1:兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.
師:生1很好,這條件我們可以簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”,又增加了判定兩個(gè)三角形全等的一個(gè)條件.
強(qiáng)調(diào)“AAS”中的邊是“其中一個(gè)角的對(duì)邊”.
多讓幾個(gè)學(xué)生描述,進(jìn)一步培養(yǎng)歸納、表達(dá)的能力.
例2.教材101頁1題。
師:從這道例題中,我們又得出了證明線段相等的又一方法,先證兩線段所在的三角形全等,這樣,對(duì)應(yīng)邊也就相等了.
探究7:
(1)三角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等嗎?(課件出示題目)
師:想想,怎樣來探究這個(gè)問題?
生1:……
生2:….
引導(dǎo)學(xué)生通過“畫兩個(gè)三角對(duì)應(yīng)相等的三角形”,看是否一定全等,或“用兩個(gè)同一形狀但大小不同的三角板”等等方法來探究說明.
師:這一規(guī)律我們可以怎樣表達(dá)?
生1:….新 課 標(biāo) 第 一 網(wǎng)
生2:三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.
(2)師:說得非常好.現(xiàn)在我們來小結(jié)一下;判定兩個(gè)三角形全等我們已有了哪些方法?
生:SSS SAS ASA AAS
小結(jié)提高
師:這節(jié)課通過對(duì)兩個(gè)三角形全等條件的進(jìn)一步探究,你有什么收獲?
鞏固練習(xí)
教科書第101頁,練習(xí)2.
布置作業(yè)
1。必做題:教科書第103頁習(xí)題13.2第6、11題
2.如圖,小明不慎將一塊三角形模具打碎為兩塊,他是否可以只帶其中的一塊碎片到商店去,就能配一塊與原來一樣的三角形模具呢?如果可以,帶哪塊去合適?為什么?

課題: 13.2 三角形全等的條件(4)

教學(xué)目標(biāo)
①探索并掌握兩個(gè)直角三角形全等的條件:HL,并能應(yīng)用它判別兩個(gè)直角三角形是否全等.
②經(jīng)歷作圖、比較、證明等探究過程,提高分析、作圖、歸納、表達(dá)、邏輯推理等能力;并通過對(duì)知識(shí)方法的總結(jié),培養(yǎng)反思的習(xí)慣,培養(yǎng)理性思維.
③提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí).
教學(xué)重點(diǎn)
理解,掌握三角形全等的條件:HL.
教學(xué)過程:
提問:
1、判定兩個(gè)三角形全等方法有: , , , 。
創(chuàng)設(shè)情境:
(顯示圖片),舞臺(tái)背景的形狀是兩個(gè)直角三角形,工作人員想知道這兩個(gè)直角三角形是否全等,但每個(gè)三角形都有一條直角邊被花盆遮住無法測(cè)量.
(1)你能幫他想個(gè)辦法嗎?
方法一:測(cè)量斜邊和一個(gè)對(duì)應(yīng)的銳角. (AAS)
方法二:測(cè)量沒遮住的一條直角邊和一個(gè)對(duì)應(yīng)的銳角. (ASA)或(AAS)
⑵ 如果他只帶了一個(gè)卷尺,能完成這個(gè)任務(wù)嗎?
工作人員測(cè)量了每個(gè)三角形沒有被遮住的直角邊和斜邊,發(fā)現(xiàn)它們分別對(duì)應(yīng)相等,于是他就肯定“兩個(gè)直角三角形是全等的”.你相信他的結(jié)論嗎?
下面讓我們一起來驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論。
新課:
已知線段a、c(a?c)和一個(gè)直角α,利用尺規(guī)作一個(gè)Rt△ABC,使∠C= ∠ α ,CB=a,AB=c.
想一想,怎樣畫呢?
按照下面的步驟做一做:
⑴ 作∠MCN=∠α=90°;
⑵ 在射線CM上截取線段CB=a
⑶ 以B為圓心,C為半徑畫弧,交射線CN于點(diǎn)A;
⑷ 連接AB.
⑴ △ABC就是所求作的三角形嗎?
⑵ 剪下這個(gè)三角形,和其他同學(xué)所作的三角形進(jìn)行比較,它們能重合嗎?
直角三角形全等的條件
斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.
簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”.
想一想
你能夠用幾種方法說明兩個(gè)直角三角形全等?
直角三角形是特殊的三角形,所以不僅有一般
三角形判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS,
還有直角三角形特殊的判定方法——“HL”.

練一練:
1.如圖,兩根長度為12米的繩子,一端系在旗桿上,
另一端分別固定在地面兩個(gè)木樁上,兩個(gè)木樁離旗
桿底部的距離相等嗎?請(qǐng)說明你的理由。
2.如圖,有兩個(gè)長度相同的滑梯,左邊滑梯的高度AC
與右邊滑梯水平方向的長度DF相等,兩個(gè)滑梯的傾
斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么關(guān)系?
解:∠ABC+∠DFE=90°.理由如下:
在Rt△ABC和Rt△DEF中,

BC=EF,
AC=DF .
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
∴∠ABC=∠DEF
(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等).
又 ∠DEF+∠DFE=90°,
∴∠ABC+∠DFE=90°.
小結(jié):這節(jié)課你有什么收獲呢?與你的同伴進(jìn)行交流
作業(yè):104頁7、8。

§13.3 角的平分線的性質(zhì)


§13.3.1 角的平分線的性質(zhì)(一)

教學(xué)目標(biāo)
(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)
角平分線的畫法.
(二)能力訓(xùn)練要求
1.應(yīng)用三角形全等的知識(shí),解釋角平分線的原理.
2.會(huì)用尺規(guī)作一個(gè)已知角的平分線.
(三)情感與價(jià)值觀要求
在利用尺規(guī)作圖的過程中,培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作能力與探索精神.
教學(xué)重點(diǎn)
利用尺規(guī)作已知角的平分線.
教學(xué)難點(diǎn)
角的平分線的作圖方法的提煉.
教學(xué)方法
講練結(jié)合法.
教具準(zhǔn)備
多媒體課件(或投影).
教學(xué)過程
Ⅰ.提出問題,創(chuàng)設(shè)情境
問題1:三角形中有哪些重要線段.
問題2:你能作出這些線段嗎?
[生甲]三角形中有三條重要線段,它們分別是:三角形的高,三角形的中線,三角形的角的平分線.
過三角形的頂點(diǎn)作這個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)邊的垂線,交對(duì)邊于一點(diǎn),頂點(diǎn)與垂足的連線就是這個(gè)三角形的高.
取三角形一邊的中點(diǎn),此中點(diǎn)與這個(gè)邊對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線就是這條邊的中線.
用量角器量出三角形的角的大小,量角器零度線與這個(gè)角的一邊重合,這個(gè)角一半所對(duì)應(yīng)的線就是這個(gè)角的角平分線.
[生乙]我不同意你對(duì)角平分線的描述,三角形的角平分線是一條線段,而一個(gè)已知角的平分線是一條射線,這兩個(gè)概念是有區(qū)別的.
[師]你補(bǔ)充得很好.?dāng)?shù)學(xué)是一門嚴(yán)密性很強(qiáng)的學(xué)科,你的這種精神值得我們學(xué)習(xí).
如果老師手里只有直尺和圓規(guī),你能幫我設(shè)計(jì)一個(gè)作角的平分線的操作方案嗎?
Ⅱ.導(dǎo)入新課
[生]我記得在學(xué)直角三角形全等的條件時(shí)做過這樣一個(gè)題:
在∠AOB的兩邊OA和OB上分別取OM=ON,MC⊥OA,NC⊥OB.MC與NC交于C點(diǎn).
求證:∠MOC=∠NOC.
通過證明Rt△MOC≌Rt△NOC,即可證明∠MOC=∠NOC,所以射線OC就是∠AOB的平分線.
受這個(gè)題的啟示,我們能不能這樣做:
在已知∠AOB的兩邊上分別截取OM=ON,再分別過M、N作MC⊥OA,NC⊥OB,MC與NC交于C點(diǎn),連接OC,那么OC就是∠AOB的平分線了.
[師]他這個(gè)方案可行嗎?
(學(xué)生思考、討論后,統(tǒng)一思想,認(rèn)為可行)新課標(biāo)第一網(wǎng)
[師]這位同學(xué)不僅給了操作方法,而且還講明了操作原理.這種學(xué)以致用,聯(lián)想遷移的學(xué)習(xí)方法值得大家借鑒.
議一議:下圖是一個(gè)平分角的儀器,其中AB=AD,BC=DC.將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn),AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線.你能說明它的道理嗎?
教師活動(dòng):
播放多媒體課件,演示角平分儀器的操作過程,使學(xué)生直觀了解得到射線AC的方法.
學(xué)生活動(dòng):
觀看多媒體課件,討論操作原理.
[生1]要說明AC是∠DAC的平分線,其實(shí)就是證明∠CAD=∠CAB.
[生2]∠CAD和∠CAB分別在△CAD和△CAB中,那么證明這兩個(gè)三角形全等就可以了.
[生3]我們看看條件夠不夠.

所以△ABC≌△ADC(SSS).
所以∠CAD=∠CAB.
即射線AC就是∠DAB的平分線.
[生4]原來用三角形全等,就可以解決角相等.線段相等的一些問題.看來溫故是可以知新的.
老師再提出問題:
通過上述探究,能否總結(jié)出尺規(guī)作已知角的平分線的一般方法.自己動(dòng)手做做看.然后與同伴交流操作.
(分小組完成這項(xiàng)活動(dòng),教師可參與到學(xué)生活動(dòng)中,及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題,給予啟發(fā)和指導(dǎo),使講評(píng)更具有針對(duì)性)
討論結(jié)果展示:
作已知角的平分線的方法:
已知:∠AOB.
求作:∠AOB的平分線.
作法:
(1)以O(shè)為圓心,適當(dāng)長為半徑作弧,分別交OA、OB于M、N.
(2)分別以M、N為圓心,大于 MN的長為半徑作。畠苫≡凇螦OB內(nèi)部交于點(diǎn)C.
(3)作射線OC,射線OC即為所求.

(教師根據(jù)學(xué)生的敘述,作多媒體課件演示,使學(xué)生能更直觀地理解畫法,提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣).
議一議:
1.在上面作法的第二步中,去掉“大于 MN的長”這個(gè)條件行嗎?
2.第二步中所作的兩弧交點(diǎn)一定在∠AOB的內(nèi)部嗎?
(設(shè)計(jì)這兩個(gè)問題的目的在于加深對(duì)角的平分線的作法的理解,培養(yǎng)數(shù)學(xué)嚴(yán)密性的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣)
學(xué)生討論結(jié)果總結(jié):
1.去掉“大于 MN的長”這個(gè)條件,所作的兩弧可能沒有交點(diǎn),所以就找不到角的平分線.
2.若分別以M、N為圓心,大于 MN的長為半徑畫兩弧,兩弧的交點(diǎn)可能在∠AOB的內(nèi)部,也可能在∠AOB的外部,而我們要找的是∠AOB內(nèi)部的交點(diǎn),否則兩弧交點(diǎn)與頂點(diǎn)連線得到的射線就不是∠AOB的平分線了.
3.角的平分線是一條射線.它不是線段,也不是直線,所以第二步中的兩個(gè)限制缺一不可.
4.這種作法的可行性可以通過全等三角形來證明.
練一練:
任意畫一角∠AOB,作它的平分線.
Ⅲ.隨堂練習(xí)
課本P106練習(xí).
練后總結(jié):
平角∠AOB的平分線OC與直線AB垂直.將OC反向延長得到直線CD,直線CD與AB也垂直.
Ⅳ.課時(shí)小結(jié)新課標(biāo)第一網(wǎng)
本節(jié)課中我們利用已學(xué)過的三角形全等的知識(shí),探究得到了角平分線儀器的操作原理,由此歸納出角的平分線的尺規(guī)畫法,進(jìn)一步溫故而知新是一種很好的學(xué)習(xí)方法.
Ⅴ.課后作業(yè)
1.課本P108習(xí)題13.2─1、2.
2.預(yù)習(xí)課本P106~107內(nèi)容.

§13.3.2 角的平分線的性質(zhì)(二)

教學(xué)目標(biāo)
(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)
角的平分線的性質(zhì)
(二)能力訓(xùn)練要求
1.會(huì)敘述角的平分線的性質(zhì)及“到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”.
2.能應(yīng)用這兩個(gè)性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.
(三)情感與價(jià)值觀要求
通過折紙、畫圖、文字一符號(hào)的翻譯活動(dòng),培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想、探索、概括歸納的能力,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.
教學(xué)重點(diǎn)
角平分線的性質(zhì)及其應(yīng)用.
教學(xué)難點(diǎn)
靈活應(yīng)用兩個(gè)性質(zhì)解決問題.
教學(xué)方法
探索、歸納的方法.
教具準(zhǔn)備
剪刀、折紙、投影片.
教學(xué)過程
Ⅰ.創(chuàng)設(shè)情境,引入新課
[師]請(qǐng)同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的折紙與剪刀,自己動(dòng)手,剪一個(gè)角,把剪好的角對(duì)折,使角的兩邊疊合在一起,再把紙片展開,你看到了什么?把對(duì)折的紙片再任意折一次,然后把紙片展開,又看到了什么?
[生]我發(fā)現(xiàn)第一次對(duì)折后的折痕是這個(gè)角的平分線;再折一次,又會(huì)出現(xiàn)兩條折痕,而且這兩條折痕是等長的.這種方法可以做無數(shù)次,所以這種等長的折痕可以折出無數(shù)對(duì).
[師]你的敘述太精彩了.這說明角的平分線除了有平分角的性質(zhì),還有其他性質(zhì),今天我們就來研究這個(gè)問題.
Ⅱ.導(dǎo)入新課
角平分線的性質(zhì)即已知角的平分線,能推出什么樣的結(jié)論.
操作:
1.折出如圖所示的折痕PD、PE.

2.你與同伴用三角板檢測(cè)你們所折的折痕是否符合圖示要求.
畫一畫:
按照折紙的順序畫出一個(gè)角的三條折痕,并度量所畫PD、PE是否等長?
拿出兩名同學(xué)的畫圖,放在投影下,請(qǐng)大家評(píng)一評(píng),以達(dá)明確概念的目的.

[生]同學(xué)乙的畫法是正確的.同學(xué)甲畫的是過角平分線上一點(diǎn)畫角平分線的垂線,而不是過角平分線上一點(diǎn)畫兩邊的垂線段,所以同學(xué)甲的畫法不符合要求.
[生甲]噢,對(duì)于,我知道了.
[師]同學(xué)甲,你再做一遍加深一下印象.
問題1:你能用文字語言敘述所畫圖形的性質(zhì)嗎?
[生]角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.
問題2:(出示投影片)
能否用符號(hào)語言來翻譯“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”這句話.請(qǐng)?zhí)钕卤恚?br />
學(xué)生通過討論作出下列概括:
已知事項(xiàng):OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,D、E為垂足.
由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng):PD=PE.
于是我們得角的平分線的性質(zhì):
在角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.
[師]那么到角的兩邊距離相等的點(diǎn)是否在角的平分線上呢?(出示投影)
問題3:根據(jù)下表中的圖形和已知事項(xiàng),猜想由已知事項(xiàng)可推出的事項(xiàng),并用符號(hào)語言填寫下表:

[生討論]已知事項(xiàng)符合直角三角形全等的條件,所以Rt△PEO≌△PDO(HL).于是可得∠PDE=∠POD.
由已知推出的事項(xiàng):點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.
[師]這樣的話,我們又可以得到一個(gè)性質(zhì):到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.同學(xué)們思考一下,這兩個(gè)性質(zhì)有什么聯(lián)系嗎?
[生]這兩個(gè)性質(zhì)已知條件和所推出的結(jié)論可以互換.
[師]對(duì),這是自己的語言,這一點(diǎn)在數(shù)學(xué)上叫“互逆性”.
下面請(qǐng)同學(xué)們思考一個(gè)問題.
思考:
如圖所示,要在S區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng),使它到公路、鐵路距離相等,離公路與鐵路交叉處500m,這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建于何處(在圖上標(biāo)出它的位置,比例尺為1:20000)?

1.集貿(mào)市場(chǎng)建于何處,和本節(jié)學(xué)的角平分線性質(zhì)有關(guān)嗎?用哪一個(gè)性質(zhì)可以解決這個(gè)問題?
2.比例尺為1:20000是什么意思?
(學(xué)生以小組為單位討論,教師可深入到學(xué)生中,及時(shí)引導(dǎo))
討論結(jié)果展示:
1.應(yīng)該是用第二個(gè)性質(zhì).這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)該建在公路與鐵路形成的角的平分線上,并且要求離角的頂點(diǎn)500米處.
2.在紙上畫圖時(shí),我們經(jīng)常在厘米為單位,而題中距離又是以米為單位,這就涉及一個(gè)單位換算問題了.1m=100cm,所以比例尺為1:20000,其實(shí)就是圖中1cm表示實(shí)際距離200m的意思.作圖如下:

第一步:尺規(guī)作圖法作出∠AOB的平分線OP.
第二步:在射線OP上截取OC=2.5cm,確定C點(diǎn),C點(diǎn)就是集貿(mào)市場(chǎng)所建地了.
總結(jié):應(yīng)用角平分線的性質(zhì),就可以省去證明三角形全等的步驟,使問題簡(jiǎn)單化.所以若遇到有關(guān)角平分線,又要證線段相等的問題,我們可以直接利用性質(zhì)解決問題.
[例]如圖,△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P.
求證:點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等.

[師生共析]點(diǎn)P到AB、BC、CA的垂線段PD、PE、PF的長就是P點(diǎn)到三邊的距離,也就是說要證:PD=PE=PF.而BM、CN分別是∠B、∠C的平分線,根據(jù)角平分線性質(zhì)和等式的傳遞性可以解決這個(gè)問題.
證明:過點(diǎn)P作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,垂足為D、E、F.
因?yàn)锽M是△ABC的角平分線,點(diǎn)P在BM上.
所以PD=PE.
同理PE=PF.
所以PD=PE=PF.
即點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等.
Ⅲ.隨堂練習(xí)
1.課本P107練習(xí).
2.課本P108習(xí)題13.3─2.
在這里要提醒學(xué)生直接利用角平分線的性質(zhì),無須再證三角形全等.
Ⅳ.課時(shí)小結(jié)
今天,我們學(xué)習(xí)了關(guān)于角平分線的兩個(gè)性質(zhì):①角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等;②到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.它們具有互逆性,可以看出,隨著研究的深入,解決問題越來越簡(jiǎn)便了.像與角平分線有關(guān)的求證線段相等、角相等問題,我們可以直接利用角平分線的性質(zhì),而不必再去證明三角形全等而得出線段相等.
Ⅴ.課后作業(yè)
課本習(xí)題13.3─3、4、5題.


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