由于等腰三角形有豐富的性質(zhì)，這 些性質(zhì)為我們解幾何題提供了新的理論依據(jù)，所以尋找發(fā)現(xiàn)等腰三角形是解一些幾何題的關(guān)鍵，判定一個(gè)三角形為等腰三角形的基本方法是：從定義入手，證明一個(gè)三角形的兩條邊相等；從角入手，證明一個(gè)三角形的兩個(gè)角相等， 實(shí)際解題中 的一個(gè)常用技巧是，構(gòu)造等腰三角形，進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)為解題服務(wù)，常用的構(gòu)造方法有：
1．“角平分線(xiàn)+平行線(xiàn)”構(gòu)造等腰三角形；
2．“角平分線(xiàn)+垂線(xiàn)”構(gòu)造等腰三角形；
3．用“垂直平分線(xiàn)”構(gòu)造等腰三角形；
4．用“三角形中角的2倍關(guān)系”構(gòu)造等腰三角形．
例題求解
【例1】 如圖，一個(gè)六邊形的6個(gè)內(nèi)角都是120°，其連續(xù)四邊的長(zhǎng)依次是1、9、9、5，那么這個(gè)六邊形的周長(zhǎng)是 cm．
(“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題)
思路點(diǎn)撥 設(shè)法將六邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形或四邊形的問(wèn)題加以解決，六邊形的外角都為60°，利用60°構(gòu)造等邊三角形是解本例的關(guān)鍵．
注 證明線(xiàn)段相等是最基本的幾何問(wèn)題，目前常用證法有：
(1)若兩線(xiàn)段屬于兩個(gè)三角形，則考慮證對(duì)應(yīng)的三角形全等；
(2)若兩線(xiàn)段是同一個(gè)三角形兩邊，則考慮用等角對(duì)等邊證明；
(3)尋找中間線(xiàn)段，通過(guò)等 量代換證明．
類(lèi)似的，我們可以對(duì)證明角相等、等邊三角形的判定作歸納總結(jié)．
不同形狀的幾何圖形之間可互相轉(zhuǎn)化，向外補(bǔ)形與對(duì)內(nèi)分割是基本的兩種轉(zhuǎn)化方式．
【例2】 如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直線(xiàn)BC或AC上取一點(diǎn)P，使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的P點(diǎn)有( )
A．2個(gè) B．4個(gè) C．6個(gè) D．8個(gè)
(江蘇省競(jìng)賽題)
思路點(diǎn)撥 AB既可作等腰三角形PAB的腰，也可作為等腰三角形PAB的底，故要思考全面，才能正確地得出符合條件的P點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
【例3】 如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求證：AB十BD＝CD．
(天津市競(jìng)賽題)
思路點(diǎn)撥 如何利用條件∠B=2∠C?又怎樣得到AB+BD?不同的思考方向，會(huì)找到解題的不同方法．
【例4】 如圖甲，點(diǎn)C為線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，△ACM、△CBN是等邊三角形，直線(xiàn)AN、MC交于點(diǎn)E，直線(xiàn)BM、CN交于點(diǎn)F．
(1)求證：AN=BM；
(2)求證：△CEF是等邊三角形；
(3)將△ACM繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，其他條件不變，在圖乙中補(bǔ)出符合要求的圖形，并判斷第(1)、(2)兩小屬結(jié)論是否仍然 成立(不要求證明)．
(荊門(mén)市中考題)
思路點(diǎn)撥 圖甲中有多對(duì)全等三角形，這是解(1)、(2)問(wèn)的基礎(chǔ)．
注 若僅將題中的條件∠A＝30°改為∠A=45°，則符合條件的點(diǎn)有幾個(gè)?若將題中的條件∠A=30°，改為∠A≠30°，∠A≠45°，則符合條件的P點(diǎn)有幾個(gè)?請(qǐng)讀者思考．
分折法(執(zhí)果溯因)，綜合法(由因?qū)Ч?是兩種最基本的分析方法．
處理題設(shè)條件中的“兩倍角”的基本途徑是：
(1)向外構(gòu)造等腰三角形； (2)對(duì)內(nèi)作角平分線(xiàn)．
【例5】 如圖，在五邊形ABCDE中，∠B＝∠E，∠C=∠D，BC=DE，M為CD中點(diǎn)，求證：AM⊥CD． (武漢市選拔賽試題)
思路點(diǎn)撥 證明∠AMC=90°或應(yīng)用等腰三角形“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)，通過(guò)作輔助線(xiàn)將五邊形問(wèn)題恰當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題是解本例的關(guān)鍵．
學(xué)歷訓(xùn)練
1．如圖，在△ABC中，∠B、∠C的平分線(xiàn)相交于O 點(diǎn)．作MN∥BC，EF∥AB，GH∥AC，BC＝a，AC=b，AB＝c，則△GMO周長(zhǎng)+△ENO的周長(zhǎng)－△FHO的周長(zhǎng) ．
2．如圖，△ABC中，AB=AC，∠B=36°，D、E是BC上兩點(diǎn)，使∠ADE=∠AED=2∠BAD，則圖中等腰三角形共有 個(gè)．
3．如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，則∠D：∠C的值= ．
（“五羊杯”競(jìng)賽題）
4．如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于E點(diǎn)，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有如下四個(gè)結(jié)論：
①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC= ∠DAB；④△ABE是等邊三角形．請(qǐng)寫(xiě)出正確結(jié)論的序號(hào) ．(把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上) (2002午天津市中考題)
5．如圖， 在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分別是AB、AC的中垂線(xiàn)，E、M在BC上，則∠EAM等于( )
A．58° B．3 2° C．36° D．34°
6．如圖，在△ABC中，∠B＝2∠C，則AC與2AB之間的關(guān)系是( )
A．AC>2AB B．AC＝2AB C．AC≤2AB D．AC<2AB
(山東省競(jìng)賽題)
7．等腰三角形一腰上的高等于該三角形某一條邊的長(zhǎng)度的一半，則其頂角等于( )
A．30° B．30°或150°C． 120°或150° D．30°或120°或150°
(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)
8．在銳角△ABC中，三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)都是質(zhì)數(shù)，則這樣的三角形( )
A．只有一個(gè)且為等腰三角形
B．至少有兩個(gè)且都為等腰三角形
C．只有一個(gè)但不是等腰三角形
D．至少有兩個(gè)，其中有非等腰三角形
9．如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O為BC的中點(diǎn)．
(1)寫(xiě)出點(diǎn)O到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離的關(guān)系．
(2)如果點(diǎn)M、N分別在線(xiàn)段AB、AC上 移動(dòng)，在移動(dòng)中保持AN=BM，請(qǐng)判斷△OMN的形狀，并證明你的結(jié)論． (廣東省中考題)
10．如圖，已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線(xiàn)，E是AD上一點(diǎn)，且BE=AC，延長(zhǎng)BE交AC于F，求證：AF＝EF．
11．如圖，已知等邊三角形ABC，在AB 上取點(diǎn)D，在AC上取點(diǎn)E，使得AD=AE，作等邊三角形PCD，QAE和RAB，求證：P、Q、R是等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)．
12．在△ABC中，AB=AC，高線(xiàn)AD= BC，AE為∠BAC的平分線(xiàn)，則∠CAD的度數(shù)為 ． (北京市競(jìng)賽題)
13．如圖，△ABC中，AB=AC，BC=BD=ED=EA，則∠A= ．
14．如圖，四邊形ABCD中，AE、AF分別是BC，CD的中垂線(xiàn)，∠EAF=80°，∠CBD=30°，則∠ABC= ，∠ADC= ． (天津市競(jìng)賽題)
15．有一個(gè)等腰三角形紙片，若能從一個(gè)底角的頂點(diǎn)出發(fā)，將其剪成兩個(gè)等腰三角形紙片，則原等腰三角形紙片的頂角為 度． (江蘇省競(jìng)賽題)
16．在等邊△ABC所在的平面內(nèi)求一點(diǎn)P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有這樣性質(zhì)的點(diǎn)P有( )
A．1個(gè) B．4個(gè) C．7個(gè) D．10個(gè)
17．如圖，在五邊形ABCDE中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC= DC= DE，則∠D＝（ ）
A．30° B．450° C． 60° D．67．5°
18．如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則( )
A．PA+PB+PC
C．PA+PB+PC=AB+AC D．PA+PB+PC與AB+AC的大小關(guān)系不確定，與P點(diǎn)位置有關(guān)
19．如圖，在△ABC內(nèi)，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P、Q分別在BC、CA上，并且AP、BQ分別為∠BAC、∠AB C的角平分線(xiàn)．求證：BQ+AQ=AB+BP．
(2002年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽矗)
20，如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC>60°，∠ABD=60°，且∠ADB=90°一 ∠BDC，求證：AC=BD+DC． (天津市競(jìng)賽題)
21．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB＝AC，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠DAC=∠DCA=15°，求證：BD＝BA．
22．在平面內(nèi)確定四點(diǎn)，連接每?jī)牲c(diǎn)， 使任意三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形(包括等邊三角形)，且每?jī)牲c(diǎn)之間函線(xiàn)段長(zhǎng)只有兩個(gè)數(shù)值，則這四點(diǎn)的取法有多少種?畫(huà)圖說(shuō)明．
(濰坊市中考題)
23．（1）如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，∠ABD=60°，∠BCD=120°，證明：BC+DC=AC．
(2)如圖，四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，P為四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠APD=120°，證明：PA+PD+PC≥BD． (江蘇省競(jìng)賽題)
24．如圖，等邊三角形ABD和等邊三角形CBDD的長(zhǎng)均為a，現(xiàn)把它們拼合起來(lái)，E是AD上異于A、D兩點(diǎn)的一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足AE+CF＝a．
(1)E、F移動(dòng)時(shí)，△BEF的形狀如何?
(2)求△BEF面積的最小值．
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/chuer/68329.html
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