等腰三角形的判定

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 八年級 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)
第十二講 等腰三角形的判定
由于等腰三角形有豐富的性質(zhì),這 些性質(zhì)為我們解幾何題提供了新的理論依據(jù),所以尋找發(fā)現(xiàn)等腰三角形是解一些幾何題的關(guān)鍵,判定一個三角形為等腰三角形的基本方法是:從定義入手,證明一個三角形的兩條邊相等;從角入手,證明一個三角形的兩個角相等, 實際解題中 的一個常用技巧是,構(gòu)造等腰三角形,進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)為解題服務(wù),常用的構(gòu)造方法有:
1.“角平分線+平行線”構(gòu)造等腰三角形;
2.“角平分線+垂線”構(gòu)造等腰三角形;
3.用“垂直平分線”構(gòu)造等腰三角形;
4.用“三角形中角的2倍關(guān)系”構(gòu)造等腰三角形.

例題求解
【例1】 如圖,一個六邊形的6個內(nèi)角都是120°,其連續(xù)四邊的長依次是1、9、9、5,那么這個六邊形的周長是 cm.
(“祖沖之杯”邀請賽試題)
思路點撥 設(shè)法將六邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形或四邊形的問題加以解決,六邊形的外角都為60°,利用60°構(gòu)造等邊三角形是解本例的關(guān)鍵.

注 證明線段相等是最基本的幾何問題,目前常用證法有:
(1)若兩線段屬于兩個三角形,則考慮證對應(yīng)的三角形全等;
(2)若兩線段是同一個三角形兩邊,則考慮用等角對等邊證明;
(3)尋找中間線段,通過等 量代換證明.
類似的,我們可以對證明角相等、等邊三角形的判定作歸納總結(jié).
不同形狀的幾何圖形之間可互相轉(zhuǎn)化,向外補形與對內(nèi)分割是基本的兩種轉(zhuǎn)化方式.
【例2】 如圖,已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,在直線BC或AC上取一點P,使得△PAB是等腰三角形,則符合條件的P點有( )
A.2個 B.4個 C.6個 D.8個
(江蘇省競賽題)
思路點撥 AB既可作等腰三角形PAB的腰,也可作為等腰三角形PAB的底,故要思考全面,才能正確地得出符合條件的P點的個數(shù).
【例3】 如圖,△ABC中,AD⊥BC于D,∠B=2∠C,求證:AB十BD=CD.
(天津市競賽題)
思路點撥 如何利用條件∠B=2∠C?又怎樣得到AB+BD?不同的思考方向,會找到解題的不同方法.
【例4】 如圖甲,點C為線段AB上一點,△ACM、△CBN是等邊三角形,直線AN、MC交于點E,直線BM、CN交于點F.
(1)求證:AN=BM;
(2)求證:△CEF是等邊三角形;
(3)將△ACM繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°,其他條件不變,在圖乙中補出符合要求的圖形,并判斷第(1)、(2)兩小屬結(jié)論是否仍然 成立(不要求證明).
(荊門市中考題)

思路點撥 圖甲中有多對全等三角形,這是解(1)、(2)問的基礎(chǔ).
注 若僅將題中的條件∠A=30°改為∠A=45°,則符合條件的點有幾個?若將題中的條件∠A=30°,改為∠A≠30°,∠A≠45°,則符合條件的P點有幾個?請讀者思考.
分折法(執(zhí)果溯因),綜合法(由因?qū)Ч?是兩種最基本的分析方法.
處理題設(shè)條件中的“兩倍角”的基本途徑是:
(1)向外構(gòu)造等腰三角形; (2)對內(nèi)作角平分線.
【例5】 如圖,在五邊形ABCDE中,∠B=∠E,∠C=∠D,BC=DE,M為CD中點,求證:AM⊥CD. (武漢市選拔賽試題)
思路點撥 證明∠AMC=90°或應(yīng)用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì),通過作輔助線將五邊形問題恰當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化為三角形問題是解本例的關(guān)鍵.

學(xué)歷訓(xùn)練
1.如圖,在△ABC中,∠B、∠C的平分線相交于O 點.作MN∥BC,EF∥AB,GH∥AC,BC=a,AC=b,AB=c,則△GMO周長+△ENO的周長-△FHO的周長 .
2.如圖,△ABC中,AB=AC,∠B=36°,D、E是BC上兩點,使∠ADE=∠AED=2∠BAD,則圖中等腰三角形共有 個.

3.如圖,△ABC中,AD平分∠BAC,AB+BD=AC,則∠D:∠C的值= .
(“五羊杯”競賽題)
4.如圖,四邊形ABCD中,對角線AC與BD相交于E點,若AC平分∠DAB,且AB=AE,AC=AD,有如下四個結(jié)論:
①AC⊥BD;②BC=DE;③∠DBC= ∠DAB;④△ABE是等邊三角形.請寫出正確結(jié)論的序號 .(把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上) (2002午天津市中考題)
5.如圖, 在△ABC中,∠BAC=106°,EF、MN分別是AB、AC的中垂線,E、M在BC上,則∠EAM等于( )
A.58° B.3 2° C.36° D.34°

6.如圖,在△ABC中,∠B=2∠C,則AC與2AB之間的關(guān)系是( )
A.AC>2AB B.AC=2AB C.AC≤2AB D.AC<2AB
(山東省競賽題)
7.等腰三角形一腰上的高等于該三角形某一條邊的長度的一半,則其頂角等于( )
A.30° B.30°或150°C. 120°或150° D.30°或120°或150°
(“希望杯”邀請賽試題)
8.在銳角△ABC中,三個內(nèi)角的度數(shù)都是質(zhì)數(shù),則這樣的三角形( )
A.只有一個且為等腰三角形
B.至少有兩個且都為等腰三角形
C.只有一個但不是等腰三角形
D.至少有兩個,其中有非等腰三角形
9.如圖,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O為BC的中點.
(1)寫出點O到△ABC的三個頂點A、B、C的距離的關(guān)系.
(2)如果點M、N分別在線段AB、AC上 移動,在移動中保持AN=BM,請判斷△OMN的形狀,并證明你的結(jié)論. (廣東省中考題)

10.如圖,已知在△ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD上一點,且BE=AC,延長BE交AC于F,求證:AF=EF.

11.如圖,已知等邊三角形ABC,在AB 上取點D,在AC上取點E,使得AD=AE,作等邊三角形PCD,QAE和RAB,求證:P、Q、R是等邊三角形的三個頂點.
12.在△ABC中,AB=AC,高線AD= BC,AE為∠BAC的平分線,則∠CAD的度數(shù)為 . (北京市競賽題)
13.如圖,△ABC中,AB=AC,BC=BD=ED=EA,則∠A= .
14.如圖,四邊形ABCD中,AE、AF分別是BC,CD的中垂線,∠EAF=80°,∠CBD=30°,則∠ABC= ,∠ADC= . (天津市競賽題)
15.有一個等腰三角形紙片,若能從一個底角的頂點出發(fā),將其剪成兩個等腰三角形紙片,則原等腰三角形紙片的頂角為 度. (江蘇省競賽題)
16.在等邊△ABC所在的平面內(nèi)求一點P,使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形,具有這樣性質(zhì)的點P有( )
A.1個 B.4個 C.7個 D.10個
17.如圖,在五邊形ABCDE中,∠A=∠B=120°,EA=AB=BC= DC= DE,則∠D=( )
A.30° B.450° C. 60° D.67.5°
18.如圖,在△ABC中,∠BAC=120°,P是△ABC內(nèi)一點,則( )

A.PA+PB+PCAB+AC
C.PA+PB+PC=AB+AC D.PA+PB+PC與AB+AC的大小關(guān)系不確定,與P點位置有關(guān)

19.如圖,在△ABC內(nèi),∠BAC=60°,∠ACB=40°,P、Q分別在BC、CA上,并且AP、BQ分別為∠BAC、∠AB C的角平分線.求證:BQ+AQ=AB+BP.
(2002年全國初中數(shù)學(xué)競賽矗)
20,如圖,在△ABC中,AB=AC,∠ABC>60°,∠ABD=60°,且∠ADB=90°一 ∠BDC,求證:AC=BD+DC. (天津市競賽題)
21.如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是△ABC內(nèi)一點,且∠DAC=∠DCA=15°,求證:BD=BA.
22.在平面內(nèi)確定四點,連接每兩點, 使任意三點構(gòu)成等腰三角形(包括等邊三角形),且每兩點之間函線段長只有兩個數(shù)值,則這四點的取法有多少種?畫圖說明.
(濰坊市中考題)
23.(1)如圖,四邊形ABCD中,AB=AD,∠ABD=60°,∠BCD=120°,證明:BC+DC=AC.
(2)如圖,四邊形ABCD中,AB=BC,∠ABC=60°,P為四邊形ABCD內(nèi)一點,且∠APD=120°,證明:PA+PD+PC≥BD. (江蘇省競賽題)

24.如圖,等邊三角形ABD和等邊三角形CBDD的長均為a,現(xiàn)把它們拼合起來,E是AD上異于A、D兩點的一動點,F(xiàn)是CD上一動點,滿足AE+CF=a.
(1)E、F移動時,△BEF的形狀如何?
(2)求△BEF面積的最小值.

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