圖形的平移與旋轉(zhuǎn)

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 八年級(jí) 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)
前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家亞格龍將幾何學(xué)定義為:幾何學(xué)是研究幾何圖形在運(yùn)動(dòng)中不變的那些性質(zhì)的學(xué)科.
幾何變換是指把一個(gè)幾何圖形Fl變換成另一個(gè)幾何圖形F2的方法,若僅改變圖形的位置,而不改變圖形的形狀和大小,這種變換稱為合同變換,平移、旋轉(zhuǎn)是常見的合同變換.
如圖1,若把平面圖形Fl上的各點(diǎn)按一定方向移動(dòng)一定距離得到圖形F2后,則由的變換叫平移變換.
平移前后的圖形全等,對(duì)應(yīng)線段平行且相等,對(duì)應(yīng)角相等.
如圖2,若把平面圖Fl繞一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度得到圖形F2,則由Fl到F2的變換叫旋轉(zhuǎn)變換,其中定點(diǎn)叫旋轉(zhuǎn)中心,定角叫旋轉(zhuǎn)角.
旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等,對(duì)應(yīng)線段相等,對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.

通過平移或旋轉(zhuǎn),把部分圖形搬到新的位置,使問題的條件相對(duì)集中,從而使條件與待求結(jié)論之間的關(guān)系明朗化,促使問題的解決.
注 合同變換、等積變換、相似變換是基本的幾何變換.等積變換,只是圖形在保持面積不變情況下的形變'而相似變換,只保留線段間的比例關(guān)系,而線段本身的大小要改變.
例題求解
【例1】如圖,P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),PA:PB:PC=1:2:3,則∠APD= .

思路點(diǎn)撥 通過旋轉(zhuǎn),把PA、PB、PC或關(guān)聯(lián)的線段集中到同一個(gè)三角形.
【例2】 如圖,在等腰Rt△ABC的斜邊AB上取兩點(diǎn)M,N,使∠MCN=45°,記AM=m,MN= x,DN=n,則以線 段x、m、n為邊長的三角形的形狀是( )
A.銳角三角形 B.直角三角形
C.鈍角三角形 D.隨x、m、n的變化而改變
思路點(diǎn)撥 把△ACN繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,得△CBD,這樣∠ACM+∠BCN=45°就集中成一個(gè)與∠MCN相等的角,在一條直線上的m、 x、n 集中為△DNB,只需判定△DNB的形狀即可.
注 下列情形,常實(shí)施旋轉(zhuǎn)變換:
(1)圖形中出現(xiàn)等邊三角形或正方形,把旋轉(zhuǎn)角分別定為60°、90°;
(2)圖形中有線段的中點(diǎn),將圖形繞中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,構(gòu)造中心對(duì)稱全等三角形;
(3)圖形中出現(xiàn)有公共端點(diǎn)的線段,將含有相等線段的圖形繞公共端點(diǎn),旋轉(zhuǎn)兩相等線段的夾角后與另一相等線段重合.
【例3】 如圖,六邊形ADCDEF中,AN∥DE,BC∥EF,CD∥AF,對(duì)邊之差BC-EF=ED?AB=AF?CD>0,求證:該六邊形的各角相等.
(全俄數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題)
思路點(diǎn)撥 設(shè)法將復(fù)雜的條件BC?FF=ED?AB=AF?CD>0用一個(gè)基本圖形表示,題設(shè)中有平行條件,可考慮實(shí)施平移變換.
注 平移變換常與平行線相關(guān),往往要用到平行四邊形的性質(zhì),平移變換可將角,線段移到適當(dāng)?shù)奈恢茫狗稚⒌臈l件相對(duì)集中,促使問題的解決.
【例4】 如圖,在等腰△ABC的兩腰AB、AC上分別取點(diǎn)E和F,使AE=CF.已知BC=2,求證:EF≥1. (西安市競(jìng)賽題)

思路點(diǎn)撥 本例實(shí)際上就是證明2EF≥BC,不便直接證明,通過平移把BC與EF集中到同一個(gè)三角形中.
注 三角形中的不等關(guān)系,涉及到以下基本知識(shí):
(1)兩點(diǎn)間線段最短,垂線段最短;
(2)三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊;
(3)同一個(gè)三角形中大邊對(duì)大角(大角對(duì)大邊),三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.
【例5】 如圖,等邊△ABC的邊長為 ,點(diǎn)P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn),且PA2+PB2=PC2,若PC=5,求PA、PB的長. (“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)

思路點(diǎn)撥 題設(shè)條件滿足勾股關(guān)系PA2+PB2=PC2的三邊PA、PB、PC不構(gòu)成三角形,不能直接應(yīng)用,通過旋轉(zhuǎn)變換使其集中到一個(gè)三角形中,這是解本例的關(guān) 鍵.
學(xué)歷訓(xùn)練
1.如圖,P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),現(xiàn)將△ABP繞點(diǎn)B顧時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)能與△CBP′重合,若PB=3,則PP′= .
2.如圖,P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn),PA=6,PB=8,PC=10,則∠APB .
3.如圖,四邊形ABC D中,AB∥CD,∠D=2∠B,若AD=a,AB=b,則CD的長為 .

4.如圖,把△ABC沿AB邊平移到△A'B'C'的位置,它們的重疊部分(即圖中陰影部分)的面積是△ABC的面積的一半,若AB= ,則此三角形移動(dòng)的距離AA'是( )
A. B. C.l D. (2002年荊州市中考題)
5.如圖,已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn),兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)C、F,給出以下四個(gè)結(jié)論:①AE=CF;②△EPF是等腰直角三角形;③S四邊形AEPF= S△ABC;④EF=AP.
當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)(點(diǎn)E不與A、B重合),上述結(jié)論中始終正確的有( )
A.1個(gè) B.2個(gè) C .3個(gè) D.4個(gè)
(2003年江蘇省蘇州市中考題)
6.如圖,在四邊形 ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD于E, S四邊形ABCD d=8,則BE的長為( )
A.2 B.3 C . D. (2004年武漢市選拔賽試題)

7.如圖,正方形ABCD和正方形EFGH的邊長分別為 和 ,對(duì)角線BD、FH都在直線 上,O1、O2分別為正方形的中心,線段O1O2的長叫做兩個(gè)正方形的中心距,當(dāng)中心O2在直線 上平移時(shí),正方形EFGH也隨之平移,在平移時(shí)正方形EFGH的形狀、大小沒有變化.
(1)計(jì)算:O1D= ,O2F= ;
(2)當(dāng)中心O2在直線 上平移到兩個(gè)正方形只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),中心距O1O2= ;
(3)隨著中心O2在直線 上平移,兩個(gè)正方形的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)還有哪些變化?并求出相對(duì)應(yīng)的中心距的值或取值范圍(不必寫出計(jì)算過程). (徐州市中考題)

8.圖形的操做過程(本題中四個(gè)矩形的水平方向的邊長均為a,豎直 方向的邊長均為b):
在圖a中,將線段A1A2向右平移1個(gè)單位到B1B2,得到封閉圖形A1A2B1B2(即陰影部分);
在圖b中, 將折線A1A2A3向右平移1個(gè)單位到B1B2B3,得到封閉圖形A1A2A3B1B2B3(即陰影部分);
(1)在圖c中,請(qǐng)你類似地畫一條有兩個(gè)折點(diǎn)的折線,同樣向右平移1個(gè)單位,從而得到一個(gè)封閉圖形,并用斜線畫出陰影;
(2)請(qǐng)你分別寫出上述三個(gè)圖形中除去陰影部分后剩余部分的面積:S1= ,,S2= ,S3= ;
(3)聯(lián)想與探索:
如圖d,在一塊矩形草地上,有一條彎曲的柏油小路(小路任何地方的水平寬度都是1個(gè)單位),請(qǐng)你猜想空白部分表示的草地面積是多少?并說明你的猜想是正確的.
(2002年河北省中考題)
9.如圖,已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn),△ACM、△CBN是等邊三角形,求證:AN=BM.
說明及要求:本題是《幾何》第二冊(cè)幾15中第13題,現(xiàn)要求:
(1)將△ACM繞C點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°,使A點(diǎn)落在CB上,請(qǐng)對(duì)照原題圖在圖中畫出符合要求的圖形(不寫作法,保留作圖痕跡).
(2)在①所得的圖形中,結(jié)論“AN=BM”是否還成立?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說明理由.
(3)在①得到的圖形中,設(shè)MA的延長線與BN相交于D點(diǎn),請(qǐng)你判斷△ABD與四邊形MDNC的形狀,并證明你的結(jié)論.

10.如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3cm,AC=4cm,以斜邊BC上距離B點(diǎn)3cm的點(diǎn)P為中心,把這個(gè)三角形按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至△DEF,則旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)直角三角形重疊部分的面積是 cm2.
11.如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,BC=CD=12,∠ABE=45°,點(diǎn)E在DC上,AE、BC的延長線交于點(diǎn)F,若AE=10,則S△ADE+S△CEF的值是 .
(紹興市中考題)

12.如圖,在△ABC中,∠BAC=120°,P是△ABC內(nèi)一點(diǎn),則PA+PB+PC與AB+AC的大小關(guān)系是( )
A.PA+PB+PC>AB+AC B.PA+PB+PCC. PA+PB+PC=AB+AC D.無法確定
13.如圖,設(shè)P到等邊三角形ABC兩頂點(diǎn)A、B的距離分別為2、3,則PC所能達(dá)到的最大值為( )
A. B. C .5 D.6
(2004年武漢市選拔賽試題)
14.如圖,已知△ABC中,AB=AC,D為AB上一點(diǎn),E為AC 延長線上一點(diǎn),BD=CE,連DE,求證:DE>DC.
15.如圖,P為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn),PA、PB、PC的長為正整數(shù),且PA2+PB2=PC2,設(shè)PA=m,n為大于5的實(shí)數(shù),滿 ,求△ABC的面積.
16.如圖,五羊大學(xué)建立分校,校本部與分校隔著兩條平行的小河, ∥ 表示小河甲, ∥ 表示小河乙,A為校本部大門,B為分校大門,為方便人員來往,要在兩條小河上各建一座橋,橋面垂直于河岸.圖中的尺寸是:甲河寬8米,乙河寬10米,A到甲河垂直距離為40米,B到乙河垂直距離為20米,兩河距離100米,A、B兩點(diǎn)水平距離(與小河平行方向)120米,為使A、B兩點(diǎn)間來往路程最短,兩座橋都按這個(gè)目標(biāo)而建,那么,此時(shí)A、D兩點(diǎn)間來往的路程是多少米? (“五羊杯”競(jìng)賽題)

17.如圖,△ABC是等腰直角三角形,∠C=90°,O是△ABC內(nèi)一點(diǎn),點(diǎn)O到△ABC各邊的距離都等于1,將△ABC繞 點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,得△A1BlC1 ,兩三角形公共部分為多邊形KLMNPQ.
(1)證明:△AKL、△BMN、△CPQ都是等腰直角三角形;
(2)求△ABC與△A1BlC1公共部分的面積. (山東省競(jìng)賽題)

18.(1)操作與證明:如圖1,O是邊長為a的正方形ACBD的中心,將一塊半徑足夠長,圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在O點(diǎn)處,并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn),求證:正方形ABCD的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值.
(2)嘗試與思考:如圖2,將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在邊長為a的正三角形或正五邊形的中心O點(diǎn)處,并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn), 當(dāng)扇形紙板的圓心角為 時(shí),正三角形的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a;當(dāng)扇形紙板的圓心角為 時(shí),正五邊形的邊被紙板覆蓋部分的總長度也為定值a.
(3)探究與引申:一般地,將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在邊長為a的正n邊形的中心O點(diǎn)處,并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn).當(dāng)扇形紙板的圓心角為 時(shí),正n邊形的邊被紙板覆蓋部分 的總長度為定值a;這時(shí)正n邊形被紙板覆蓋部分的面積是否也為定值?若為定值,寫出它與正n邊形面積S之間的關(guān)系;若不是定值,請(qǐng)說明理由.

本文來自:逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/chuer/67531.html

相關(guān)閱讀:簡單的旋轉(zhuǎn)作圖