平行線是初中平面幾何中基本而重要的圖形，平行線能改變角的位置并傳遞角，可“送”線段到恰當處，完成等積變形，當一組平行線截兩條直線時就得到比例線段，平行線分線段成比例定理是研究比例線段、相似形的重要理論．
利用、挖掘、創(chuàng)造平行線，是運用平行線分線段成比例定理解題的關(guān)鍵，另一方面，需要熟悉并善于從復(fù)雜圖形中分解或構(gòu)造如下形如“E”、“A”型或“X”型的基本圖形：
例題求解
【例1】如圖，已知在平行四邊形ABCD中，M、N為AB的三等分點，DM、DN分別交AC于P、Q兩點，則AP：PQ：QC= ．
(河北省初中數(shù)學(xué)創(chuàng)新與知識應(yīng)用競賽試題)
思路點撥 圖中有形如“X”型的基本圖形，建立含AP，PQ，QC的比例式，并把AP，PQ，QC用同一條線段的代數(shù)式表示．
【例2】如圖，已知在△ABC中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD與CE相交于F，則 的值為( )
A． B．1 C． D．2
(江蘇省泰州市中考題)
思路點撥 已知條件沒有平行線，需恰當作平行線，構(gòu)造基本圖形，產(chǎn)生含 ， 的比例線段，并設(shè)法溝通已知比例式與未知比例式的聯(lián)系．
【例3】 如圖，BD、BA，分別是∠ADC與它的鄰補角∠ABP的平分線，AE⊥BE，AD⊥BD，E、D為垂足．
(1)求證：四邊形AEBD為矩形；
(2)若 =3，F(xiàn)、G分別為AE、AD上的點，F(xiàn)G交AB于點H，且 ，求證：△AHG是等腰三角形．
(廈門市中考題)
思路點撥 對于(2)，由比例線段導(dǎo)出平行線，證明∠HAG=∠AHG．
【例4】 如圖，梯形AB CD中，AD∥BC，AB＝DC．
(1)如果P、E、F分別是BC、AC、BD的中點，求證：AB=PE+PF；
(2)如果P是BC上的任意一點(中點除外)，PE∥AB，PF∥DC，那么AB=PE+PF這個結(jié)論還成立嗎?如果成立，請證明；如果不成立，說明理由．
(上海市閩行區(qū)中考題)
思路點撥 對于(2)，先假設(shè)結(jié)論成立，從平行線出發(fā)證明AB=PC+PF，即需證明 ，將線段和差問題的證明轉(zhuǎn)化為與比例線段有關(guān)問題的證明．
注 若題設(shè)條件無平行線，需作平行線．而作平行線要考慮好過哪一點作平行線，一般是由比的兩條線段啟發(fā)而得的，其目的是構(gòu)造基本圖形．
平行線分線段成比例定理是證明比例線段的常用依據(jù)之一，比例線段豐富了我們研究幾何問題的方法，主要體現(xiàn)在：
(1)利用比例線段求線段的長度；
(2)運用比例線段證明線段相等，線段和差倍分關(guān)系、兩直線平行等問題．
【例5】如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，直線 平行于BD，且與AB、DC、BC、AD及AC的延長線分別相交于點M、N、R、S和P，求證：PM×PN=PR×PS
(山東省競賽題)
思路點撥 由于PM、PN、PR、PS在同一條直線上，所以不能直接應(yīng)用平行線分線段成比例推得結(jié)論，需觀察分解圖形，利用中間比溝通不同比例式的聯(lián)系
學(xué)力訓(xùn)練
1．如圖，△ABC中有菱形AMPN，如果 ，則 ．
(南 通市中考題)
2．如圖，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD上一點，CF的延長線交AB于點E，若 ，則 ；若 ，則 ．(江蘇省鎮(zhèn)江市中考題)
3．如圖，已知點D為△ABC中AC邊的中點，AE∥BC，ED交AB于點G，交BC的延長線于點F，若 ，BC=8，則AE的長為 ．
(蘇州市中考題)
4．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4cm，BC=lcm，E是CD邊上一動點，AE、BC的延長線交于點F，設(shè)DE=x (?)，BF=y(cm)，用x的代數(shù)式表示y 得 ．
(黑龍江省中考題)
5．如圖，已知DE∥BC，EF∥AB，現(xiàn)得到下列結(jié)論：
① ；② ；③ ；④ ．
其中正確比例式的個數(shù)有( )
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
6．如圖，BD、CE是△ABC的中線，P、Q是BD、CE的中點，則 等于( )
A． B． C． D．
7．如圖，已知在平行四邊形ABCD中，O1、O2，O3為對角線BD上三點，且BO1=OlQ2=
O2O3=O3D，連結(jié)AOl并延長交BC于點C，連結(jié)EO3延長交AD于點F，則AD：FD等于( )
A．19：2 B．9：1 C．8：1 D．7：1
(河北省中考題)
8．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E在AC的延長線上，BD=3CE，DE交BC于F，則DF：FE等于( )
A．5：2 B．2：l C ．3：1 D．4：1
(江蘇省競賽題)
9．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB= CD，E是AB上一點，AE=2BE，M是腰BC的中點，連結(jié)EM并延長交DC的延長線于點F，連結(jié)BD交EF于點N求證：BN：ND=l：10． (河南省中考題)
10．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，EF經(jīng)過梯形對角線的交 點O，且EF∥AD．
(1)求證：OE=OF，(2)求 的值；
（3）求證： ．
11．已知如圖1，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分別為B、D，AD和BC相交于點E，EF⊥BD于F，我們可以證明 成立．若將圖1中的垂直改為斜交，如圖2，AB∥CD，AD、BC相交于點E，過點E作EF∥AB，交BD于點F，則：
(1) 還成立嗎?如成立，請給出證明；如不成立，請說明理由；
(2)請找出S△ABD，S△BED，S△BDC間的關(guān)系式，并給出證明．
(黃岡市中考題)
12．如圖，在梯形ABCD 中．AB∥CD，AB＝3CD，E是對角線AC的中點，BE延長后交AD于F，那么 = ．
(“祖沖之杯”邀請賽試題)
13．如圖，平行四邊形ABCD的對角線交于O點，過O任作一直線與CD、BC的延長線分別交于F、E點，設(shè)BC=a，CD=b，CE=c，則CF= ．
(山東賽區(qū)選拔賽試題)
14．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD= a ，BC= b ，E、F分別是AD、BC的中點，且AF交BE于P，CE交DF于Q，則PQ的長為 ．
15．如圖，工地上豎立著兩根電線桿AB、CD，它們相距15m，分別自兩桿上高出地面4m、6m的A、C處，向兩側(cè)地面上的E、D、B、F點處，用鋼絲繩拉緊，以固定電線桿，那么鋼絲繩AD與BC的交點P離地面的高度為 m．
(2000年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)
16．如圖，在△ABC中，D是AC的中點，E，F(xiàn)是BC的三等分點．AE、AF分別交BD于M、N兩點，則BM：MN：ND=( )
A．3：2；1 B．4：2：l C．5：2：1 D．5：3：2
(2004年武漢市選拔賽試題)
17．如圖，在梯形ABCD中 ，AD∥BC，AD=3，BC=9，AB=6，CD＝4，若EF∥BC，且梯形AEFD與梯形EBCF的周長相等，則EF的長為( )
A． B． C． D．
(山東省競賽題)
18．如圖，平行四邊形ABCD中，F(xiàn)、F分別是邊AD、BC的中點，AC分別交BE、DF于G、H，試判 斷下列結(jié)論：①BE=DF；②AG=GH=HC；③EG= BG；
④S△ABE=3S△AGE，其中正確的結(jié)論有( )
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
19．如圖，已知△ABC， ， ，AD、BE交于F，則 的值( )
A． B． C． D．
20．如圖，已知AB∥EF∥CD，AC+BD=240，BC=100，EC+ED=192，求CF．
(山東省競賽題)
21．如圖，已知在平行四邊形ABCD中，F(xiàn)為AB邊的中點，AF= FD，F(xiàn)E與AC相交于G，求證：AG= AC．
22．如圖，已知M、N為△ABC的邊BC上的兩點，且滿足BM=MN=NC，一條平行于AC的直線分別交AB、AM和AN的延長線于點D、E和F，求證：EF=3DE．
(湖北省黃岡市競賽題)
23．在△ABC中，D為BC邊的中點，E為AC邊上的任意一點，BE交AD于點O．某學(xué)生在研究這一問題時，發(fā)現(xiàn)了如下的事實：
(1)當 時，有 (如圖甲)；
（2）當 時，有 (如圖乙)；
(3)當 時，有 (如圖丙)；
在圖丁中，當 時，參照上述研究結(jié)論 ，請你猜想用 表示 的一般結(jié)論，并給出證明(其中n是正整數(shù))
( 山西省中考題)
24．如圖，在平行四邊形ABCD中，P1，P2，…，Pn是BD的n等分點，連結(jié)AP2并延長交BC于點E，連結(jié)APn-2并延長交CD于點F．
(1)求證：EF∥BD；
(2)設(shè)平行四邊形ABCD的面積是S，若S△AEF= S，求n的值． (山東省競賽題)
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