一、學(xué)生起點(diǎn)分析
學(xué)生已具備了對無理數(shù)的認(rèn)識,知道只有有理數(shù)是不夠的.學(xué)生還具備了乘方運(yùn)算的基礎(chǔ),并且有計(jì)算正方形等幾何圖形面積的技能.在前面的學(xué)習(xí)過程中,學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學(xué)習(xí)的過程,具備了一定的合作學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn),具備了一定的合作與交流的能力.這節(jié)課的教學(xué),力求從學(xué)生實(shí)際出發(fā),以他們熟悉的問題情景引入學(xué)習(xí)主題,在關(guān)注現(xiàn)實(shí)生活的同時(shí),更加關(guān)注數(shù)學(xué)知識內(nèi)部的挑戰(zhàn)性.
二、教學(xué)任務(wù)分析
本節(jié)課是義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書北師大版八年級(上)第二章《實(shí)數(shù)》的第二節(jié)《平方根》.本節(jié)內(nèi)容計(jì)2個課時(shí),本節(jié)課是第1課時(shí),主要是算術(shù)平方根的概念和性質(zhì)的教學(xué).課程標(biāo)準(zhǔn)要求,對于數(shù)學(xué)概念的教學(xué),要關(guān)注概念的實(shí)際背景與形成過程,因此確定本節(jié)的教學(xué)目標(biāo)如下:
?知識與技能目標(biāo)
1.了解算術(shù)平方根的概念,會用根號表示一個數(shù)的算術(shù)平方根.
2.了解求一個正數(shù)的算術(shù)平方根與平方是互逆的運(yùn)算,會利用這個互逆運(yùn)算關(guān)系求非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根.
3.了解算術(shù)平方根的性質(zhì).
?過程與方法目標(biāo)
1.在概念形成過程中,讓學(xué)生體會知識的來源與發(fā)展,提高學(xué)生的思維能力.
2.在合作交流等活動中,培養(yǎng)他們的合作精神和創(chuàng)新意識.
?情 感與態(tài)度目標(biāo)
1.讓學(xué)生積極參與教學(xué)活動,培養(yǎng)他們對數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲.
教學(xué)重點(diǎn):
了解算術(shù)平方根的概念、性質(zhì),會用根號表示一個正數(shù)的算術(shù)平方根.
教學(xué)難點(diǎn):
對算術(shù)平方根的概念和性質(zhì)的理解.
三、教法學(xué)法
教學(xué)方法:講授法.
課前準(zhǔn)備:
教具:教材,多媒體,電腦.
學(xué)具:教材,筆,練習(xí)本.
四、教學(xué)過程:
本課時(shí)設(shè)計(jì)六個環(huán)節(jié):第一環(huán)節(jié):問題情境;第二環(huán)節(jié):初步探究;第三環(huán)節(jié):深入探究;第四環(huán)節(jié):反饋練習(xí);第五環(huán)節(jié):學(xué)習(xí)小結(jié);第六環(huán)節(jié):作業(yè)布置.
本節(jié)課教學(xué)流程為:
第一環(huán)節(jié):問題情境
方法一:問題導(dǎo)入
內(nèi)容:上節(jié)課學(xué)習(xí)了無理數(shù),了解到無理數(shù)產(chǎn)生的實(shí)際背景和引入的必要性,掌握了無理數(shù)的概念,知道有理數(shù)和無理數(shù)的區(qū)別是:有理數(shù)是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù),無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù).比如上一節(jié)課我們做過的:由兩個邊長為1的小正方形,通過剪一剪,拼一拼,得到一個邊長為a的大的正方形,那么有a2=2,a= ,2是有理數(shù),而a 是無理數(shù).在前面我們學(xué)過若x2=a,則a叫x的平方,反過來x叫a的什么呢?本節(jié)課我們一起來學(xué)習(xí).
方法二:問題導(dǎo)入
內(nèi)容:前面我們學(xué)習(xí)了勾股定理,請大家根據(jù)勾股定理,結(jié)合圖形完成:
x2= ,y2= ,z2= ,w2= .
意圖:方法一和二都是帶著問題進(jìn)入到這節(jié)課的學(xué)習(xí),讓學(xué)生體會到學(xué)習(xí)算術(shù)平方根的必要性.
效果:能表示x2=2,y2=3,z2=4,w2=5;能求得z=2,但不能求得x、y、w的值.
說明:方法一的引入是由上節(jié)課“數(shù)怎么又不夠用了”的例子,起到了承前啟后的作 用,方法二的引入是由學(xué)生學(xué)習(xí)了第一章“勾股定理”后的應(yīng)用,說明學(xué)習(xí)這節(jié)課的必要性.相對而言,建議選用方法二。
第二環(huán)節(jié):初步探究
內(nèi)容1:情境引出新概念
x2=2,y2=3,z2=4,w2=5,已知冪和指數(shù),求底數(shù)x,你能求出來嗎?
意圖:讓學(xué)生體驗(yàn)概念形成過程,感受到概念引入的必要性.
效果:學(xué)生可以估算出x,y是1到2之間的數(shù),w是2到3之間的數(shù)但無法表示x、y、w,從而激發(fā)學(xué)生繼續(xù)往下學(xué)習(xí)的興趣,進(jìn)而引入新的運(yùn)算——開方.
說明:無論是用方法一引入,還是方法二引入,都是激發(fā)學(xué)生繼續(xù)往下學(xué)習(xí)的興趣,都可以提出同樣的問題“已知冪和指數(shù),求底數(shù)x,你能求出來嗎?”
內(nèi)容2:在上面思考的基礎(chǔ)上,明晰概念:
一般地,如果一個正數(shù)x的平方等于a,即x2=a,那么這個正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根,記為“ ”,讀作“根號a”.特別地,我們規(guī)定0的算術(shù)平方根是0,即 .
意圖:對算術(shù)平方根概念的認(rèn)識.
效果:了解算術(shù)平方根的概念,知道平方運(yùn)算和求正數(shù)的算術(shù)平方根是互逆的.
內(nèi)容3:簡單運(yùn)用 鞏固概念
例1 求下列各數(shù)的算術(shù)平方根:
(1)900; (2)1; (3) ; (4)14.
意圖:體驗(yàn)求一個正數(shù)的算術(shù)平方根的過程,利用平方運(yùn)算求一個正數(shù)的算術(shù)平方根的方法,讓學(xué)生明白有的正數(shù)的算術(shù)平方根可以開出來,有的正數(shù)的算術(shù)平方根只能用根號表示,如14的算 術(shù)平方根是 .
效果:會求一個正數(shù)的算術(shù)平方根,更進(jìn)一步了解算術(shù)平方根的性質(zhì):一個正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù),0的算術(shù)平方根是0,負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根.
答案:解:(1)因?yàn)?02=900,所以900的算術(shù)平方根是30,即 ;
(2)因?yàn)?2=1,所以1的算術(shù)平方根是1,即 ;
(3)因?yàn)?,所以 的算術(shù)平方根是 , 即 ;
(4)14的算術(shù)平方根是 .
內(nèi)容4:回解課堂引入問題
x2=2,y2=3,w2=5,那么x= ,y= ,w= .
第三環(huán)節(jié):深入探究
內(nèi)容1:例2 自由下落物體的高度h(米)與下落時(shí)間t(秒)的關(guān)系為h=4.9t2.有一鐵球從19.6米高的建筑物上自由下落 ,到達(dá)地面需要多長時(shí)間?
意圖:用算術(shù)平方根的知識解決實(shí)際問題.
效果:學(xué)生多能利用等式的性質(zhì)將h=4.9t2進(jìn)行變形,再用求算術(shù)平方根的方法求 得題目的解.
解:將h=19.6代入公式得h=4.9 t2, t2 =4,所以t = =2(秒) .
即鐵球到達(dá)地面需要2秒.
說明:此題是為得出下面的結(jié)論作鋪墊的.
內(nèi)容2:觀察我們剛才求出的算術(shù)平方根有什么特點(diǎn).
意圖:讓學(xué)生認(rèn)識到算術(shù)平方根 定義中的兩層含義: 中的a是一個非負(fù)數(shù),a的算術(shù)平方根 也是一個非負(fù)數(shù),負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根.這也是算術(shù)平方根的性質(zhì)——雙重非負(fù)性.
效果:再一次深入地認(rèn)識算術(shù)平方根的概念,明確只有非負(fù)數(shù)才有算術(shù)平方根.
第四環(huán)節(jié):反饋練習(xí)
一、題:
1.若一個數(shù)的算術(shù)平方根是 ,那么這個數(shù)是 ;
2. 的算術(shù)平方根是 ;
3. 的算術(shù)平方根是 ;
4.若 ,則 = .
二、求下列各數(shù)的算術(shù)平方根:
36, ,15,0.64, , , .
三、如圖,從帳篷支撐竿AB的頂部A向地面拉一根繩子AC固定帳篷.若繩子的長度為5.5米,地面固定點(diǎn)C 到帳篷支撐竿底部B的距離是4.5米,則帳篷支撐竿的高是多少米?
答案:一、1.7;2. ;3. ;4.16;二、6; ; ;0.8; ; ;1;
三、解:由題意得 AC=5.5米,BC=4.5米,∠ABC=90°,在Rt△ABC中,由勾股定理得 (米).所以帳篷支撐竿的高是 米.
意圖:旨在檢測學(xué)生對算術(shù)平方根的概念和性質(zhì)的掌握情況,以便根據(jù)學(xué)生情況調(diào)整教學(xué)進(jìn)程.
效果:練習(xí)注意了問題的梯度性,由淺入深,一步步加深對算術(shù)平方根的概念以及性質(zhì)的認(rèn)識.對學(xué)生的回答,教師要給予評價(jià)和點(diǎn)評。
第五環(huán)節(jié):學(xué)習(xí)小結(jié)
內(nèi)容:這節(jié)課學(xué)習(xí)的算術(shù)平方根是本章的基本概念,是為以后的學(xué)習(xí)做鋪墊的.通過這節(jié)課的學(xué)習(xí),我們要掌握以下的內(nèi)容:
(1)算術(shù)平方根的概念,式子 中的雙重非負(fù)性:一是a≥0,二是 ≥0.
(2)算術(shù)平方根的性質(zhì):一個正數(shù)的算術(shù)平方根是一個正數(shù);0的算術(shù)平方根是0;負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根.
(3)求一個正數(shù)的算術(shù)平方根的運(yùn)算與平方運(yùn)算是互逆的運(yùn)算,利用這個互逆運(yùn)算關(guān)系求非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根.
意圖:依照本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)引導(dǎo)學(xué)生自己小結(jié)本節(jié)課的知識要點(diǎn),強(qiáng)化算術(shù)平方根的概念和性質(zhì).
第六環(huán)節(jié):作業(yè)布置
習(xí)題2.3
五、教學(xué)設(shè)計(jì)說明
1.設(shè)計(jì)理念
要想讓 學(xué)生正確、牢固地樹立起算術(shù)平方根的概念,需要由淺入深、不斷深化的過程.概念是由具體到抽象、由特殊到一般,經(jīng)過分析、綜合去掉非本質(zhì)特征,保持本質(zhì)屬性而形成的.概念的形成過程也 是思維過程,加強(qiáng)概念形成過程的教學(xué),對提高學(xué)生的思維水平是很有必要的.概念教學(xué)過程中要做到:講清概念,加強(qiáng)訓(xùn)練,逐步深化.
“講清概念”就是通過具體實(shí)例揭露算術(shù)平方根的本質(zhì)特征.算術(shù)平方根的本質(zhì)特征就是 定義中指出的:“如果一個正數(shù)x的平方等于a,即x2=a,那么這個正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根,”的 “正數(shù)x”,即被開方數(shù)是正的,由平方的意義,a也是正數(shù),因此算術(shù)平方根也必須是正的.當(dāng)然零的算術(shù)平方根是零.
“加強(qiáng)訓(xùn)練”不但指要加強(qiáng)求算術(shù)平方根的基本訓(xùn)練,使練習(xí)題達(dá)到一定的質(zhì)和量,也包括書寫格式的訓(xùn)練,如在求正數(shù)的算術(shù)平方根時(shí),不是直接寫出算術(shù)平方根,而是通過平方運(yùn)算來求算術(shù)平方根 ,非平方數(shù)的算術(shù)平方根只能用根號來表示.
“逐步深化”是指利用算術(shù)平方根的概念和性質(zhì)的題目按不同的“梯度”組成題組,在教學(xué)的不同階段按由淺入深的原則加以使用.
2.知識拓展
在教學(xué)中,根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況,在學(xué)有余力的情況下,可用以下的例題和練習(xí)題進(jìn)行知識的拓展:
內(nèi)容:例 已知 ,求 的值.
解:因?yàn)?和 都是非負(fù)數(shù),并且 ,所以 , ,解得x=2,y= -4,所以 .
意圖:加深對算術(shù)平方根概念中兩層含義的認(rèn)識,會用算術(shù)平方根的概念來解決有關(guān)的問題.
效果:達(dá)到能靈活運(yùn)用算術(shù)平方根的概念和性質(zhì)的目的.
課后還可以布置相應(yīng)的拓展性習(xí)題:
內(nèi)容:1.已知 ,求x+y+z的值.
2.若x,y滿足 ,求xy的值.
3.求 中的x.
4.若 的小數(shù)部分為a, 的小數(shù)部分為b,求a+b的值.
5.△ABC的三邊長分別為a,b,c,且a,b滿足 ,求c的取值范圍.
解:1.因?yàn)?≥0, ≥0, ≥0,且 ,
所以 =0, =0, =0,解得 , , ,所以x+y+z= .
2.因?yàn)?x-1≥0,1-2x≥0,所以 2x-1=0,解得 x= ,當(dāng) x= 時(shí),y=5,所以 xy= ×5= .
3.解:因?yàn)閤-5≥0, ≥0 ,所以 x=5 .
4.解:因?yàn)?,所以 的整數(shù)部分為8, 的整數(shù)部分 為1,所以 的小數(shù)部分 , 的小數(shù)部分 ,所以 .
5.解:由 ,可得 ,因?yàn)?≥0, ≥0,
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