數(shù)和形是數(shù)學(xué)研究的基本對(duì)象，是數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的兩塊基石，在數(shù)學(xué)發(fā)展的過(guò)程中，數(shù)和形常常結(jié)合在一起，在方法上互相滲透，在內(nèi)容上互相聯(lián)系．
以數(shù)助形，即恰當(dāng)?shù)匾齾⒒蛟O(shè)元，把一些幾何量如角度的大小、線段的長(zhǎng)度等用字母或代數(shù)式表示，利用圖形的性質(zhì)，尋找?guī)缀螆D形元素之間的關(guān)系，通過(guò)解方程、等式變形、等式運(yùn)算等代數(shù)方法解證幾何題．
用形輔數(shù)，即把一個(gè)代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，問(wèn)題中的條件與結(jié)論直觀地、整體地表示出來(lái)，借助圖形的直觀性輔助解題，在代數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們廣泛地使用了用形輔數(shù)的方法，如用數(shù)軸賦予抽象的代數(shù)概念以直觀的形象、乘法公式的幾何表示、解應(yīng)用題時(shí)常借助直線圖、圖表幫助分析等．
例題求解
【例1】 若a、b均為正數(shù)，且 ， ， 是一個(gè)三角形的三
條邊的長(zhǎng)，那么這個(gè)三角形的面積等于 ． ( “希望杯”邀請(qǐng)賽試題)
思路點(diǎn)撥 直接用三角形面積公式求面積較為復(fù)雜，利用 的幾何意義(表示直角邊分別為m，n的直角三角形斜邊長(zhǎng))，構(gòu)造圖形求面積．
注 古埃及，在長(zhǎng)期土地測(cè)量、劃分界限的過(guò)程中形成了最初的幾何學(xué)．“Geometry(幾何)”一詞在希臘文中意為“測(cè)量”，我國(guó)宋元時(shí)期巳將某些幾何問(wèn)題代數(shù)化，把圖形之間的幾何關(guān)系，表示成代數(shù)式之間的代數(shù)關(guān)系．
17世紀(jì)笛卡爾的解析幾何引進(jìn)坐標(biāo)，用“數(shù)”研究“形”，為18、19世紀(jì)數(shù)學(xué)的空前發(fā)展作了準(zhǔn)備．
【例2】 如圖，在△ABD中，C為AD上一點(diǎn)，AB=CD=1，∠ABC=90°，∠CBD=30°，則AC=( )
A．1 B． C． D． (武漢市選拔賽試題)
思路點(diǎn)撥 過(guò)D作DE⊥AB交AB延長(zhǎng)線于E，設(shè)AC=x，BE=y，運(yùn)用平行線分線段成比例、直角三角形邊角關(guān)系、勾股定理等知識(shí)建立方程組，通過(guò)解方程組求AC的值．
【例3】 如圖，E、F分別是邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD的邊BC、CD上的點(diǎn)，CE=1，CF= ，直線FC交AB的延 長(zhǎng)線于G，過(guò)線段FG上的動(dòng)點(diǎn)H作HM⊥AG，HN⊥AD，垂足分別為M，N，設(shè)HM=x，矩形AMHN的面積為y．
(1)用x的代數(shù)式表示y；
(2)當(dāng)x為何值時(shí)，矩形AMHN的面積最大，最大面積是多少?
(2001年南京市中考題)
思路點(diǎn)拔 對(duì)于(1)S矩形AMHN= HM×AM，AM=AB+BM，只需把BM用x的代數(shù)式表示即可，對(duì)于(2)，把關(guān)于x的代數(shù)式通過(guò)配方變形可獲解．注意相似三角形基本圖形的運(yùn)用．
【例4】已知正數(shù) a、b、c和x、y、z滿足 ，求證： ．
思路點(diǎn)撥 相等的量賦予它的幾何意義，易想到等邊三角形、正方形，從構(gòu)造邊長(zhǎng)為 的正方形入手．
注 對(duì)于一個(gè)幾何問(wèn)題，能否通過(guò)代數(shù)運(yùn)算解塊，關(guān)鍵在于幾何問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系能否方便地表示成適應(yīng)代數(shù)適算的表達(dá)式：一個(gè)幾何問(wèn)題，能否通過(guò)列方程的手段解決，在于問(wèn)題本身是否存 在著構(gòu)成方程的等量關(guān)系，在尋找等量關(guān)系的過(guò)程中，常用到勾股定理、全等三角形、相似三角形等知識(shí)與方法．
美國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂思說(shuō)：“如果一個(gè)特定的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，那么思維就整體地把握了問(wèn)題，并且能創(chuàng)造性地思考問(wèn)題的解法．”圖形能直觀、形象地表示數(shù)量關(guān)系，能幫助分析、理順復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系．用形輔數(shù)目前常見(jiàn)的方式是：
(1)利用等量構(gòu)造等邊三角形、正方形；
(2)利用根式的幾何意義構(gòu)造直角三角形、矩形．
【例5】 如圖，在矩形ABCD中，AB=12厘米，BC=6厘米．點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開(kāi)始向點(diǎn)B以2厘米／秒的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開(kāi)始向點(diǎn)A以1厘米／秒的速度移
動(dòng)．如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t(秒)表示移動(dòng)的時(shí)間(0≤t≤6)，那么：
(1)當(dāng)t為何值時(shí)，△QAP為等腰直角三角形?
(2)求四邊形QAPC的面積，提出一個(gè)與計(jì)算結(jié)果有關(guān)的結(jié)論；
(3)當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似? (2002年山西省中考題)
思路點(diǎn)撥 (1)把相關(guān)線段用t的代數(shù)式表示，利用勾股定理建立t的方程，(2)注意動(dòng)態(tài)變化過(guò)程中某些量的不變性，從而提出相關(guān)問(wèn)題，(3)借助三角形相似的判定方法，探求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，其中蘊(yùn)含著分類(lèi)討論的思想方法．
學(xué)力訓(xùn)練
1．如圖是一塊在電腦屏幕上出現(xiàn)的矩形色塊圖，由6個(gè)顏色不同的正方形組成，設(shè)中間最小的一個(gè)正方形邊長(zhǎng)為1，則這個(gè)矩形色塊圖的面積為 ．
2．用8塊相同的長(zhǎng)方形地磚拼成一個(gè)矩形，則每個(gè)長(zhǎng)方形地磚的面積是 ．
(黑龍江省中考題)
3．如圖，在正方形網(wǎng)格上有6個(gè)斜三角形，①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK，其中②~⑥中，與三角形①相似的是( )
A．②③④ B．③④⑤ C．④⑤⑥ D．②③⑥
4．已知一個(gè)直角三角形 的兩直角邊上的中線長(zhǎng)分別為5和2 ，那么這個(gè)三角形的斜邊長(zhǎng)為( )
A．10 B．4 C． D．
5．如圖，以長(zhǎng)為2的定線段為邊作正方形ABCD，取AB的中點(diǎn)P，在BA的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，使PF=PD，以AF為邊作正方形AMEF，點(diǎn)M在AD上．
(1)求AM，DM的長(zhǎng)；
(2)求證：AM2=AD×DM．
6．如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120mm，高AD＝80mm，要把它加工成一個(gè)矩形零件，使矩形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上，設(shè)該矩形的長(zhǎng)QM=ymm，寬MN=xmm．
(1)求證：y= ；
(2)當(dāng)x與y分別取 什么值時(shí)，矩形P QMN的面積最大?最大面積是多少?
7．已知：如圖，正方形ABCD的周長(zhǎng)為4 a，四邊形EFGH的四個(gè)頂點(diǎn)F、F，G、H分別在AB、BC、CD、DA上滑動(dòng)，在滑動(dòng)過(guò)程中，始終有EH∥BD∥FG，且EH=FG，那么四邊形EFGH的周長(zhǎng)是否可求?若能求出，它的周長(zhǎng)是多少?若不能求出，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(2003年新疆建設(shè)兵團(tuán)中考題)
8．如圖，在△ABC中，AC=2，BC=4，∠ACB=60°，將△ABC折疊，使點(diǎn)B和點(diǎn)C重合，折痕 為DE，則△AZC的面積是 ．
9．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，C為CD的中點(diǎn)，BE=13，梯形ABCD的面積為120，那么AB+BC+DA= ．
10．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，M、N是BC邊上的點(diǎn)，BM=MN=NC，如果AM=4，AN=3，則MN= ． (上海市高中理科實(shí)驗(yàn)班招生試題)
11．代數(shù)式 的最小值是 ．
12．在方格紙中，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．以格點(diǎn)連線為邊的三角形叫做格點(diǎn)三角形．請(qǐng)你在右圖所示的10×10的方格紙中，畫(huà)出兩個(gè)相似但不全等的格點(diǎn)三角形，并加以證明． 要求所畫(huà)三角形是鈍角三角形，并標(biāo)明相應(yīng)字母． (山西省中考題)
13．如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，BC=10，AB=DC=5，P是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線 過(guò)點(diǎn)P且平行于DC，交梯形另外一邊于E點(diǎn)，設(shè)BP=x，梯形位于直線 左側(cè)的圖形的面積為S，分別求出當(dāng)點(diǎn)E位于BA、AD上時(shí)，S與x之間的關(guān)系 式，并分別指出x的取值范圍． (威海市中考題)
14．如圖，已知正方形ABCD，直線AG分別交BD、CD于點(diǎn)E、F，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，點(diǎn)H是線段FG上的點(diǎn)，且HC⊥C E．
(1)求證：點(diǎn)H是GF的中點(diǎn)；
(2)設(shè) (0
16．如圖，在△ABC中，∠C=90°，D，E是BC邊上的兩點(diǎn)， 且∠ABC= ∠ADC= ∠AEC，已知BD=11，DE＝5，求AC長(zhǎng)． (北京市競(jìng)賽題)
17．如圖，在△AB C中，BE、CF是中線，且BE⊥CF，AC=b ，AB= c (c> b )
(1)求BC的長(zhǎng)；
(2)若△ABC存在，討論 的取值范圍．
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/chuer/54237.html
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