4.3反例與證明
一、教材、學(xué)情分析：
舉反例和證明同樣重要，注重反例以培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性、靈活性，以及注重反例構(gòu)建培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性、深刻性和創(chuàng)新性在數(shù)學(xué)中的重要性已越來越被人們重視和認(rèn)可。反例構(gòu)建還是誘發(fā)學(xué)生創(chuàng)造力的很好載體。教師在進(jìn)行教學(xué)時，不但要適當(dāng)?shù)厥褂梅蠢匾氖且朴谝龑?dǎo)學(xué)生構(gòu)建反例，這實際上是為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一種探索情境。因此，構(gòu)建反例的過程也是學(xué)生發(fā)散思維的充分發(fā)揮和訓(xùn)練過程。
二、教學(xué)目標(biāo)：
（一） 知識與技能
通過實際問題的分析，理解反例的意義和作用。掌握在簡單情況下利用反例證明一個命題是錯誤的。
（二）教學(xué)思考
通過判定引入命題的真假培養(yǎng)學(xué)生的思維能力; 在思考爭論的過程中，學(xué)會合作，交流思想；通過獨立思考與小組合作，小組競賽培養(yǎng)學(xué)生獨立自主精神、合作精神和競爭意識；
（三）解決問題
會利用一些簡單的例子，對一個命題作出合理的解釋判斷與證明；提高他們處理問題和解決問題能力；
（四）情感與態(tài)度
通過數(shù)學(xué)知識的實際應(yīng)用，滲透數(shù)學(xué)來源于生活又應(yīng)用于生活的思想，體驗學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，從而激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。
【教學(xué)重點、難點】
?重點：用反例證 明一個命題是錯誤的．
?難點：如何構(gòu)造一個反例去證明一個命題是錯誤的．因為要從條件出發(fā)又不能使其滿足結(jié)論，要求學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解能力較高。
【教學(xué)過程】
一、談話引入，激發(fā)興趣
讀一讀：
高斯說：“給我最大快樂的，不是已懂得知識，而是不斷地學(xué)習(xí)；不是已有的東西，而是不斷地獲取；不是 已達(dá)到的高度，而是繼續(xù)不斷地攀登”。
師：高斯是偉大的數(shù)學(xué)家，他告訴我們要不斷學(xué)習(xí)，學(xué)無止境，讓我們繼續(xù)不斷地向上攀登吧！
（設(shè)計意圖：師生交流，聯(lián)絡(luò)感情，通過一起學(xué)習(xí)名人名言可縮小師生之間的距離，使學(xué)生體會到師生之間是平等的，另一方面通過學(xué)習(xí)名言可對學(xué)生進(jìn)行思想教育，希望他們能繼續(xù)努力，永攀高峰。）
二、師生交流，引入新課
高斯是偉大的數(shù)學(xué)家嗎？這句話是命題嗎？
（通過它來復(fù)習(xí)命題的概念，請學(xué)生將這句話改成一個 命題）
高斯是偉大的數(shù)學(xué)家。再問這個 命題正確嗎？ （學(xué)生答）
我們再來 判斷下列命題的真假[
（1）會飛的動物都是鳥。
（學(xué)生會說是假命題。）
師問：為何是假命題？學(xué)生舉出蝴蝶、蒼蠅、蜻蜓等會飛，但不是鳥。
（設(shè)計意圖：讓學(xué)生能 夠分辨一個命題的真假，能夠舉出適當(dāng)?shù)姆蠢�。使學(xué)生初步有通過舉反例可以說明一個命題是假命題的思想，以便在解決下面三題時能想出舉出反例。）
（2）素數(shù)是奇數(shù) （學(xué)生答：假命題，舉例2）
（3）黃皮膚、黑頭發(fā)的人是中國人 （學(xué)生答：假命題，舉例韓國人，日本人等）
（4）在不同頂點上有兩個外角是鈍角的三角形是銳角三角形 （學(xué)生答：假命題，等腰直角三角形等）
師：我們對真命題的證明，掌握了一定的方法和技能 ，那么如何來說明一個命題是假命題呢？如上述四個命題你是如何來說明它是假命題的？（學(xué)生能夠答：舉個例子說明）
今天我們將一起來探討如何說明一個命題是假命題。從而引出課題??反例與證明
三、師生互動，學(xué)習(xí)新知
1、小組合作，共同進(jìn)步
師生總結(jié)：從引例知道判斷一個命題是假命題 只要舉出一個例子即可。
學(xué)生討論：怎么樣例子才能判斷一個命題是假命題？
學(xué)生分小組討論，教師巡回指導(dǎo)，每小組代表發(fā)言
師生總結(jié)：具備命題條件但不具備命題結(jié)論的例子，這樣的例子稱為反例。
師：如可以舉2是素數(shù)，但不是奇數(shù)，從而證明“素數(shù)是奇數(shù)”是假命題.
韓國人，日本人也是黃皮膚、黑頭發(fā)的人從而證明“黃皮膚、黑頭發(fā)的人是中國人”是假命題。這些例子都符合命題的條件但不具備命題的結(jié)論。
（設(shè)計意圖：讓學(xué)生充分討論我們所需要的反例有什么要求，因為舉反例有時比較困難。通過學(xué)生激烈的爭論可以給 學(xué)生一個舉反例的指導(dǎo)方向，學(xué)生在 爭論中更易接受正確的知識，使學(xué)生能在判定具體命題真假時舉出適當(dāng)反例。）[
2、比一比，賽一賽（小組競賽）
判斷下列命題是真命題還是假命題，是真命題請證明，是假命題請舉反例.
（1）三角形的外角和等于360 °
（2）三線兩兩相交,必有三個交點
（3）若ab＜0，則a＞0,b＜0
（4）任何三條線段都能組成一個三角形
（5）若 x+y=0，則
（設(shè)計意圖：通過學(xué)生競賽，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。趁熱打鐵，及時鞏固，培養(yǎng)學(xué)生的動手能力和應(yīng)用知識解決問題的能力，讓學(xué)生能夠分辨一個命題的真假，對真命題能夠證明，對假命題能夠舉出適當(dāng)?shù)姆蠢?br>3、設(shè)置一個互動游戲：讓一個學(xué)生出一個命題，另一學(xué)生判斷真假。
（設(shè)計意圖此處設(shè)置互動游戲，一方面是為了更好地以另一種方式促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)參與，另一方面也是為了調(diào)節(jié)課堂的氣氛，因為這段時間學(xué)生在下午的學(xué)習(xí)總是感覺疲勞 ，興趣不是很高，這樣就可以更好地促進(jìn)學(xué)生，調(diào)節(jié)氣氛。）
師：我們已經(jīng)能舉出反例說明一個命題是 假命題，如何在解題過程中將反例用數(shù)學(xué)語言規(guī)范的表述，請同學(xué)們嘗試解決以下兩題。
例題：判斷下列命題的真假，并給出證明(第一題較簡單學(xué)生易舉出反例，第二題學(xué)生需要構(gòu)造出圖形較為困難，老師巡視時給予適當(dāng)引導(dǎo)。)
（1）若2 x + y = 0，則x = y = 0
（2）有一條邊、兩個角相等的兩個三角形全等
學(xué)生先自主解決，然后小組內(nèi)交流糾錯。老師巡視發(fā)現(xiàn)學(xué)生的表述不規(guī)范之處，予以糾正。挑出學(xué)生解題中普遍存在問題，用投影儀集體糾錯，規(guī)范解題步驟。
（設(shè)計意圖：學(xué)生先嘗試數(shù)學(xué)問題中反例的表述，使學(xué)生感覺到學(xué)習(xí)并不是一件很容易或很困難的事情。然后通過合作學(xué)習(xí)，為每位學(xué)生提供交流的空間，讓他們能積極參與，勇于發(fā)表自己的觀點，幫助其他同學(xué)修正錯誤，給學(xué)生以成就感。）
幻燈片給出具體解題過程
解（1）是假命題�！�
取x = -1 , y = 2 ，
則2 x + y = 2 ×（-1）+ 2 = 0
但x≠0且y≠0。
即x = -1，y = 2 具備2 x + y = 0 的條 件，
但不具備命題的結(jié)論，
所以此命題為假命題
（2） 假命題。
如圖：△ABC和△A’B’C’中，
∠C=∠A’=75°
∠B=∠C’=45°
AB=A’B’=2.5cm
但很明顯△ABC和△A’B’C’不全等，
所以此命題為假命題
例題小結(jié)： 如果要證明或判斷一個命題是假命題，那么我們只要舉出一個符合 題設(shè)而不符合結(jié)論的例子就可以了。涉及數(shù)的問題舉出一些特殊值，一些幾何問題可以構(gòu)造出適當(dāng)幾何圖形，構(gòu)造的圖形也是解題的步驟，需要輔助幾何表述，才能成為解題過程。
四、應(yīng)用新知，體驗成功[
（設(shè)計意圖：學(xué)生能夠分辨一個命題的真假，對真命題能夠證明，對假命題能夠舉出適當(dāng)?shù)姆蠢４鷶?shù)問題稍好解決，幾何問題構(gòu)造圖形是學(xué)習(xí)中較為難解決的問題，予以適當(dāng)強(qiáng)化。）
判斷命題“兩邊 和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等”的真假，并給出證明。（學(xué)生小組討論，構(gòu)造反例。）
老師分析引導(dǎo)：這是一個假命題，要證明它是一個假命題，關(guān)鍵是看如何構(gòu)造反 例。
（老師巡視挑出解答較好的兩個反例投影展示，請學(xué)生介紹解題思路。老師點評并做補(bǔ)充。）
本題可以從以下兩方面考慮，如圖4 ? 4 ? 4（1）三角形ABC中，AB=AC，在底邊BC延長線上取點D，連DA，這樣在△ADB和△ADC中，AD=AD，∠D=∠D，AB=AC，顯然觀察圖形可知△ADB與△ADC不全等，或者，在BC上任取一點E（E不是中點）， 如圖4-4-4（2），則在△ABE和△ACE中，AB=AC，∠B=∠C，AE=AE，顯然它們不全等。
解 這是一個假命題，證明如下：
如圖4 ? 4 ? 4（1），在 △ABC中，AB=AC，延長CB到D，連結(jié)AD。
則AB=AC，（已知）
AD=AD，（公共邊）
∠D=∠D，（公共角）
但△ADB與△ADC不全等。
評注 能舉反例說明一個命題是假命題，反例不在于多，只要能找到一個說明即可。
五、課堂小結(jié)，形成系統(tǒng)
暢所欲言：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，談?wù)勀愕氖斋@與體會。
（設(shè)計意圖： 讓學(xué)生自己總結(jié)本堂課的 得失，一方面培養(yǎng)學(xué)生善于總結(jié)反思的良好習(xí)慣；另一方面可以提高學(xué)生的語言表達(dá)能力，為自己和其他同學(xué)梳理了知識體系，使其系統(tǒng)化，起到畫龍點睛的作用。）
老師給出本節(jié)知識點：1、判斷一個命題是假命題只要舉出一個反例即可。[ ]
2、反例是具備命題條件但不具備命題結(jié)論的例子。
3、 涉及數(shù)的問題舉出 一些特殊值，一些幾何問題可以構(gòu)造出適當(dāng)幾何圖形，構(gòu)造的圖形也是解題的步驟，需要輔助幾何表述，才能成為解題過程。
六、布置作業(yè)，深化提高
1、作業(yè)本作業(yè)。見《作業(yè)本》（分不同層次布置不同要求的作業(yè)，必做題，選做題）
2、探索與思考：
判斷命題 “一角和夾這角的一邊對應(yīng)相等，且這邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等” 是真命題，還是假命題？請給出證明。
（設(shè)計意圖：根據(jù)學(xué)生的不同層次布置不同的作業(yè)，真正體現(xiàn)因材施教原則。）
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/chuer/70681.html
相關(guān)閱讀：八年級數(shù)學(xué)上冊全冊教案