直角三角形是一類特殊三角形，有著豐富的性質：兩銳角互余、斜邊的平方是兩直角邊的平方和、斜邊中線等于斜邊一半、30°所對的直角邊等于斜邊一半等，在學習了相似三角形的知識后，我們利用相似三角形法，能得到應用極為廣泛的結論．
如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，則有：
1．同一三角形中三邊的平方關系：AB2=AC2+BC2，
AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2．
2．角的相等關系：∠A=∠DCD，∠B=∠ACD．
3．線段的等積式：由面積得 AC×BC=AB×CD；
由 △ACD∽△CBD∽△ABC，得CD2=AD×BD，AC2=AD×AB，BC2=BD×AB．
以直角三角形為背景的幾何問題，常以下列圖形為載體，綜合了全等三角形、相似三角形、等腰三角形，特殊四邊形等豐富的知識．
注 直角三角形被斜邊上的高分成的3個直角三角形相似，由此導出的等積式的特點是：一線段是兩個三角形的公共邊，另兩條線段在同一直線上，這些等積式廣泛應用于與直角三角形問題的計算與證明中．
例題求解
【例1】 等腰三角形ABC的底邊長為8cm，腰長5cm，一動點P在底邊上從B向C以0．25cm／秒的速度移動，當點P運動到PA與腰垂直的位置時，點P運動的時間為 ．
(江蘇省常州市中考題)
思路點撥 為求BP需作出底邊上的高，就得到與直角三角形相關的基本圖形，注意動 態(tài)過程．
【例2】 如圖，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形ABCD=40cm2，S△ABE：S△DBA=1：5，則AE的長為( )
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm (青島市中考題)
思路點撥 從題設條件及基本圖形入手，先建立AB、AD的等式．
【例3】 如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，DB為BC的中點，E為AC上一點，點G在BE上，連結DG并延長交AE于F，若∠FGE=45°．
(1)求證：BD×BC＝BG×BE；
(2)求證：AG⊥BE；
(3)若E為AC的中點，求EF：FD的值．（鹽城市中考題）
思路點撥 發(fā)現(xiàn)圖形中特殊三角形、基本圖形、線段之間的關系是解本例的基礎．(1)證明△GBD∽△CBE；(2)證明△ABG∽EBA；(3)利用相似三角形，把求 的值轉化為求其他線段的比值．
【例4】 如圖，H、Q分別是正方形ABCD的邊AB、BC上的點，且BH=BQ，過B作HC的垂線，垂足為P．求證：DP⊥PQ． (“祖沖之杯”邀請賽試題)
思路點撥 因∠BPQ+∠QPC=90°，要證DP⊥PQ，即證∠QPC+∠DPC=90°，只需證∠BPQ=∠DPC，只要證明△BPQ∽△CPD即可．
注 題設條件有中點，圖形中有與直角三角形相關的基本圖形，給我們以豐富的聯(lián)想，單獨應用或組合應用可推出許多結論．因此，讀者應不拘泥于給出的思路點撥，多角度探索與思考，尋找更多更好的解 法，以培養(yǎng)我們發(fā)散思的能力．
【例5】 已知△ABC中，BC>AC，CH是AB邊上的高，且滿足 ，試探討∠A與∠B的關系，井加以證明． (武漢市選拔賽試題)
思路點撥 由題設條件易想到直角三角形中的基本圖形、基本結論，可猜想出∠A與∠B的關系，解題的關鍵是綜合運用勾股定理、比例線段的性質， 推導判定兩個三角形相似的條件．
注 構造逆命題是提出問題的一個常用方法，本例是在直角三角形被斜邊上的高分成的相似三角形得出結論基礎上提出的一個逆命題，讀者你能提出新的問題嗎?并加以證明．
學力訓練
1．如圖，已知正方形ABCD的邊長是1，P是CD邊的中點 ，點Q在線段BC上，
當BQ= 時，三角形ADP與三角形QCP相似．
(云南省中考題)
2．如圖，Rt△ABC中，CD為斜邊AB上的高，DF⊥CB于E，若BE=6，CE=4，則
AD= ．
3．如圖，平行四邊形ABCD中，AB=2，BC=2 ，AC=4，過AC的中點O作EF⊥AC交AD于E，交BC于F，則EF= ． (重慶市競賽題)
4．P是Rt△ABC的斜邊BC上異于B、C的一點，過點P作直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，滿足這樣條件的直線共有( )
A．1條 B． 2條 C．3條 D．4條
(2001年安徽省中考題)
5．在△ABC中，AD是高，且AD2=BD×CD，那么∠BAC的度數(shù)是( )
A．小于90° B．等于90° C．大于90° D．不確定
6． 如 圖，矩形ABCD中，AB= ，BC=3，AE⊥BD于E，則EC=( )
A． B． C． D．
7．如圖，在矩形ABCD中，E是CD的中點，BE⊥ AC交AC于F，過F作FG∥AB交AE于G，求證：AG2＝AF×FC．
8．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延長線相交于G．
求證；(1)AB=BH；(2)AB2=GA×HE． (青島市中考題)
9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交BC于點D，過點C作CE⊥AD于E，CE的延長線交AB于點F，過點E作EG∥BC交AB于點G，AE×AD=16，AB=4
(1)求證：CE=EF；
(2)求EG的長．
(河南省中考題)
10．如圖，直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AC⊥BD，已知 ，則 = ．
(江蘇省競賽題)
11．如圖，在Rt△ABC中，兩條直角邊AB、AC的長分別為l厘米、2厘米，那么直角的角平分線的長度等于 厘米．
12．如圖，點D、E分別在△ABC的邊AC和BC上，∠C＝90°，DE∥AB，且3DE=2AB，AE=13，BD=9，那么AB的長為 ．
( “我愛 數(shù)學”初中數(shù)學夏令營試題)
13．如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠C=90°，若AD= AC，CE= BC，則∠1與∠2的大小關系是( )
A．∠1>∠2 B．∠1<∠2 C．∠1=∠2 D．無法確定
(天津市競賽題)
14．如圖，△ABC中，CD⊥AB交AB于點D，有下列條件：
①∠A=∠BCD；②∠A+∠BCD=∠ADC；③ ；④BC2=BD×BA．
其中，一定能判斷△ABC是直角三角形的共有( )
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 (2003年河南省競賽題)
15．如圖，在直角梯形ABCD中， AB=7，AD=2，DC=3，如果邊AD上的點P使得以P，
A、D為頂點的三角形和以P、B、C為頂點的三角形相似，那么這樣的點P有( )
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
16．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是角平分線，DE∥BC交AC于點E，DF∥ AC交BC于點F．
求證：(1)四邊形CEDF是正方形；(2)CD2=AE×BF．
(山東省競賽題)
17．如圖，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD⊥AB于D，已知Rt△ABC的三邊長都是整數(shù)，且BD=113，求Rt△BCD與Rt△ACD的周長之比．
(全國初中數(shù)學聯(lián)賽題 )
18．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分線AD交BC邊于D，求證： ．
(昆明市競賽題)
19．如圖，已知邊長為a的正方形ABCD，在AB、AD上分別取點P、S，連結PS，將Rt△SAP繞正方形中心O旋轉180°得Rt△QCR，從而得四邊形PQRS．試判斷四邊形PQRS能否變化成矩形?若能，設PA= x，SA=y ，請說明x 、y具有什么關系時，四邊形PQRS是矩形；若不能，請說明理由．
(山東省濟南市中考題)
20．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°
(1)當點D在斜邊AB內(nèi)時，求證： ；
(2)當點D與點A重合時，(1)中的等式是否存在?請說明理由；
(3)當點D在BA的延長線上時，(1)中的等式是否存在?請說明理由．
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/chuer/63940.html
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