代數(shù)證明主要是指證明代數(shù)中的一些相等關(guān)系或不等關(guān)系．
在初中階段，要證的等式一般可分 為恒等式的證明和條件等式的證明．
恒等式的證明常用的方法有：
(1) 由繁到簡(jiǎn)，從一邊推向另一邊；
(2)從左右兩邊人手，相向推進(jìn)；
(3)作差或作商證明，即證明：左邊一右邊=0， ．
條件等式的證明實(shí)質(zhì)是有根據(jù)、有目的的代數(shù)式恒等變換，證明的關(guān)鍵是尋找條件與結(jié)論的聯(lián)系，既要注意已知條件的變換，使之有利于應(yīng)用；又要考慮求證的需求情況，使之有利于與已知條件的溝通．
代數(shù)證明不同于幾何證明，幾何證明有直觀的圖形為依托，而代數(shù)證明卻取決于代數(shù)式化簡(jiǎn)求值變形技巧、方法和思想 的熟練運(yùn)用．
例題求解
【例1】(1)求證：
（2）求證： ．
思路點(diǎn)撥 (1)從較復(fù)雜的等式左邊推向等式右邊，注意左邊每個(gè)分式分子與分母的聯(lián)系；(2)等式兩邊都較復(fù)雜，對(duì)左、右兩邊都作變形或作差比較．
注 如果一個(gè)等式的字母在條件允許范圍內(nèi)的任意一個(gè)值，使得等式總能成立，那么這個(gè)等式叫做恒等式．把一個(gè)式子變形為與原式恒等的另一種不同形式的式子，這種變形叫做恒等變形，形變值不變是恒等變形的特點(diǎn)．
代數(shù)式的化簡(jiǎn)求值、代數(shù)證明其實(shí)質(zhì)都是作恒等變形，分解、換元、引參、配方、分組、拆分，取倒數(shù)等是恒等變形常用的技巧與方法．
【例2】 已知 ，且 ．
求證： ．
(黃岡市競(jìng)賽題)
思路點(diǎn)撥 從完全平方公式入手，推出 x、y與a、b間關(guān)系，尋找證題的突破口．
【例3】 有18支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽，每個(gè)參賽隊(duì)同其他各隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)比賽，假設(shè)比賽的結(jié)果沒有平局，如果用 和 ，分別表示第i(I=1，2，3…18)支球隊(duì)在整個(gè)賽程中勝與負(fù)的局?jǐn)?shù)．
求證： ．
(天津市競(jìng)賽題)
思路點(diǎn)撥 作差比較，明確比賽規(guī)則下隱含的條件是證題的關(guān)鍵．
【例4】 已知 ，且 ．
求證： ．
思路點(diǎn)撥 條件中有一個(gè)連等式，恰當(dāng)引入?yún)?shù)，把待證式兩邊都變形為與參數(shù)相同的同一個(gè)代數(shù)式．
【例5】 已知 ，證明：四個(gè)數(shù) 、 、 、 中至少有一個(gè)不小于6．
(北京市競(jìng)賽題)
思路點(diǎn)撥 整體考慮，只需證明它們的和大于等于24即可．
注 證明條件等式的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)厥褂脳l件，常見的方法有：
(1)將已知條件直接代入求證式；
(2)變換已知條件，再代入求證式；
(3)綜合變形巳知條件，湊出求證式；
(4)根據(jù)求證式的需求，變換已知條件，湊出結(jié)果等．
不等關(guān)系證明類似于等式的證明，在證明過程中常用如下知識(shí)：
(1)若A—B>0，則A>B；
(2)若A—B<0，則A (3) ；
(4) （x>0）；
(5) 若 ，則 中至少有一個(gè)大于 ．
學(xué)力訓(xùn)練
1．已知 ， ，r= ，求證： ．
2．已知 ， ．求證： ．
3．已知： ，求證： ．
4．設(shè) 的小數(shù)部分為 ，求證： ．
5．設(shè)x、y、z為有理數(shù)，且(y—z)2+( x－y)2+(z—x)2=(y+z－2x)2+(z+x－2y)2+(x+y—2z)2，求證： ．
(重慶市競(jìng)賽題)
6．已知 ，求證：a：b：c=1：2：3．
7．已知 ，求證：x、y、z中至少有一個(gè)為1．
8．若 ，記 ，證明：A是一個(gè)整數(shù)． (匈牙利競(jìng)賽題)
9．已知 ，求證： ．
10．完成同一件工作，甲單獨(dú)做所需時(shí)間為乙、丙兩人合做所需時(shí)間的p倍，乙單獨(dú)做所需時(shí)間為甲、丙兩人合做所需時(shí)間的q倍；丙單獨(dú)做所需時(shí)間為甲、乙兩人合做所需時(shí)間的x倍，求證： ．
(天津市 競(jìng)賽題)
11．設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且 ，證明： ．
12．如果正數(shù)a、b、c滿足 ，求證： ．
(北京市競(jìng)賽題)
13．設(shè)a、b、c都是實(shí)數(shù)，考慮如下3個(gè)命題：
①若 ，且 c>1， 則0
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