等腰三角形的性質(zhì)

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 八年級 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)
第十一講 等腰三角形的性質(zhì)
若按邊(角)是否相等分類,兩邊(角)相等的三角形是等腰三角形.等腰三角形是一類特殊三角形,它的兩底角相等;等腰三角形是軸對稱圖形,底邊上的高、中線、頂角的平分線互相重合(簡稱三線合一),特別地,等邊三角形的各邊相等,各角都為60°.
解與等腰三角形相關(guān)的問題,全等三角形依然是重要的工具,但更多的是思考運(yùn)用等腰三角形的特殊性質(zhì),這些性質(zhì)為角度的計(jì)算、線段相等的證明、直線位置關(guān) 系的證明等問題提供了新的理論依據(jù),因此,重視全等三角形的運(yùn)用,又不囿于全等三角形,善于運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)探求新的解題途徑.
例題求解
【例1】 如圖AOB是一鋼架,且∠AOB=10°,為使鋼架更加堅(jiān)固,需在其內(nèi)部添加一些鋼 管EF、FG、GH……添加的鋼管長度都與OE相等,則最多能添加這樣的鋼管 根.
(山東省聊城市中考題)
思路點(diǎn)撥 通過角度的計(jì)算,確定添加鋼管數(shù)的最大值.

注 角是幾何中最活躍的元素,與角相關(guān)的知識異常豐富,在三角形中,角又有獨(dú)特的等量關(guān)系,如三角形內(nèi)角和定理、內(nèi)外角關(guān)系定理.等腰三角形兩底角相等,利用這些定理可以找到 角與角之間的“和”、“差”、“倍”、“分”關(guān)系.
隨著知識的豐富,我們分析問題、解決問題的方法和工具隨之增加,因此,在使用什么方法解決問題時,需要綜合與選擇.
【例2】如圖,若AB=AC,BG=BH,AK=KG,則∠BAC的度數(shù)為( )
A.30° D.32° C 36° D.40°
(武漢市選拔賽試題)
思路點(diǎn)撥 圖中有很多相關(guān)的角,用∠BAC的代數(shù)式表示這些角,建立關(guān)于∠BAC的方程.

【例3】 如圖,在△ABC中,已知∠A=90°,AB=AC,D為AC上一點(diǎn),AE⊥BD于E,延長AE交BC于F,問:當(dāng)點(diǎn)D滿足什么條件時,∠ADB=∠CDF,請說明理由.
(安徽省競賽題改編題)
思路點(diǎn)撥 本例是探索條件的問題,可先假定結(jié)論成 立,逐步逆推過去,找到相應(yīng)的條件,若∠ADB=∠CDF,這一結(jié)論如 何用?因∠ADB與∠CDF對應(yīng)的三角形不全等,故需構(gòu)造全等三角形,而作頂角的平分線或底邊上的高(中線)是等腰三角形中一條常用輔助線.


【例4】如圖,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D是AC上一點(diǎn),AE⊥BD交BD的延長線于E,且AE= BD.求證:BD是∠ABC的角平分線.
(北京市競賽題)
思路點(diǎn)撥 AE邊上的高與∠ABC的平分線重合,聯(lián)想到等腰三角形,通過作輔助線構(gòu)造全等三角形、等腰三角形.

注 若巳知圖形中不存在證題所需的全等三角形,我們需要添加輔助戰(zhàn),構(gòu)造全等三角形,使欲證的線段或角轉(zhuǎn)移位置,最終使問題得以解決.
結(jié)論探索型、條件探索型、存在性判斷是探索型問題的基本形式,相應(yīng)的解題策略是:
(1)通過對符合條件的特例或簡單情形的分析、觀察、猜想結(jié)果,再給出證明;
(2)假設(shè)結(jié)論成立,逆推追尋相應(yīng)的條件;
(3)假設(shè)在題設(shè)條件下的某一數(shù)學(xué)對象存在,進(jìn)行推理,若由此導(dǎo)出矛盾,則否定假設(shè);否則,給出肯定的結(jié)論.
【例5】如圖,在△ABC中,已知∠C=60°,AC>BC,又△ABC′、△BCA′、△CAB′都是△ABC形外的等邊三角形,而點(diǎn)D在AC上,且BC=DC
(1)證明:△C′BD≌△B′DC;
(2)證明:△AC′D≌△DB′A;
(3)對△ABC、△ABC′、△BCA′、△CAB ′,從面積大小關(guān)系上,你能得出什么結(jié)論?
(江蘇省競賽題)
思路點(diǎn)撥 (1)是基礎(chǔ),(2)是(1)的自然推論,(3) 由角的不等,導(dǎo)出邊的不等關(guān)系,這是探索面積不等關(guān)系的關(guān)鍵.
學(xué)力訓(xùn)練
1.如圖,△ABC中,已知AD=AC,要使AD=AE,需要添加的一個條件是 .
(濟(jì)南市中考題)
2.等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分成12cm和21cm兩部分,則這個等腰三角形底邊的長為 .
3.△ABC中,AB=AC,∠A=40°,BP=CE,BD=CP,則∠DPF= 度.

4.如圖,△ABC中,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD與BE相交于點(diǎn)F,若BF=AC,則∠ABC的大小是 .
(煙臺市中考題)
5.△ABC的一個內(nèi)角的大小是40°,且∠A=∠B,那么∠C的外角的大小是( )
A.140° B.80°或100° C .100°或140° D.80°或140°
6.已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn),兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)F、F,給出以下四個結(jié)論:①AE=CF;②△EPF是等腰直角三角形,③S = S ;④EF=AP.當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(點(diǎn)E不與A、B重合),上述結(jié)論中始終正確的是( )
A.1個 B.2個 C.3個 D. 4個
(蘇州市中考題)
7.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=AE,BC=BF,則∠ECF=( )
A.60° B.45° C.30° D.不確定

8.如圖,在等邊△ABC中,BD=CE,AD與BE相交于點(diǎn)P,則∠APE的度數(shù)是( )
A.45° D.55° C.60° D.75°
(菏澤市中考題)
9.在△ABC中,已知AB=AC,且過△ABC某一頂點(diǎn)的直線可將△ABC分成兩個等腰三角形,試求厶ABC各內(nèi)角的度數(shù).
(廣州市中考題)
10.如圖,已知A、D兩點(diǎn)分別是正三角形DEF、正三角形ABC的中心,連結(jié)GH、AD,延長AD交BC于M,延長DA交EF于N,G是FD與AB的交點(diǎn),H是ED與AC的交點(diǎn).
(1)請寫出三個不同類型的、必須經(jīng)過至少兩步推理才能得到的正確結(jié)論(不要求寫出證明過程);
(2)問FE、GH、BC有何位置關(guān)系?試證明你的結(jié)論.
(江西省中考題)
11.如圖,在Rt△ABC中,已知∠ACB=90°,AC=BC,D為DC的中點(diǎn),CE⊥AD于E,BF∥AC交CE的延長線于點(diǎn)F.求證:AB垂直平分DF.
(河南省中考題)

12.如圖 ,O為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),BD=DA,BE=AB,∠DBE=∠DBC,則∠BED的度數(shù)是 .
(河南省競賽題)
13.如圖,AA′、BB′分別是∠EAO、∠DBC的平分線,若AA′=BB′=AB,則∠BAC的度數(shù)為 . (全國初中數(shù)學(xué)聯(lián) 賽題)
14.周長為100,邊長為整數(shù)的等腰三角形共有 種.
( “華杯賽”試題)
15.已知等腰三角形的兩邊a、b滿足 =0,則此等腰三角形的周長為 .

16.如圖,在△ABC中,∠BAC=120°,AD⊥BC于D,且AB+BD=DC,則∠C的大小是( )
A.20° B.25° C.30° D.45°
17.如圖,在等腰直角△ABC中,AD為斜邊上的高,以D為端點(diǎn)任作兩條互相垂直的射線與兩腰相交于E、F,連結(jié)EF與AD相交于G,則∠AED與∠AGF的關(guān)系為( )
A.∠AED>∠AGF B.∠AED=∠AGF C.∠AED<∠AGF D.不能確定
(“學(xué)習(xí)報)公開賽試題)
18.如圖,直線 、 、 表示三條相交的公路,現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有( )
A.一處 B.兩處 C.三處 D.四處
(安徽省中考題)
19.△ABC的三邊為a、b、c,且滿足 ,則△ABC是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等邊三角形 D.以上答案都不對
(河南省競賽題)
20.如圖,在△ABC中,AB=AC,P底邊BC上一點(diǎn),PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,CF⊥AB于F.
(1)求證:PD+PE=CF;
(2)若P點(diǎn)在BC的延長線上,那么PD、PE、CF存在什么關(guān)系?寫出你的猜想并證明.

21.如圖,在等腰直角△ABC中,∠BAC=90°,AD=AE,AF⊥BE交BC于點(diǎn)F,過F作FG⊥CD交BE 延長線于G,求證:BG=AF+FG. (重慶市競賽題)

22.如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,O為△ABC內(nèi)一點(diǎn),且∠OBC=10°,∠OCA=20°,求 ∠BAO的度數(shù). (天津市競賽題)

23.如圖,等邊△ABC中,AB=2,點(diǎn)P是AB邊上的任意一點(diǎn)(點(diǎn)P可以與點(diǎn)A重合,但不與點(diǎn)B重合),過點(diǎn)P作PE⊥BC于E,過點(diǎn)E作EF⊥AC于F,過點(diǎn)F作FQ⊥AB于Q,設(shè)BP= x,AQ=y(tǒng).
(1)用x的代數(shù)式表示y;
(2)當(dāng)PB的長等于多少時,點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合?
(福州市中考題)
24.如圖,△ABC是邊長為l的等邊三角形,△BDC是頂角∠BDC=120 °的等腰三角形,以D為頂點(diǎn)作一個60°角,角的兩邊分別交AB于M,交AC于N,連結(jié)MN,形成一個三角形,求證:△AMN的周長等于2.

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