小 結(jié)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1. 理解不等式的性質(zhì)，并能證明；
2. 掌握兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)定理，并會(huì)簡單地應(yīng)用；
3. 掌握證明不等式的常用方法，如：比較法、分析法、綜合法、反證法等等。
4. 培養(yǎng)我們的邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力。
學(xué)習(xí)過程
一、本章的基本內(nèi)容
1．不等式的性質(zhì)
定理1：如果a>b，那么b
定理2：如果a>b且b>c，那么a>c．
定理3：如果 ，那么 （加法單調(diào)性）反之亦然
推論1：如果 且 ，那么 （相加法則）
推論2：如果 且 ，那么 （相減法則）
定理4：如果 且 , 那么 ；如果 且 那么 （乘法單調(diào)性）
推論1 ： 如果 且 ，那么 （相乘法則）
推論1：（補(bǔ)充）如果 且 ，那么 （相除法則）
推論2 如果 , 那么
定理5：如果 ，那么
2．幾個(gè)重要不等式
定理1： 如果 ，那么 （當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取“=”）
定理2：如果a，b是正數(shù)，那么 （當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取“=”）
定理3：如果 ，那么 ，（當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取“=”）
推論：如果 ，那么 （當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取“=”）
推廣：（均值不等式）： ≥ ，
3．極值定理：已知 都是正數(shù)，則
（1） 如果積 是定值 ，那么當(dāng) 時(shí)和 有最小值 ；
（2） 如果和 是定值 ，那么當(dāng) 時(shí)積 有最大值 。
4．掌握證明不等式的常用方法：比較法、分析法、綜合法、反證法。
5．掌握幾種常見的幾類不等式的解法：一元一次不等式、一元二次不等式、分式不等式、高次不等式、含有絕對(duì)值的不等式、指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式等等。
不等式這部分知識(shí)，滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)各個(gè)分支中，有著十分廣泛的應(yīng)用．因此不等式應(yīng)用問題體現(xiàn)了一定的綜合性、靈活多樣性，對(duì)數(shù)學(xué)各部分知識(shí)融會(huì)貫通，起到了很好的促進(jìn)作用．在解決問題時(shí)，要依據(jù)題設(shè)與結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系、選擇適當(dāng)?shù)慕鉀Q方案，最終歸結(jié)為不等式的求解或證明．不等式的應(yīng)用范圍十分廣泛，它始終貫串在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)之中．諸如集合問題，方程(組)的解的討論，函數(shù)單調(diào)性的研究，函數(shù)定義域的確定，三角、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題，無一不與不等式有著密切的聯(lián)系，許多問題，最終都可歸結(jié)為不等式的求解或證明。
二、知識(shí)整合
1．解不等式的核心問題是不等式的同解變形，不等式的性質(zhì)則是不等式變形的理論依據(jù)，方程的根、函數(shù)的性質(zhì)和圖象都與不等式的解法密切相關(guān)，要善于把它們有機(jī)地聯(lián)系起來，互相轉(zhuǎn)化．
2．整式不等 式(主要是一次、二次不等式、可以因式分解的高次不等式)的解法是解不等式的基礎(chǔ)，利用不等式的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性，將分式不等式、絕對(duì)值不等式等化歸為整式不等式(組)是解不等式的基本思想，分類、換元、數(shù)形結(jié)合是解不等式的常用方法．方程的根、函數(shù)的性質(zhì)和圖象都與不等式的解密切相關(guān)，要善于把它們有機(jī)地聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化．
3．在不等式的求解中，換元法和圖解法是常用的技巧之一，通過換元，可將較復(fù)雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式，通過構(gòu)造函數(shù)，將不等式的解化歸為直觀、形象的圖象關(guān)系，對(duì)含有參數(shù)的不等式，運(yùn)用圖解法，可以使分類標(biāo)準(zhǔn)更加明晰．
4．證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法仍是證明不等式的最基本方法．要依據(jù)題設(shè)、結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟、技巧和語言特點(diǎn)．比較法的一般步驟是：作差(商)→變形→判斷符號(hào)(值)．
5．證明不等式的方法多樣，內(nèi)容豐富、技巧性較強(qiáng)．在證明不等式前，要依據(jù)題設(shè)和待證不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法．通過等式或不等式的運(yùn)算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等式得到證明；反之亦可從明顯的、熟知的不 等式入手，經(jīng)過一系列的運(yùn)算而導(dǎo)出待證的不等式，前者是“執(zhí)果索因”，后者是“由因?qū)Ч�，證明時(shí)往往聯(lián)合使用分析法、綜合法，兩面夾擊，相輔相成，達(dá)到欲證的目的．
6．不等式應(yīng)用問題體現(xiàn)了一定的綜合性．這類問題大致可以分為兩類：一類是建立不等式、解不等式；另一類是建 立函數(shù)式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函數(shù)的最值時(shí)，要特別注意“正數(shù)、定值和相等”三個(gè)條件缺一不可，有時(shí)需要恰當(dāng)拼湊，使之符合這三個(gè)條件．利用不等式解應(yīng)用題的基本步驟：（1）審題，（2）建立不等式模型，（3）解數(shù)學(xué)問題，（4）作答。
7．通過不等式的基本知識(shí)、基本方法在代數(shù) 、三角函數(shù)、數(shù)列（包括復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何）等各部分知識(shí)中 的應(yīng)用，深化數(shù)學(xué)知識(shí)間的融匯貫通，從而提高分析問題解決問題的力．在應(yīng)用不等式的基本知識(shí)、 方法、思想解決問題的過程中，提高我們的數(shù)學(xué)素質(zhì)及創(chuàng)新意識(shí)．
三、方法技巧
1.解不等式的基本思想是轉(zhuǎn)化、化歸，一般都轉(zhuǎn)化為最簡單的一元一次不等式（組）或一元二次不等式（組）來求解。
2.解含參數(shù)不等式時(shí)，要特別注意數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)與方程思想，分類討論思想的錄活用。
3．不等式證明方法有多種，既要注意到各種證法的適用范圍，又要注意在掌握常規(guī)證法的基礎(chǔ)上，選用一些特殊技巧。如運(yùn)用放縮法證明不等式時(shí)要注意調(diào)整放縮的度。
4．根據(jù)題目結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，執(zhí)果索因，往往是有效的思維方法。
四、例題分析
例1.設(shè)集合M＝｛（x,y） x＝（y+3）y－1＋y+3，- ｝，若（a，b)∈M，且對(duì)M中的其它元素(c，d)，總有c≥a，則a=____．
分析：讀懂并能揭示問題中的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，將是解決該問題的突破口．怎樣理解“對(duì)M中的其它元素(c，d)，總有c≥a”？M中的元素又有什么特點(diǎn)？
解析：依題可知，本題等價(jià)于求函數(shù)x=f(y)=(y+3)?y-1+(y+3)
在 - 時(shí)的最小值.
（1）當(dāng) - 時(shí)，
(2)當(dāng)1≤y≤3時(shí)，
所以當(dāng)y=1時(shí)， = 4．
而 ，因此當(dāng)y＝ 時(shí)，x有最小值 ，
即 .
探索發(fā)現(xiàn)：題設(shè)條件中出現(xiàn)集合的形式，因此要認(rèn)清集合元素的本質(zhì)屬性，然后結(jié)合條件，揭示
其數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)．即求集合M中的元素滿足關(guān)系式
“x＝（y+3）y－1＋y+3，- ”的所有點(diǎn)中橫坐標(biāo)最小的a的值.
例2．?dāng)?shù)列 由下列條件確定：
（1）證明：對(duì)于 ,
（2）證明：對(duì)于 ．
證明：（1） 及 知 ，
從而
（2）當(dāng) 時(shí)，
= 。
例3．解關(guān)于 的不等式：
分析：本例主要復(fù)習(xí)含絕對(duì)值不等式的解法，分類討論的思想。本題的關(guān)鍵不是對(duì)參數(shù) 進(jìn)行討論，而是去絕對(duì)值時(shí)必須對(duì)末知數(shù)進(jìn)行討論，得到兩個(gè)不等式組，最后對(duì)兩個(gè)不等式組的解集求并集，得出原不等式的解集。
解：當(dāng)
；
；
。
例4．若二次函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(-2)的范圍．
分析：要求f(-2)的取值范圍，只需找到含人f (-2)的不等式(組)．由于y=f(x)是二次函數(shù)，所以應(yīng)先將f(x)的表達(dá)形式寫出來．即可求得f(-2)的表達(dá)式，然后依題設(shè)條件列出含有f(-2)的不等式(組)，即可求解．
解析：因?yàn)閥=f(x)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，所以可設(shè)y=f(x)=ax2+bx．于是
解法一：(利用基本不等式的性質(zhì))
不等式組(Ⅰ)變形得
(Ⅰ)
所以f(-2)的取 值范圍是[6，10]．
解法二(利用方程的思想)
又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而
1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4， ①
所以 3≤3f(-1)≤6． ②
①+②得4≤3f(-1)+f(1)≤10，即6≤f(-2)≤10．
解法三：(數(shù)形結(jié)合)（這種解法需要學(xué)習(xí)了線性規(guī)劃后才適合）k
建立直角坐標(biāo)系aob，作出不等式組(Ⅰ)所表示的區(qū)域，如圖6中的陰影部分．因?yàn)閒(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0 表示斜率為2的直線系．如圖6，當(dāng)直線4a-2b-f(-2)=0過點(diǎn)
A(2，1)，B(3，1)時(shí)，分別取得f(-2)的最小值6，最大值10．即f(-2)的取值范圍是：6≤f(-2)≤10．
探索發(fā)現(xiàn)：(1)在解不等式時(shí)，要求作同解變形．要避免出現(xiàn)以下一種錯(cuò)解：
2b，
8≤4a≤12，-3≤-2b≤-1，所以 5≤f(-2)≤11．
(2)對(duì)這類問題的求解關(guān)鍵一步是，找到f(-2)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，然后依其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征，揭示其代數(shù)的、幾何的本質(zhì)，利用不等式的基本性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合、方程等數(shù)學(xué)思想方法，從不同角度去解決同一問題．若長期這樣思考問題，數(shù)學(xué)的素養(yǎng)一定會(huì)迅速提高．
探索發(fā)現(xiàn)：從上述幾個(gè)例子可以看出，在證明與二次函數(shù)有關(guān)的不等式問題時(shí)，如果針對(duì)題設(shè)條件，合理采取二次函數(shù)的不同形式，那么我們就找到了一種有效的證明途徑．
例5.城市2009年末汽車保有量為30萬輛，預(yù)計(jì)此后每年報(bào)廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同。為了保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛？
解：設(shè)2009年末的汽車保有量為 ，以后每年末的汽車保有量依次為 ，每年新增汽車 萬輛。由題意得
第六章 不等式單元測(cè)試
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）
1．若a＜b＜0，則（ ）
A． B．0＜ ＜1
C．a(chǎn)b＞b2 D．
2．若a＋c＜b，則（ ）
A．a(chǎn)＜b-c B．a(chǎn)＞c-b
C．a(chǎn)＞b-c D．a(chǎn)＜c-b
3．設(shè)a= ，則a，b，c的大小順序是（ ）
A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
4．設(shè)b＜0＜a，d＜c＜0，則下列各不等式中必成立的是（ ）
A．a(chǎn)c＞bd B．
C．a(chǎn)+c＞b+d D．a(chǎn)-c＞b-d
5．下列命題中正確的一個(gè)是（ ）
A． 成立當(dāng)且僅當(dāng)a，b均為正數(shù)
B． 成立當(dāng)且僅當(dāng)a，b均為正數(shù)
C．logab+logba≥2成立當(dāng)且僅當(dāng)a，b∈（1，+∞）
D．a(chǎn)+ ≥2成立當(dāng)且僅當(dāng)a≠0
6．函數(shù) 的定義域是（ ）
A．x≤1或x≥3 B．x＜-2或x＞1
C．x＜-2或x≥3 D．x<-2或x＞3
7．已知x，y∈R，命題甲：x－1＜5，命題乙：x－1＜5，那么（ ）
A．甲是乙的充分條件，但不是乙的必要條件
B．甲是乙的必要條件，但不是乙的充要條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件
8．已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2=1，則代數(shù)式（1-xy） （1+xy）有（ ）
A．最小值 和最大值1 B．最小值 和最大值1
C．最小值 和最大值 D．最小值1
9．關(guān)于x的方程ax2+2x-1=0至少有一個(gè)正的實(shí)根的充要條件是（ ）
A．a(chǎn)≥0 B．-1≤a＜0
C．a(chǎn)＞0或-1＜a＜0 D．a(chǎn)≥-1
10．函數(shù)y＝ （x＞0）的最小值是（ ）
A． B．-1+
C．1+ D．-2+
11．若 ，則 等于（ ）
A．4x-5 B．-3
C．3 D．5-4x
12．下列各對(duì)不等式中同解的是（ ）
A． 與 B． 與
C． 與 D． 與
二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）
13．關(guān)于x的不等式ax 2+bx+2>0的解集是 ，則a+b=_____________。
14．實(shí)數(shù)x，y>0，且x+2y=4，那么log2x+log2y的最大值是 ，此時(shí)x= ，y= 。
15．方程x2-2x+lg（2a2-a）=0又一正根一負(fù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 。
16．建造一個(gè)容積8m3，深為2m長的游泳池，若池底和池壁的造價(jià)每平方米分別為120元和80元，則游泳池的最低總造價(jià)為__________元。
三、解答題（本大題共6題，共74分）
17．（12分）已知a，b>0，且a+b=1，求證：（ax+by）（ay+bx）≥xy
18．（12分）解關(guān)于x的不等式 （a>0且a≠1）
19．（12分）已知x>y>0，且xy=1，若x2+y2≥a（x-y）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
20．（12分）解關(guān)于x的不等式 。
21．（12分）設(shè)f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，g（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，而當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，g（x）=-x2+4x-4。
（1）求f（x）的解析式；
（2）對(duì)于任意的x1，x2∈[0，1]且x1≠x2，求證：f（x2）-f（x1）<2x2-x1；
（3）對(duì)于任意的x1，x2∈[0，1]且x1≠x2，求證：f（x2）-f（x1）≤1
22．（14分）某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長分別為x、y（單位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形。要求框架圍成的總面積8cm2。問x、y分別為多少（精確0.001m）時(shí)用料最省?
參考答案
一、選擇題
1．C 2．B 3．B 4．C 5．D 6．D 7．A 8．B 9．D 10．B 11．C 12．B
二、填空題
13．-14 14．1，2，1 15． 16．1760
三、解答題
17．（12分）解：左邊= ，
． ，∴左邊 。
18．（12分）解：原不等式
，
∴當(dāng)a>1時(shí)，原不等式的解集為： ；
當(dāng)0
19．（12分）解：設(shè)xy=1，∵x>y>0，xy=1∴t>0，∴x2+y2=（x-y）2+2xy=t2+2
原題意 對(duì)t>0恒成立
。
20．（12分）解：∵a>0，∴原不等式
①當(dāng) ，即0
③當(dāng) ，即 ，則原不等式的解集為
21．（12分）解：（1）由題意知f（x+1）=g（1-x）推出f（x）=g（2-x）
當(dāng)-1≤x≤0時(shí)，2≤2-x≤3，f（x）= -（2-x）2+4（2-x）-4= -x2
當(dāng)0
（2）當(dāng)x1，x2∈[0，1]且x1≠x2時(shí)，0
（3）當(dāng)x1，x2∈[0，1]且x1≠x2時(shí)，0≤x12≤1，0≤x22≤1∴-1≤x22-x12≤1即x22-x12≤1
∴f（x2）-f（x1）=x22-x12≤1
22．（14分）解：由題意得xy+ x2=8，∴ 。
于框架用料長度為
當(dāng)（ + ）x= ，即x=8-4 時(shí)等號(hào)成立.
此時(shí)，x≈2.343，y=2 ≈2.828。
故當(dāng)x為2.343m，y為2.828m時(shí)，用料最省。
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaoer/77199.html
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