2.3.1 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程
一、目標(biāo)
1.掌握拋物線的定義、幾何圖形,會(huì)推導(dǎo)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
2.能夠利用給定條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
3.通過“觀察”、“思考”、“探究”與“合作交流”等一系列數(shù)學(xué)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比、分析、概括的能力以及邏輯思維的能力，使學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考與推理，學(xué)會(huì)反思與感悟，形成良好的數(shù)學(xué)觀。并進(jìn)一步感受坐標(biāo)法及數(shù)形結(jié)合的思想
二、重點(diǎn)
拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程
三、教學(xué)難點(diǎn)
拋物線定義的形成過程及拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)（關(guān)鍵是坐標(biāo)系方案的選擇）
四、教學(xué)過程
（一）復(fù)習(xí)舊知
在初中，我們學(xué)習(xí)過了二次函數(shù) ，知道二次函數(shù)的圖象是一條拋物線
例如：（1） ，（2） 的圖象（展示兩個(gè)函數(shù)圖象）：
（二）講授新課
1.課題引入
在實(shí)際生活中，我們也有許多的拋物線模型，例如1965年竣工的密西西比河河畔的薩爾南拱門,它就是用不銹鋼鑄成的拋物線形的建筑物。到底什么樣的曲線才可以稱做是拋物線？它具有怎樣的幾何特征？它的方程是什么呢？
這就是我們今天要研究的內(nèi)容.（板書：課題§2.4.1 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程）
2.拋物線的定義
信息技術(shù)應(yīng)用（課堂中展示畫圖過程）
先看一個(gè)實(shí)驗(yàn)：
如圖：點(diǎn)F是定點(diǎn)， 是不經(jīng)過點(diǎn)F的定直線，H是 上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)H作 ，線段FH的垂直平分線 交MH于點(diǎn)M。拖動(dòng)點(diǎn)H，觀察點(diǎn)M的軌跡，你能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M滿足的幾何條件嗎？（學(xué)生觀察畫圖過程，并討論）
可以發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)M隨著H運(yùn)動(dòng)的過程中，始終有MH=MF,即點(diǎn)M與定點(diǎn)F和定直線 的距離相等。（也可以用幾何畫板度量MH，MF的值）
（定義引入）：
我們把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線 （ 不經(jīng)過點(diǎn)F）距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線 叫做拋物線的準(zhǔn)線.（板書）
思考？若F在 上呢？（學(xué)生思考、討論、畫圖）
此時(shí)退化為過F點(diǎn)且與直線 垂直的一條直線.
3.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
從拋物線的定義中我們知道，拋物線上的點(diǎn) 滿足到焦點(diǎn)F的距離與到準(zhǔn)線 的距離相等。那么動(dòng)點(diǎn) 的軌跡方程是什么，即拋物線的方程是什么呢？
要求拋物線的方程，必須先建立直角坐標(biāo)系.
問題 設(shè)焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線 的距離為 ，你認(rèn)為應(yīng)該如何選擇坐標(biāo)系求拋物線的方程？按照你建立直角坐標(biāo)系的方案，求拋物線的方程.
（引導(dǎo)學(xué)生分組討論，回答，并不斷補(bǔ)充常見的幾種建系方法，叫學(xué)生應(yīng)用投影儀展示計(jì)算結(jié)果）
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注意：1.標(biāo)準(zhǔn)方程必須出來，此表格在黑板上板書。
2.若出現(xiàn)比較復(fù)雜建系方案，可以以引入的字母參數(shù)較多為由，先排除計(jì)算
3.強(qiáng)調(diào)P的意義。
4.教師說明曲線方程與方程的曲線：從上述過程可以看到，拋物線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程，以方程的解 為坐標(biāo)的點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離相等，即方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在拋物線上。所以這些方程都是拋物線的方程.
（選擇標(biāo)準(zhǔn)方程）
師：觀察4（3）個(gè)建系方案及其對(duì)應(yīng)的方程，你認(rèn)為哪種建系方案使方程更簡(jiǎn)單？
（學(xué)生選擇，說明1.對(duì)稱軸 2.焦點(diǎn) 3.方程無常數(shù)項(xiàng)，頂點(diǎn)在原點(diǎn)）
推導(dǎo)過程：取過焦點(diǎn)F且垂直于準(zhǔn)線l的直線為x軸，x軸與l交于K，以線段KF的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，如右圖所示，則有F（ ,0）,l的方程為x=— .
設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x,y），由拋物線定義得：
化簡(jiǎn)得y2=2px(p＞0)
師：我們把方程 叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示的拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 ，準(zhǔn)線方程是 。
師：在建立橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的過程中，選擇不同的坐標(biāo)系得到了不同形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，對(duì)于拋物線，當(dāng)我們選擇如圖三種建立坐標(biāo)系的方法，我們也可以得到不同形式的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（學(xué)生分前兩排，中間兩排，后面兩排三組分別計(jì)算三種情況，一起填充表格）
圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程
y2=2px(p＞0)
（ ,0）
x=—
y2=—2px(p＞0)
（— ,0）
x=
x2=2py(p＞0)
（0, ）
y=—
x2=—2py(p＞0)
（0,— ）
y=
(三)例題講解
例1（1）已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程,
（2）已知拋物線的焦點(diǎn)是 ，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.
解：（1）∵拋物線方程為y2=6x
∴p=3，則焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ ，0），準(zhǔn)線方程是x=— .
（2）∵焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，且 =2，∴p=4
則所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是：x2=—8y.
變式訓(xùn)練1：
(1)已知拋物線的準(zhǔn)線方程是x=— ，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是2y2+5x=0,求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.
解(1)∵焦點(diǎn)是F（0，3），∴拋物線開口向上，且 =3，則p=6
∴所求拋物線方程是x2=12y
(2)∵拋物線方程是2y2+5x=0，即y2=— x，∴p= [高考學(xué)習(xí)網(wǎng)XK]
則焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(— ,0)，準(zhǔn)線方程是x=
例2 點(diǎn)M與點(diǎn)F（4，0）的距離比它到直線l:x+5=0的距離小1，求點(diǎn)M的軌跡方程.
解：如右圖所示，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y)
由已知條件可知，點(diǎn)M與點(diǎn)F的距離等于它到直線x+4=0的距離.根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)M的軌跡是以F（4，0）為焦點(diǎn)的拋物線.
∵ =4，∴p=8
因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸的正半軸上，所以點(diǎn)M的軌跡方程為y2=16x.
變式訓(xùn)練2：
在拋物線y2=2x上求一點(diǎn)P，使P到焦點(diǎn)F與到點(diǎn)A（3，2）的距離之和最小.
解：如下圖所示，設(shè)拋物線的點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為PQ
由拋物線定義可知：PF=PQ
∴PF+PA=PQ+PA
顯然當(dāng)P、Q、A三點(diǎn)共線時(shí)，PQ+PA最小.
∵A(3,2)，可設(shè)P（x0,2)代入y2=2x得x0=2
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）.
(四)小結(jié)
1、拋物線的定義；
2、拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程；
3、注意拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的字母P的幾何意義.
(五)課后練習(xí)
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