2.3.2拋物線的簡單幾何性質
(一)目標:
1.掌握拋物線的范圍、對稱性、頂點、離心率等幾何性質;
2.能根據(jù)拋物線的幾何性質對拋物線方程進行討論,在此基礎上列表、描點、畫拋物線圖形;
3.在對拋物線幾何性質的討論中,注意數(shù)與形的結合與轉化 .
(二)重點:拋物線的幾何性質及其運用
(三)教學難點:拋物線幾何性質的運用
(四)教學過程:
一、復習引入:(學生回顧并填表格)
1.拋物線定義:平面內與一個定點F和一條定直線 的距離相等的點的軌跡叫做拋物線. 定點F叫做拋物線的焦點,定直線 叫做拋物線的準線.
圖形
方程
焦點
準線
2.拋物線的標準方程:
相同點:(1)拋物線都過原點;(2)對稱軸為坐標軸;(3)準線都與對稱軸垂直,垂足與焦點在對稱軸上關于原點對稱 它們到原點的距離都等于一次項系數(shù)絕對值的 ,即 .
不同點:(1)圖形關于x軸對稱時,x為一次項,y為二次項,方程右端為 、左端為 ;圖形關于y軸對稱時,x為二次項,y為一次項,方程右端為 ,左端為 . (2)開口方向在x軸(或y軸)正向時,焦點在x軸(或y軸)的正半軸上,方程右端取正號;開口在x軸(或y軸)負向時,焦點在x軸(或y軸)負半軸時,方程右端取負號.
二、講解新課:
類似研究雙曲線的性質的過程,我們以 為例來研究一下拋物線的簡單幾何性質:
1.范圍
因為p>0,由方程 可知,這條拋物線上的點M的坐標(x,y)滿足不等式x≥0,所以這條拋物線在y軸的右側;當x的值增大時,y也增大,這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸.
2.對稱性
以-y代y,方程 不變,所以這條拋物線關于x軸對稱,我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸.
3.頂點
拋物線和它的軸的交點叫做拋物線的頂點.在方程 中,當y=0時,x=0,因此拋物線 的頂點就是坐標原點.
4.離心率
拋物線上的點M與焦點的距離和它到準線的距離的比,叫做拋物線的離心率,用e表示.由拋物線的定義可知,e=1.
對于其它幾種形式的方程,列表如下:(學生通過對照完成下表)
標準方程圖形頂點對稱軸焦點準線離心率
注意強調 的幾何意義:是焦點到準線的距離.
思考:拋物線有沒有漸近線?(體會拋物線與雙曲線的區(qū)別)
三、例題講解:
例1 已知拋物線關于x軸為對稱,它的頂點在坐標原點,并且經(jīng)過點 ,求它的標準方程,并用描點法畫出圖形.
分析:首先由已知點坐標代入方程,求參數(shù)p.
解:由題意,可設拋物線方程為 ,因為它過點 ,
所以 ,即
因此,所求的拋物線方程為 .
將已知方程變形為 ,根據(jù) 計算拋物線在 的范圍內幾個點的坐標,得
x01234…
y022.83.54…
描點畫出拋物線的一部分,再利用對稱性,就可以畫出拋物線的另一部分
點評:在本題的畫圖過程中,如果描出拋物線上更多的點,可以發(fā)現(xiàn)這條拋物線雖然也向右上方和右下方無限延伸,但并不能像雙曲線那樣無限地接近于某一直線,也就是說,拋物線沒有漸近線.
例2斜率為1的直線經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點,與拋物線交于兩點A、B,求線段AB的長.
解法1:如圖所示,由拋物線的標準方程可知,焦點F(1,0),準線方程x=?1.
由題可知,直線AB的方程為y=x?1
代入拋物線方程y2=4x,整理得:x2?6x+1=0
解上述方程得x1=3+2 ,x2=3?2
分別代入直線方程得y1=2+2 ,y2=2?2
即A、B的坐標分別為(3+2 ,2+2 ),(3?2 ,2?2 )
∴AB=
解法2:設A(x1,y1)、B(x2,y2),則x1+x2=6,x1?x2=1
∴AB= x1?x2
解法3:設A(x1,y1)、B(x2,y2),由拋物線定義可知,
AF等于點A到準線x=?1的距離AA′
即AF=AA′=x1+1
同理BF=BB′=x2+1
∴AB=AF+BF=x1+x2+2=8
點評:解法2是利用韋達定理根與系數(shù)的關系,設而不求,是解析幾何中求弦長的一種普遍適用的方法;解法3充分利用了拋物線的定義,解法簡潔,值得引起重視。
變式訓練:過拋物線 的焦點 作直線,交拋物線于 , 兩點,若 ,求 。
解: , , 。
點評:由以上例2以及變式訓練可總結出焦點弦弦長: 或 。
四、達標練習:
1.過拋物線 的焦點作直線交拋物線于 , 兩點,如果 ,那么 =( )
(A)10 (B)8 (C)6 (D)4
2.已知 為拋物線 上一動點, 為拋物線的焦點,定點 ,則 的最小值為( )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
3.過拋物線 焦點 的直線 它交于 、 兩點,則弦 的中點的軌跡方程是 ______
4.定長為 的線段 的端點 、 在拋物線 上移動,求 中點 到 軸距離的最小值,并求出此時 中點 的坐標.
參考答案:1. B 2. B 3. 4. , M到 軸距離的最小值為 .
五、小結 :拋物線的離心率、焦點、頂點、對稱軸、準線、中心等.
六、課后作業(yè):
1.根據(jù)下列條件,求拋物線的方程,并畫出草圖.
(1)頂點在原點,對稱軸是x軸,頂點到焦點的距離等于8.
(2)頂點在原點,焦點在y軸上,且過P(4,2)點.
(3)頂點在原點,焦點在y軸上,其上點P(m,-3)到焦點距離為5.
2.過拋物線焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點,若A、B在準線上的射影是A2、B2,則∠A2FB2等于 .
3.拋物線頂點在原點,以坐標軸為對稱軸,過焦點且與y軸垂直的弦長為16,求拋物線方程.
4.以橢圓 的右焦點,F(xiàn)為焦點,以坐標原點為頂點作拋物線,求拋物線截橢圓在準線所得的弦長.
5.有一拋物線型拱橋,當水面距拱頂4米時,水面寬40米,當水面下降1米時,水面寬是多少米?
習題答案:
1.(1)y2=±32x(2)x2=8y(3)x2=-8y
2.90° 3.x2=±16 y4. 5. 米
七、板書設計(略)
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