掌握不等式的性質(zhì)及其證明，能正確使用這些概念解決一些簡單問題
知識(shí)點(diǎn)歸納
1．實(shí)數(shù)的大小順序與運(yùn)算性質(zhì)之間的關(guān)系：
2．不等式的性質(zhì)：
（1） ， （反對(duì)稱性）
（2） ， （傳遞性）
（3） ，故 （移項(xiàng)法則）
推論： （同向不等式相加）
（4） ，
推論1：
推論2：
推論3：
不等式的性質(zhì)是解、證不等式的基礎(chǔ)，對(duì)于這些性質(zhì)，關(guān)鍵是正確理解和熟練運(yùn)用，要弄清每一個(gè)條件和結(jié)論，學(xué)會(huì)對(duì)不等式進(jìn)行條件的放寬和加強(qiáng)
題型講解
例1 已知三個(gè)不等式：①ab>0 ②bc>ad ③ > ,以其中兩個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，則可以組成多少個(gè)正確的命題？并寫出這些命題
解：可以組成下列3個(gè)命題
命題一：若ab>0， > , 則bc>ad
命題二：若ab>0，bc>ad 則 > ,
命題三：若 > , bc>ad 則ab>0
由不等式的性質(zhì)得知這三個(gè)命題均為真命題
例2有三個(gè)條件：（1）ac2>bc2；(2) ＞ ；(3)a2>b2，其中能分別成為a>b的充分條件的個(gè)數(shù)有（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解：（1）由ac2>bc2可知c2>0，即a>b，故ac2>bc2是a>b的充分條件 （2）c<0時(shí)，ab的充分必要條件，故答案選B
例3 若a>b>1，P= ， Q= (lg a +lg b ),R=lg( ),試比較P ，Q， R的大小
解：∵a>b>1，∴l(xiāng)g a> lg b>0，
∴ < ，即P
∴ < lg( )，即Q
分析：因?yàn)閒(－1)=a－b, f(1)=a+b,而1≤a－b≤2, 2≤a+b≤4;又a+b與a－b中的a,b不是獨(dú)立的，而是相互制約的，因此，若將f(－2)用a－b與a+b,表示，則問題得解
解：設(shè)f(－2)=m f(－1)+n f(1), (m,n為代定系數(shù))
則4a－2b=m(a－b)+n(a+b)
即4a－2b=（m+n）a－(m－n)b,
于是得 得：m=3, n=1
∴f(－2)=3 f(－1)+ f(1)
∵1≤f(－1) ≤2, 2≤f(1) ≤4
∴5≤3f(－1)+ f(1) ≤10,
故5≤f(－2)≤10,
另法：以上解題過程簡化如下：
由 得
∴f(－2)=4a－2b=3 f(－1)+ f(1)
點(diǎn)評(píng):嚴(yán)格依據(jù)不等式的基本性質(zhì)和運(yùn)算法則,是正確解答此類題目的保證 若先將參數(shù)a,b的范圍求出,而后再求f(－2)的范圍,這樣操作是錯(cuò)誤的,因?yàn)榻忸}過程沒有忠實(shí)題目所給條件,即變形不等價(jià),由所求的參數(shù)a,b的范圍并不能得到已知條件所給的f(－1)及f(1)的范圍,這樣,已經(jīng)改變了題目的條件,當(dāng)然,所求的結(jié)果就不是實(shí)際的結(jié)果 因此,在解題的過程中,務(wù)必盡可能保持變形的等價(jià)性,以免發(fā)生錯(cuò)誤
例5已知a>b>c，a+b+c=0 方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)根為x1，x2
（1）證明：－ ；
（2）若x12+x1x2+x22=1，求x12－x1x2+x22
（3）求
解：（1） a>b>c，a+b+c=0,
∴ ,
∴a>0，1>
∴
(2)(方法1) a+b+c=0
∴ax2+bx+c=0有一根為1，
不妨設(shè)x1=1,則由x12+x1x2+x22=1可得x2(x2+1)=0，
而x2=x1x2= <0(3c
(方法2) x1+x2=－ ，x1x2=
由x12+x1x2+x22=(x1+x2)2－ x1x2= =1，
∴
∴x12－x1x2+x22= x12+x1x2+x22－2x1x2=1－2x1x2=1+
（3）由（2）知，
=
∴－
∴
小結(jié):在不等式的性質(zhì)中，要特別注意下面4點(diǎn)：
1 不等式的傳遞性：若a>b,b>c, 則a>c,這是放縮法的依據(jù)，在運(yùn)用傳遞性時(shí)，要注意不等式的方向，否則易產(chǎn)生這樣的錯(cuò)誤：為證明a>c,選擇中間量b,在證出a>b,c>b,后，就誤認(rèn)為能得到a>c
2 同向不等式可相加但不能相減，即由a>b,c>d，可以得出a+c>b+d,
但不能得a?c>b?d
3 不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)或式時(shí)，只有該數(shù)或式保證為正，才能得到同向的不等式，否則不能保證所乘之?dāng)?shù)或式為正，則不等式兩邊同時(shí)乘以該數(shù)或式后不能確定不等式的方向；不等式兩邊同偶次乘方時(shí)，也要特別注意不等式的兩邊必須是正
總之，不等式的概念和性質(zhì)是本章內(nèi)容的基礎(chǔ)，是證明不等式和解不等式的主要依據(jù)，必須透徹理解，特別要注意同向不等式可相加，也可相乘，但相乘時(shí)，兩個(gè)不等式都需大于零 處理分式不等式時(shí)不要隨便將不等式兩邊乘以含有字母的分式，如果需要去分母，一定要考慮所乘的代數(shù)式的正負(fù)
作差法是證明不等式的最基本也是很重要的方法，應(yīng)引起高度注意
學(xué)生練習(xí)
1．已知a
答案: D
2．已知命題甲：ac
A 充分非必要條件 B 必要非充分條件 C 充要條件 D 非充分非必要條件
答案: D
3．若a+c
4．設(shè)a= , b= － , c= － ，則a, b, c的大小順序是（ ）
A c
5 若0
答案：B
提示：∵0
6．若b<0
答案: C
7．已知1
答案: C
提示: M－N＝－x2＋4x－3=－(x－2)2－1, x∈(1, 3), M－N>0
8．已知ab≠0，則 >1是 <1的（ ）條件
A 充分非必要條件 B 必要非充分條件 C 充要條件D 非充分非必要條件
答案: A
提示:∵ab≠0， >1 ,若a>0, b>0,則b>a>0,
∴ <1; 若a<0, b<0,則b
答案: A
10 下列函數(shù)中，其最小值為2的函數(shù)是（ ）
A y=x＋ B y=sinθ＋secθ(0<θ< )
C y= D y=sinθ＋cscθ(0<θ<π)
答案：D
11．設(shè)a, b為實(shí)數(shù)，且a＋b=3，則2a＋2b的最小值是（ ）
A 6 B 4 C 2 D 2
答案: B
提示: ∵a＋b=3, ∴2a＋2b≥2 =4
12．已知k為實(shí)數(shù), 方程x2＋(k＋3 )x＋4＋k =0有實(shí)根的充要條件是
A k≥4 B －3 ≤k≤3 C k=±3 D k≠0
答案: C
提示: ∵方程x2＋(k＋3 )x＋4＋k =0有實(shí)根，∴x2＋kx＋4＝0,且3x＋k=0, x=－ , 代入到x2＋kx＋4＝0中解得k=±3
13．若實(shí)數(shù)x, y滿足x2＋y2－2x＋4y=0，則x－2y的最大值是（ ）
A B 10 C 9 D 5＋2
答案: B
提示: 方程x2＋y2－2x＋4y=0化為(x－1)2＋(y＋2)2=5, (x, y)為圓上一點(diǎn)，設(shè)x=1＋ sinα,y=－2＋ cosα, 則x－2y=5＋5sin(α＋φ), ∴最大值為10
14．若0
答案: B
提示: b>a, b> , 2a<1, 2ab
A (a－1)(c－1)>0 B ac=1 C ac>1 D ac<1
答案: D
提示: 用圖象分析, a<1, b<1, c>1,又f A >f C ， >c, ∴ac<1
16．不等式 ＋ >2成立的充要條件是
答案: ab>0且a
17．若a>0, b>0, a＋b=1，比較大�。� 2
答案: ≤
18．已知lgx＋lgy=2，則 ＋ 的最小值是
答案:
提示: xy=100, ＋ ≥2 =
19．當(dāng)x≠0時(shí), 的最大值是
答案:
20．若直角三角形的周長為2，則它的最大面積是
答案: 3－2
提示: 設(shè)斜邊為 c, a=csinα, b=ccosα, a＋b＋c=2, c(1＋sinα＋cosα)=2, c[1＋ sin(α＋ )]=2, c≤ =2( －1), S△= c2sin2α≤ c2=3－2
21．若2x2＋3y2=64，則x2＋y2的最大值是
答案: 32
提示: x2＋y2= , x2≤32, ∴x2＋y2≤32
22．若不等式 <1對(duì)于x取一切實(shí)數(shù)都成立，則k值的范圍 是
答案: 1
答案: 0≤k<4
提示: 當(dāng)k=0時(shí), 不等式成立，當(dāng)k≠0時(shí), 要求k>0且 <0,解得0
答案: 9
提示: (a＋b＋c)( ＋ ＋ )=3＋ ≥9
25．若8x2＋ ＋ =6，且xy>0，則x= , y=
答案: x=± , y=±1
提示: ∵ xy>0, ∴8x2＋ ＋ ≥3 =6,當(dāng)8x2= = 時(shí),等號(hào)成立，∴x=± , y=±1
26．設(shè)－1
答案：B
27．若x>y>1，且0
A 1 B 2 C 3 D 4
答案：D
28 下列命題：① a≥b a－b≥0; ② 3≥5是矛盾不等式; ③ x2－2x＋2>0是條件不等式; ④ a＋1>1是絕對(duì)不等式 其中真命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A 0個(gè) B 1個(gè) C 2個(gè) D 3個(gè)
答案：C 提示：①、②是真命題
29 設(shè)數(shù)軸（方向由左向右）上的點(diǎn)M、N分別對(duì)應(yīng)于坐標(biāo)xM、xN,且xM
C M在原點(diǎn)左邊，N在原點(diǎn)右邊 D M在N左邊
答案：D
30 下列判斷：① a1>b, a2>b則a1>a2; ② 若ac>bc, 則c>0;
③ 由lg >lg , 2>1,有2lg >lg ; ④ a>b,則 < ,其中不能成立的個(gè)數(shù)是（ ）
A 1個(gè) B 2個(gè) C 3個(gè) D 4個(gè)
答案：D
31 若a3<－6,下列關(guān)系式中正確的是（ ）
A a4>－6a B a2<－6/a C a3－1<－8 D a>
答案：A
32 下列命題：①不等式兩邊減去同一個(gè)數(shù)或式子，不等號(hào)方向不變；②兩個(gè)不等式兩邊分別相加得到與被加式同向的不等式；③不等式兩邊改變符合時(shí)，不等號(hào)反向；④兩個(gè)同向不等式的對(duì)應(yīng)邊相乘，方向不變；⑤兩個(gè)異向不等式的對(duì)應(yīng)邊相除新不等式與被除式同向 其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A 3個(gè) B 4個(gè) C 2個(gè) D 5個(gè)
答案：C 提示：①, ③正確
33 設(shè)a>b>0, 0
C a?lg(sinx)≥ b?lg(sinx) D a?lg(sinx)≤ b?lg(sinx)
答案：D 提示：lg(sinx)≤0, ∴a?lg(sinx)≤ b?lg(sinx)
34 若a－b>a, a＋b
答案：C
35 下列推導(dǎo)中，不正確的是（ ）
A c－a
C a>b>0, c>d>0 D a
36 若a、b、c、d 四個(gè)數(shù)滿足條件：①d>c; ② a＋b=c＋d; ③ a＋d
答案：D
37 下列命題中正確的是（ ）
A 由不等式M可以導(dǎo)出不等式N，則M是N成立的必要條件
B M≥N是M>N成立的充分條件
C 不等式M與不等式N兩者等價(jià)，則M是N的充要條件
D 不等式M不成立時(shí)，不等式N也不成立，則M是N的充分條件
答案：C
38 若a,b∈R, c∈Q, 則使ac >bc成立的充分條件是（ ）
A a>b>0, c<0 B a>b, a>0, c>0 C b>a>0, c<0 D b>a>0, c>0
答案：C
39 下列不等式在a、b>0時(shí)一定成立的是（ ）
A ≤ ≤ ≤
B ≤ ≤ ≤
C ≤ ≤ ≤
D ≤ ≤ ≤
答案：A
40 a>0, a≠1，P＝log a(a3+1), Q=log a(a2+1), 則P、Q的大小關(guān)系是（ ）
A P>Q B P答案：A
41 在下列結(jié)論中錯(cuò)用重要不等式作依據(jù)的是（ ）
A x、y、z∈R+ ,則 ≥ 3 B ≥2
C lgx＋log x10≥2 D a∈R+, (1＋a)(1＋ )≥4
答案：C 提示：C 中要求x>1, 當(dāng)0
答案：B 提示： － ＝ <0, ∴ ≥ 恒不成立
43 下列說法正確的是（ ）
A n個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)
B 三個(gè)數(shù)的立方和不小于這三個(gè)數(shù)的積的三倍
C 一個(gè)數(shù)與其倒數(shù)之和不小于2
D 幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和也一定非負(fù)
答案：D
44 若a>0>b, 則 (填“>”,“<”或“=”)
答案：>
45 若a>0,b<0,a＋b>0,則a、b、－a、－b的大小關(guān)系是
答案：a>－b>b>－a
46 介于兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)之間，這兩個(gè)數(shù)是
答案：3, 4 提示： =lg(24×32×7)=lg1008,
∴3< <4
47 若不等式A與不等式B等價(jià)，則A是B的 條件；若由不等式A可以導(dǎo)出不等式B，則A是B的 條件
答案：充要條件；充分條件
48 當(dāng)條件 滿足時(shí)， 成立
答案：ab>0, a>b或a<0,b>0
49 在用分析法證明不等式過程中，前面的不等式是后面不等式的 條件；后面不等式是前面不等式的 條件
答案：必要條件；充分條件
50 使不等式a2>b2, >1, lg(a－b)>0, 2 a>2b－1都成立的a與b的關(guān)系式是
答案：a>b＋1且b>0
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