掌握不等式的性質(zhì)及其證明,能正確使用這些概念解決一些簡單問題
知識點歸納
1.實數(shù)的大小順序與運算性質(zhì)之間的關(guān)系:
2.不等式的性質(zhì):
(1) , (反對稱性)
(2) , (傳遞性)
(3) ,故 (移項法則)
推論: (同向不等式相加)
(4) ,
推論1:
推論2:
推論3:
不等式的性質(zhì)是解、證不等式的基礎(chǔ),對于這些性質(zhì),關(guān)鍵是正確理解和熟練運用,要弄清每一個條件和結(jié)論,學(xué)會對不等式進行條件的放寬和加強
題型講解
例1 已知三個不等式:①ab>0 ②bc>ad ③ > ,以其中兩個作為條件,余下一個作為結(jié)論,則可以組成多少個正確的命題?并寫出這些命題
解:可以組成下列3個命題
命題一:若ab>0, > , 則bc>ad
命題二:若ab>0,bc>ad 則 > ,
命題三:若 > , bc>ad 則ab>0
由不等式的性質(zhì)得知這三個命題均為真命題
例2有三個條件:(1)ac2>bc2;(2) > ;(3)a2>b2,其中能分別成為a>b的充分條件的個數(shù)有( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解:(1)由ac2>bc2可知c2>0,即a>b,故ac2>bc2是a>b的充分條件 (2)c<0時,ab的充分必要條件,故答案選B
例3 若a>b>1,P= , Q= (lg a +lg b ),R=lg( ),試比較P ,Q, R的大小
解:∵a>b>1,∴l(xiāng)g a> lg b>0,
∴ < ,即P又∵ < ,∴ < lg( ),
∴ < lg( ),即Q
分析:因為f(-1)=a-b, f(1)=a+b,而1≤a-b≤2, 2≤a+b≤4;又a+b與a-b中的a,b不是獨立的,而是相互制約的,因此,若將f(-2)用a-b與a+b,表示,則問題得解
解:設(shè)f(-2)=m f(-1)+n f(1), (m,n為代定系數(shù))
則4a-2b=m(a-b)+n(a+b)
即4a-2b=(m+n)a-(m-n)b,
于是得 得:m=3, n=1
∴f(-2)=3 f(-1)+ f(1)
∵1≤f(-1) ≤2, 2≤f(1) ≤4
∴5≤3f(-1)+ f(1) ≤10,
故5≤f(-2)≤10,
另法:以上解題過程簡化如下:
由 得
∴f(-2)=4a-2b=3 f(-1)+ f(1)
點評:嚴格依據(jù)不等式的基本性質(zhì)和運算法則,是正確解答此類題目的保證 若先將參數(shù)a,b的范圍求出,而后再求f(-2)的范圍,這樣操作是錯誤的,因為解題過程沒有忠實題目所給條件,即變形不等價,由所求的參數(shù)a,b的范圍并不能得到已知條件所給的f(-1)及f(1)的范圍,這樣,已經(jīng)改變了題目的條件,當(dāng)然,所求的結(jié)果就不是實際的結(jié)果 因此,在解題的過程中,務(wù)必盡可能保持變形的等價性,以免發(fā)生錯誤
例5已知a>b>c,a+b+c=0 方程ax2+bx+c=0的兩個實根為x1,x2
(1)證明:- ;
(2)若x12+x1x2+x22=1,求x12-x1x2+x22
(3)求
解:(1) a>b>c,a+b+c=0,
∴ ,
∴a>0,1>
∴
(2)(方法1) a+b+c=0
∴ax2+bx+c=0有一根為1,
不妨設(shè)x1=1,則由x12+x1x2+x22=1可得x2(x2+1)=0,
而x2=x1x2= <0(3c∴x12-x1x2+x22=3
(方法2) x1+x2=- ,x1x2=
由x12+x1x2+x22=(x1+x2)2- x1x2= =1,
∴
∴x12-x1x2+x22= x12+x1x2+x22-2x1x2=1-2x1x2=1+
(3)由(2)知,
=
∴-
∴
小結(jié):在不等式的性質(zhì)中,要特別注意下面4點:
1 不等式的傳遞性:若a>b,b>c, 則a>c,這是放縮法的依據(jù),在運用傳遞性時,要注意不等式的方向,否則易產(chǎn)生這樣的錯誤:為證明a>c,選擇中間量b,在證出a>b,c>b,后,就誤認為能得到a>c
2 同向不等式可相加但不能相減,即由a>b,c>d,可以得出a+c>b+d,
但不能得a?c>b?d
3 不等式兩邊同時乘以一個數(shù)或式時,只有該數(shù)或式保證為正,才能得到同向的不等式,否則不能保證所乘之?dāng)?shù)或式為正,則不等式兩邊同時乘以該數(shù)或式后不能確定不等式的方向;不等式兩邊同偶次乘方時,也要特別注意不等式的兩邊必須是正
總之,不等式的概念和性質(zhì)是本章內(nèi)容的基礎(chǔ),是證明不等式和解不等式的主要依據(jù),必須透徹理解,特別要注意同向不等式可相加,也可相乘,但相乘時,兩個不等式都需大于零 處理分式不等式時不要隨便將不等式兩邊乘以含有字母的分式,如果需要去分母,一定要考慮所乘的代數(shù)式的正負
作差法是證明不等式的最基本也是很重要的方法,應(yīng)引起高度注意
學(xué)生練習(xí)
1.已知aA < B ab<1 C >1 D a2>b2
答案: D
2.已知命題甲:ac
A 充分非必要條件 B 必要非充分條件 C 充要條件 D 非充分非必要條件
答案: D
3.若a+cA -b答案: C
4.設(shè)a= , b= - , c= - ,則a, b, c的大小順序是( )
A c答案: B
5 若0A > B > C a+ >b+ D a>ab
答案:B
提示:∵00
6.若b<0A ac>bd B > C a+c>b+d D a-c>b-d
答案: C
7.已知1
答案: C
提示: M-N=-x2+4x-3=-(x-2)2-1, x∈(1, 3), M-N>0
8.已知ab≠0,則 >1是 <1的( )條件
A 充分非必要條件 B 必要非充分條件 C 充要條件D 非充分非必要條件
答案: A
提示:∵ab≠0, >1 ,若a>0, b>0,則b>a>0,
∴ <1; 若a<0, b<0,則b9.若a, b, c都是正數(shù),且aA < <1 B ≥ C ≤ ≤1 D 1< <
答案: A
10 下列函數(shù)中,其最小值為2的函數(shù)是( )
A y=x+ B y=sinθ+secθ(0<θ< )
C y= D y=sinθ+cscθ(0<θ<π)
答案:D
11.設(shè)a, b為實數(shù),且a+b=3,則2a+2b的最小值是( )
A 6 B 4 C 2 D 2
答案: B
提示: ∵a+b=3, ∴2a+2b≥2 =4
12.已知k為實數(shù), 方程x2+(k+3 )x+4+k =0有實根的充要條件是
A k≥4 B -3 ≤k≤3 C k=±3 D k≠0
答案: C
提示: ∵方程x2+(k+3 )x+4+k =0有實根,∴x2+kx+4=0,且3x+k=0, x=- , 代入到x2+kx+4=0中解得k=±3
13.若實數(shù)x, y滿足x2+y2-2x+4y=0,則x-2y的最大值是( )
A B 10 C 9 D 5+2
答案: B
提示: 方程x2+y2-2x+4y=0化為(x-1)2+(y+2)2=5, (x, y)為圓上一點,設(shè)x=1+ sinα,y=-2+ cosα, 則x-2y=5+5sin(α+φ), ∴最大值為10
14.若0A B b C 2ab D a2+b2
答案: B
提示: b>a, b> , 2a<1, 2ab15.若f (x)=lgx,且當(dāng)af C >f B ,則下列各式中( )成立
A (a-1)(c-1)>0 B ac=1 C ac>1 D ac<1
答案: D
提示: 用圖象分析, a<1, b<1, c>1,又f A >f C , >c, ∴ac<1
16.不等式 + >2成立的充要條件是
答案: ab>0且a
17.若a>0, b>0, a+b=1,比較大小: 2
答案: ≤
18.已知lgx+lgy=2,則 + 的最小值是
答案:
提示: xy=100, + ≥2 =
19.當(dāng)x≠0時, 的最大值是
答案:
20.若直角三角形的周長為2,則它的最大面積是
答案: 3-2
提示: 設(shè)斜邊為 c, a=csinα, b=ccosα, a+b+c=2, c(1+sinα+cosα)=2, c[1+ sin(α+ )]=2, c≤ =2( -1), S△= c2sin2α≤ c2=3-2
21.若2x2+3y2=64,則x2+y2的最大值是
答案: 32
提示: x2+y2= , x2≤32, ∴x2+y2≤32
22.若不等式 <1對于x取一切實數(shù)都成立,則k值的范圍 是
答案: 1
答案: 0≤k<4
提示: 當(dāng)k=0時, 不等式成立,當(dāng)k≠0時, 要求k>0且 <0,解得0
答案: 9
提示: (a+b+c)( + + )=3+ ≥9
25.若8x2+ + =6,且xy>0,則x= , y=
答案: x=± , y=±1
提示: ∵ xy>0, ∴8x2+ + ≥3 =6,當(dāng)8x2= = 時,等號成立,∴x=± , y=±1
26.設(shè)-1
答案:B
27.若x>y>1,且0a ; ③ log x
A 1 B 2 C 3 D 4
答案:D
28 下列命題:① a≥b a-b≥0; ② 3≥5是矛盾不等式; ③ x2-2x+2>0是條件不等式; ④ a+1>1是絕對不等式 其中真命題的個數(shù)為( )
A 0個 B 1個 C 2個 D 3個
答案:C 提示:①、②是真命題
29 設(shè)數(shù)軸(方向由左向右)上的點M、N分別對應(yīng)于坐標xM、xN,且xM
C M在原點左邊,N在原點右邊 D M在N左邊
答案:D
30 下列判斷:① a1>b, a2>b則a1>a2; ② 若ac>bc, 則c>0;
③ 由lg >lg , 2>1,有2lg >lg ; ④ a>b,則 < ,其中不能成立的個數(shù)是( )
A 1個 B 2個 C 3個 D 4個
答案:D
31 若a3<-6,下列關(guān)系式中正確的是( )
A a4>-6a B a2<-6/a C a3-1<-8 D a>
答案:A
32 下列命題:①不等式兩邊減去同一個數(shù)或式子,不等號方向不變;②兩個不等式兩邊分別相加得到與被加式同向的不等式;③不等式兩邊改變符合時,不等號反向;④兩個同向不等式的對應(yīng)邊相乘,方向不變;⑤兩個異向不等式的對應(yīng)邊相除新不等式與被除式同向 其中正確命題的個數(shù)是( )
A 3個 B 4個 C 2個 D 5個
答案:C 提示:①, ③正確
33 設(shè)a>b>0, 0
C a?lg(sinx)≥ b?lg(sinx) D a?lg(sinx)≤ b?lg(sinx)
答案:D 提示:lg(sinx)≤0, ∴a?lg(sinx)≤ b?lg(sinx)
34 若a-b>a, a+bA a>0, b>0 B a>0, b<0 C a<0, b<0 D a<0, b>0
答案:C
35 下列推導(dǎo)中,不正確的是( )
A c-a
C a>b>0, c>d>0 D a答案:B
36 若a、b、c、d 四個數(shù)滿足條件:①d>c; ② a+b=c+d; ③ a+dA b>c>d>a B a>d>c>b C d>b>a>c D b>d>c>a
答案:D
37 下列命題中正確的是( )
A 由不等式M可以導(dǎo)出不等式N,則M是N成立的必要條件
B M≥N是M>N成立的充分條件
C 不等式M與不等式N兩者等價,則M是N的充要條件
D 不等式M不成立時,不等式N也不成立,則M是N的充分條件
答案:C
38 若a,b∈R, c∈Q, 則使ac >bc成立的充分條件是( )
A a>b>0, c<0 B a>b, a>0, c>0 C b>a>0, c<0 D b>a>0, c>0
答案:C
39 下列不等式在a、b>0時一定成立的是( )
A ≤ ≤ ≤
B ≤ ≤ ≤
C ≤ ≤ ≤
D ≤ ≤ ≤
答案:A
40 a>0, a≠1,P=log a(a3+1), Q=log a(a2+1), 則P、Q的大小關(guān)系是( )
A P>Q B P答案:A
41 在下列結(jié)論中錯用重要不等式作依據(jù)的是( )
A x、y、z∈R+ ,則 ≥ 3 B ≥2
C lgx+log x10≥2 D a∈R+, (1+a)(1+ )≥4
答案:C 提示:C 中要求x>1, 當(dāng)0
答案:B 提示: - = <0, ∴ ≥ 恒不成立
43 下列說法正確的是( )
A n個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)
B 三個數(shù)的立方和不小于這三個數(shù)的積的三倍
C 一個數(shù)與其倒數(shù)之和不小于2
D 幾個非負數(shù)之和也一定非負
答案:D
44 若a>0>b, 則 (填“>”,“<”或“=”)
答案:>
45 若a>0,b<0,a+b>0,則a、b、-a、-b的大小關(guān)系是
答案:a>-b>b>-a
46 介于兩個連續(xù)自然數(shù)之間,這兩個數(shù)是
答案:3, 4 提示: =lg(24×32×7)=lg1008,
∴3< <4
47 若不等式A與不等式B等價,則A是B的 條件;若由不等式A可以導(dǎo)出不等式B,則A是B的 條件
答案:充要條件;充分條件
48 當(dāng)條件 滿足時, 成立
答案:ab>0, a>b或a<0,b>0
49 在用分析法證明不等式過程中,前面的不等式是后面不等式的 條件;后面不等式是前面不等式的 條件
答案:必要條件;充分條件
50 使不等式a2>b2, >1, lg(a-b)>0, 2 a>2b-1都成立的a與b的關(guān)系式是
答案:a>b+1且b>0
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