難點17 三角函數(shù)式模型的簡單應用
三角形中的三角函數(shù)關系是歷年高考的重點內(nèi)容之一，本節(jié)主要幫助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧.
●難點磁場
(★★★★★)已知△ABC的三個內(nèi)角A、B、C滿足A+C=2B. ，求cos 的值.
●案例探究
［例1］在海島A上有一座海拔1千米的，頂設有一個觀察站P，上午11時，測得一輪船在島北30°東，俯角為60°的B處，到11時10分又測得該船在島北60°西、俯角為30°的C處。
(1)求船的航行速度是每小時多少千米；
(2)又經(jīng)過一段時間后，船到達海島的正西方向的D處，問此時船距島A有多遠？
命題意圖：本題主要考查三角形基礎知識，以及學生的識圖能力和綜合運用三角知識解決實際問題的能力.
知識依托：主要利用三角形的三角關系，關鍵找準方位角，合理利用邊角關系.
錯解分析：考生對方位角識別不準，計算易出錯.
技巧與方法：主要依據(jù)三角形中的邊角關系并且運用正弦定理解決問題.
解：(1)在Rt△PAB中，∠APB=60° PA=1，∴AB= (千米)
在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC= (千米)
在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°
(2)∠DAC=90°－60°=30°
sinDCA=sin(180°－∠ACB)=sinACB=
sinCDA=sin(∠ACB－30°)=sinACB•cos30°－cosACB•sin30° .
在△ACD中，據(jù)正弦定理得 ，
∴
答：此時船距島A為 千米.
［例2］已知△ABC的三內(nèi)角A、B、C滿足A+C=2B，設x=cos ，f(x)=cosB( ).
(1)試求函數(shù)f(x)的解析式及其定義域；
(2)判斷其單調(diào)性，并加以證明；
(3)求這個函數(shù)的值域.
命題意圖：本題主要考查考生運用三角知識解決綜合問題的能力，并且考查考生對基礎知識的靈活運用的程度和考生的運算能力，屬★★★★級題目.
知識依托：主要依據(jù)三角函數(shù)的有關公式和性質(zhì)以及函數(shù)的有關性質(zhì)去解決問題.
錯解分析：考生對三角函數(shù)中有關公式的靈活運用是難點，并且不易想到運用函數(shù)的單調(diào)性去求函數(shù)的值域問題.
技巧與方法：本題的關鍵是運用三角函數(shù)的有關公式求出f(x)的解析式，公式主要是和差化積和積化和差公式.在求定義域時要注意 的范圍.
解：(1)∵A+C=2B，∴B=60°，A+C=120°
∵0°≤ ＜60°，∴x=cos ∈( ，1
又4x2－3≠0，∴x≠ ，∴定義域為( ， )∪( ，1］.
(2)設x1＜x2，∴f(x2)－f(x1)=
= ，若x1，x2∈( )，則4x12－3＜0，4x22－3＜0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0
即f(x2)＜f(x1)，若x1，x2∈( ，1］，則4x12－3＞0.
4x22－3＞0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0.
即f(x2)＜f(x1)，∴f(x)在( , )和( ，1 上都是減函數(shù).
(3)由(2)知，f(x)＜f( )=－ 或f(x)≥f(1)=2.
故f(x)的值域為(－∞，－ )∪［2，+∞ .
●錦囊妙計
本難點所涉及的問題以及解決的方法主要有：
(1)運用方程觀點結合恒等變形方法巧解三角形；
(2)熟練地進行邊角和已知關系式的等價轉(zhuǎn)化；
(3)能熟練運用三角形基礎知識，正、余弦定理及面積公式與三角函數(shù)公式配合，通過等價轉(zhuǎn)化或構建方程解答三角形的綜合問題，注意隱含條的挖掘.
●殲滅難點訓練
一、選擇題
1.(★★★★★)給出四個命題：(1)若sin2A=sin2B，則△ABC為等腰三角形；(2)若sinA=cosB，則△ABC為直角三角形；(3)若sin2A+sin2B+sin2C＜2，則△ABC為鈍角三角形；(4)若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)=1，則△ABC為正三角形.以上正確命題的個數(shù)是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空題
2.(★★★★)在△ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，則 的值為__________.
3.(★★★★)在△ABC中，A為最小角，C為最大角，已知cos(2A+C)=－ ，sinB= ，則cos2(B+C)=__________.
三、解答題
4.(★★★★)已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長分別為AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四邊形ABCD的面積.
5.(★★★★★)如右圖，在半徑為R的圓桌的正中央上空掛一盞電燈，桌子邊緣一點處的照度和燈光射到桌子邊緣的光線與桌面的夾角θ的正弦成正比，角和這一點到光的距離 r的平方成反比，即I=k• ，其中 k是一個和燈光強度有關的常數(shù)，那么怎樣選擇電燈懸掛的高度h，才能使桌子邊緣處最亮？
6.(★★★★)在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊， .
(1)求角A的度數(shù)；(2)若a= ，b+c=3，求b和c的值.
7.(★★★★)在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，且a、b、3c成等比數(shù)列，又∠A－∠C= ，試求∠A、∠B、∠C的值.
8.(★★★★★)在正三角形ABC的邊AB、AC上分別取D、E兩點，使沿線段DE折疊三角形時，頂點A正好落在邊BC上，在這種情況下，若要使AD最小，求AD∶AB的值.
參考答案
難點磁場
解法一：由題設條知B=60°，A+C=120°.
設α= ，則A－C=2α，可得A=60°+α，C=60°－α，
依題設條有
整理得4 cos2α+2cosα－3 =0()
(2cosα－ )(2 cosα+3)=0，∵2 cosα+3≠0，
∴2cosα－ =0.從而得cos .
解法二：由題設條知B=60°，A+C=120°
①，把①式化為cosA+cosC=－2 cosAcosC ②，
利用和差化積及積化和差公式，②式可化為
③，
將cos =cos60°= ，cos(A+C)=－ 代入③式得：
④
將cos(A－C)=2cos2( )－1代入 ④：4 cos2( )+2cos －3 =0，(*)，
殲滅難點訓練
一、1.解析：其中(3）(4）正確.
答案： B
二、2.解析：∵A+B+C=π，A+C=2B，
答案：
3.解析：∵A為最小角∴2A+C=A+A+C＜A+B+C=180°.
∵cos(2A+C)=－ ，∴sin(2A+C)= .
∵C為最大角，∴B為銳角，又sinB= .故cosB= .
即sin(A+C)= ，cos(A+C)=－ .
∵cos(B+C)=－cosA=－cos［(2A+C)－(A+C)］=－ ，
∴cos2(B+C)=2cos2(B+C)－1= .
答案：
三、4.解：如圖：連結BD，則有四邊形ABCD的面積：
S=S△ABD+S△CDB= •AB•ADsinA+ •BC•CD•sinC
∵A+C=180°，∴sinA=sinC
故S= (AB•AD+BC•CD)sinA= (2×4+6×4)sinA=16sinA
由余弦定理，在△ABD中，BD2=AB2+AD2－2AB•AD•cosA=20－16cosA
在△CDB中，BD2=CB2+CD2－2CB•CD•cosC=52－48cosC
∴20－16cosA=52－48cosC，∵cosC=－cosA，
∴64cosA=－32，cosA=－ ，又0°＜A＜180°，∴A=120°故S=16sin120°=8 .
5.解：R=rcosθ，由此得： ，
7.解：由a、b、3c成等比數(shù)列，得：b2=3ac
∴sin2B=3sinC•sinA=3(－ )［cos(A+C)－cos(A－C)］
∵B=π－(A+C).∴sin2(A+C)=－ ［cos(A+C)－cos ］
即1－cos2(A+C)=－ cos(A+C)，解得cos(A+C)=－ .
∵0＜A+C＜π，∴A+C= π.又A－C= ∴A= π，B= ，C= .
8.解：按題意，設折疊后A點落在邊BC上改稱P點，顯然A、P兩點關于折線DE對稱，又設∠BAP=θ，∴∠DPA=θ，∠BDP=2θ，再設AB=a，AD=x，∴DP=x.在△ABC中，
∠APB=180°－∠ABP－∠BAP=120°－θ，?
由正弦定理知： .∴BP=
在△PBD中， ,
∵0°≤θ≤60°，∴60°≤60°+2θ≤180°，∴當60°+2θ=90°，即θ=15°時，
sin(60°+2θ)=1，此時x取得最小值 a，即AD最小，∴AD∶DB=2 －3.
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