高考要求
1 理解點到平面、直線和直線、直線和平面、平面和平面距離的概念
2 會用求距離的常用方法（如：直接法、轉(zhuǎn)化法、向量法 對異面直線的距離只要求學(xué)生掌握作出公垂線段或用向量表示的情況）和距離公式計算七種距離
知識點歸納
1 點到平面的距離：已知點 是平面 外的任意一點，過點 作 ，垂足為 ，則 唯一，則 是點 到平面 的距離
即 一點到它在一個平面內(nèi)的正射影的距離叫做這一點到這個平面的距離
結(jié)論：連結(jié)平面 外一點 與 內(nèi)一點所得的線段中，垂線段 最短
2 異面直線的公垂線：和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做異面直線的公垂線．
3．公垂線唯一：任意兩條異面直線有且只有一條公垂線
4．兩條異面直線的公垂線段：兩條異面直線的公垂線夾在異面直線間的部分，叫做兩條異面直線的公垂線段；
5．公垂線段最短：兩條異面直線的公垂線段是分別連結(jié)兩條異面直線上兩點的線段中最短的一條；
6．兩條異面直線的距離：兩條異面直線的公垂線段的長度
說明：兩條異面直線的距離 即為直線 到平面 的距離 即兩條異面直線的距離等于其中一條直線到過另一條直線且與這條直線平行的平面的距離
7 直線到與它平行平面的距離：一條直線上的任一點到與它平行的平面的距離,叫做這條直線到平面的距離(轉(zhuǎn)化為點面距離)
8．兩個平行平面的公垂線、公垂線段：
（1）兩個平面的公垂線：和兩個平行平面同時垂直的直線，叫做兩個平面的公垂線
（2）兩個平面的公垂線段：公垂線夾在平行平面間的的部分，叫做兩個平面的公垂線段
（3）兩個平行平面的公垂線段都相等
（4）公垂線段小于或等于任一條夾在這兩個平行平面間的線段長
9．兩個平行平面的距離：兩個平行平面的公垂線段的長度叫做兩個平行平面的距離
10．七種距離：點與點、點到直線、兩條平行直線、兩條異面直線、點到平面、平行于平面的直線與該平面、兩個平行平面之間的距離，其中點與點、點與直線、點到平面的距離是基礎(chǔ)，求其它幾種距離一般化歸為求這三種距離，點到平面的距離有時用“體積法”來求
10 用向量法求距離的公式：
⑴異面直線 之間的距離：
，其中
⑵直線 與平面 之間的距離：
，其中 是平面 的法向量
⑶兩平行平面 之間的距離：
，其中 是平面 的法向量
⑷點A到平面 的距離：
，其中 ， 是平面 的法向量
另法：點 平面
則
⑸點A到直線 的距離：
，其中 ， 是直線 的方向向量
⑹兩平行直線 之間的距離：
，其中 ， 是 的方向向量
題型講解
例1 設(shè)A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７），D（－５,－4,8），求D到平面ABC的距離
解法一：∵A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７），D（－５,－4,8），
∴
設(shè)平面ABC的法向量 =（x，y，z），
則 ? =0， ? =0，
∴
即
令z=－2，則 =（3，2，－2）
∴由點到平面的距離公式：
= = =
∴點D到平面ABC的距離為
解法二：設(shè)平面ABC的方程為：
將A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７）的坐標(biāo)代入，得
，
取B＝2，則平面ABC的法向量 =(A,B,C)=（3，2，－2）
又因為
∴由點到平面的距離公式：
= = =
∴點D到平面ABC的距離為
點評： 求點到平面的距離除了根據(jù)定義及等積變換外，還可以借用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一個法向量 的坐標(biāo)(兩種方法)，再求出已知點P與平面內(nèi)任一點M構(gòu)成的向量 的坐標(biāo)，那么P到平面的距離d= cos〈 ， 〉
例2 如圖所求，已知四邊形ABCD、EADM和MDCF都是邊長為a的正方形，點P、Q分別是ED和AC的中點
求：（1） 與 所成的角；
（2）P點到平面EFB的距離；
（3）異面直線PM與FQ的距離
解：建立空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、M（0，0，a）、E（a，0，a）、F（0，a，a），
則由中點坐標(biāo)公式得P（ ，0， ）、Q（ ， ，0）
（1）∴ =（－ ，0， ）， =（ ，－ ，－a），
? =（－ ）× +0+ ×（－a）=－ a2，
且 = a， = a
∴cos〈 ， 〉= = =－
故得兩向量所成的角為150°
（2）設(shè) =（x，y，z）是平面EFB的法向量，
即 =1， ⊥平面EFB，∴ ⊥ ， ⊥
又 =（－a，a，0）， =（0，a，－a），
即有 ，
取 ，則
∵ =（ ，0， ）
∴ 設(shè)所求距離為d，則 = a
（3）設(shè) =（x1，y1，z1）是兩異面直線的公垂線的方向向量，
則由 =（－ ，0， ）， =（ ，－ ，－a），得
取 ＝－1，則
而 =（0，a，0） 設(shè)所求距離為m，
則 = a
例3 已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，求異面直線BD與B1C的距離
分析：雖然此題中沒有給出表示兩異面直線距離的線段，但是容易建立直角坐標(biāo)系，使它變?yōu)樽鴺?biāo)系下的異面直線距離的問題，還是屬于考試范圍的問題
解：建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則B（0，0，0），C（1，0，0），D（1，1，0） B1（0，0，1），
則
設(shè)與 都垂直的向量為 ，
則由 和
得 ，
異面直線BD與B1C的距離：
小結(jié)：
1 用向量求點到平面的距離的步驟為：先確定平面的法向量，再求該點與平面內(nèi)一點的連線在法向量上的射影長即得 也就是若 是平面 的法向量， 為平面內(nèi)的一點，則點 到平面 的距離為：
2 求異面直線的距離方法很多，但考綱僅要求會求圖中已給出表示異面直線間距離的線段，或在空間直角坐標(biāo)系下的異面直線的距離，對于第一類問題要先找出這條線段，證明它是所求距離，然后求之；第二類問題的求解步驟是：先求出與兩異面直線都垂直的一個向量，然后再求異面直線上兩點連線在這個向量上的射影的長，即若 是與異面直線 都垂直的向量，點 ，則異面直線與之間的距離：
3 兩平面間的距離一般轉(zhuǎn)化為點到平面或線到面的距離來求解
學(xué)生練習(xí)
1 ABCD是邊長為2的正方形，以BD為棱把它折成直二面角A?BD?C，E是CD的中點，則異面直線AE、BC的距離為
A B C D 1
解析：易證CE是異面直線AE與BC的公垂線段，其長為所求 易證CE=1 ∴選D
答案：D
2 在△ABC中，AB=15，∠BCA=120°，若△ABC所在平面α外一點P到A、B、C的距離都是14，則P到α的距離是
A 13B 11C 9D 7
解析：作PO⊥α于點O，連結(jié)OA、OB、OC，
∵PA=PB=PC，
∴OA=OB=OC
∴O是△ABC的外心
∴OA= = =5
∴PO= =11為所求 ∴選B
答案：B
3 在棱長為a的正方體ABCD?A1B1C1D1中，M是AA1的中點，則點A1到平面MBD的距離是
A aB aC aD a
解析：A到面MBD的距離由等積變形可得
VA?MBD=VB?AMD 易求d= a
答案：D
4 平面α內(nèi)的∠MON=60°，PO是α的斜線，PO=3，∠POM=∠PON=4５°，那么點P到平面α的距離是
A B C D
解析：cos∠POM=cos∠POH?cos∠MOH，
∴ = cos∠POH ∴cos∠POH= ∴sin∠POH=
∴PH=PO?sin∠POH=3× =
答案：A
5 正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為a，E是CC1的中點，則E到A1B的距離是
A aB aC aD a
解析：連結(jié)A1E、BE，過E作EH⊥A1B于H，
在△A1BE中易求EH= a
答案：D
6 A、B是直線l上的兩點，AB=4，AC⊥l于A，BD⊥l于B，AC=BD=3，又AC與BD成60°的角，則C、D兩點間的距離是_______
解析：CD=
答案：5或
7 設(shè)PA⊥Rt△ABC所在的平面α，∠BAC=90°，PB、PC分別與α成45°和30°角，PA=2，則PA與BC的距離是_____________；點P到BC的距離是_____________
解析：作AD⊥BC于點D，∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AD ∴AD是PA與BC的公垂線 易得AB=2，AC=2 ，BC=4，AD= ，連結(jié)PD，則PD⊥BC，P到BC的距離PD=
答案：
8 已知l1、l2是兩條異面直線，α、β、γ是三個互相平行的平面，l1、l2分別交α、β、γ于A、B、C和D、E、F，AB=4，BC=12，DF=10，又l1與α成30°角，則β與γ的距離是__________；DE=__________
解析：由直線與平面所成角的定義及平行平面距離定義易得β與γ間距離為6 由面面平行的性質(zhì)定理可得 = ，∴ = ，即 = ∴DE=2 5
答案：6 2 5
9 已知正方體ABCD?A1B1C1D1的邊長為a，E、F分別是棱A1B1、CD的中點
（1）證明：截面C1EAF⊥平面ABC1
（2）求點B到截面C1EAF的距離
（1）證明：連結(jié)EF、AC1和BC1，易知四邊形EB1CF是平行四邊形，從而EF∥B1C，直線B1C⊥BC1且B1C⊥AB，則直線B1C⊥平面ABC1，得EF⊥平面ABC1 而EF 平面C1EAF，得平面C1EAF⊥平面ABC1
（2）解：在平面ABC1內(nèi)，過B作BH，使BH⊥AC1，H為垂足，則BH的長就是點B到平面C1EAF的距離，在直角三角形中，BH= = =
另法：建立坐標(biāo)系(略)
10 已知直線l上有兩定點A、B，線段AC⊥l，BD⊥l，AC=BD=a且AC與BD成120°角，求AB與CD間的距離
解法一：在面ABC內(nèi)過B作BE⊥l于B，且BE=AC，則ABEC為矩形
∴AB∥CE
∴AB∥平面CDE
則AB與CD的距離即為B到DE的距離
過B作BF⊥DE于F，易求BF= a
解法二：建系如圖，則A（0，0，b），C（－ a， a，a），D（a，0，0），
設(shè)AB與CD的公垂線的一個方向向量 =（x，y，z），
利用 ? =0， ? =0，
求出 ，則d= = a
課前后備注
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