了解非確定性關(guān)系中兩個變量的統(tǒng)計方法;掌握散點(diǎn)圖的畫法及在統(tǒng)計中的作用,掌握
回歸直線方程的求解方法。
2.學(xué)法指導(dǎo):
①求回歸直線方程,首先應(yīng)注意到,只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時,求出的回歸直線方程才有實(shí)標(biāo)意義.否則,求出的回歸直線方程毫無意義.因此,對一組數(shù)據(jù)作線性回歸分析時,應(yīng)先看其散點(diǎn)圖是否成線性.
②求回歸直線方程,關(guān)鍵在于正確地求出系數(shù)a、b,由于求a、b的計算量較大,計算時仔細(xì)謹(jǐn)慎、分層進(jìn)行,避免因計算產(chǎn)生失誤.
③回歸直線方程在現(xiàn)實(shí)生活與生產(chǎn)中有廣泛的應(yīng)用.應(yīng)用回歸直線方程可以把非確定性問題轉(zhuǎn)化成確定性問題,把“無序”變?yōu)椤坝行颉保η闆r進(jìn)行估測、補(bǔ)充.因此,學(xué)過回歸直線方程以后,應(yīng)增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用回歸直線方程解決相關(guān)實(shí)際問題的意識.
【教師在線】
1.解析視屏:
1.相關(guān)關(guān)系的概念
在實(shí)際問題中,變量之間的常見關(guān)系有兩類:
一類是確定性函數(shù)關(guān)系,變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)表示。例如正方形的面積S與其邊長 之間的函數(shù)關(guān)系 (確定關(guān)系);
一類是相關(guān)關(guān)系,變量之間有一定的聯(lián)系,但不能完全用函數(shù)來表達(dá)。例如一塊農(nóng)田的水稻產(chǎn)量與施肥量的關(guān)系(非確定關(guān)系)
相關(guān)關(guān)系:自變量取值一定時,因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系。
相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點(diǎn):
相同點(diǎn):均是指兩個變量的關(guān)系。
不同點(diǎn):函數(shù)關(guān)系是一種確定關(guān)系;而相關(guān)關(guān)系是一種非確定關(guān)系;函數(shù)關(guān)系是自變量與因變量之間的關(guān)系,這種關(guān)系是兩個非隨機(jī)變量的關(guān)系;而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的關(guān)系。
2.求回歸直線方程的思想方法
觀察散點(diǎn)圖的特征,發(fā)現(xiàn)各點(diǎn)大致分布在一條直線的附近,思考:類似圖中的直線可畫幾條?
引導(dǎo)學(xué)生分析,最能代表變量x與y之間關(guān)系的直線的特征:即n個偏差的平方和最小,其過程簡要分析如下:
設(shè)所求的直線方程為 ,其中a、b是待定系數(shù)。
則 ,于是得到各個偏差。
顯見,偏差 的符號有正負(fù),若將它們相加會造成相互抵消,所以它們的和不能代表幾個點(diǎn)與相應(yīng)直線在整體上的接近程度,故采用n個偏差的平方和
表示n個點(diǎn)與相應(yīng)直線在整體上的接近程度。
記 。
上述式子展開后,是一個關(guān)于a,b的二次多項式,應(yīng)用配方法,可求出使Q為最小值時的a,b的值,即
其中
以上方法稱為最小二乘法。
2.經(jīng)典回放:
例1:下列各組變量哪個是函數(shù)關(guān)系,哪個是相關(guān)關(guān)系?
(1)電壓U與電流I
(2)圓面積S與半徑R
(3)自由落體運(yùn)動中位移s與時間t
(4)糧食產(chǎn)量與施肥量
(5)人的身高與體重
(6)廣告費(fèi)支出與商品銷售額
分析:函數(shù)關(guān)系是一種確定關(guān)系;而相關(guān)關(guān)系是一種非確定關(guān)系;函數(shù)關(guān)系是自變量與因變量之間的關(guān)系,這種關(guān)系是兩個非隨機(jī)變量的關(guān)系;而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的關(guān)系。
解:前三小題中一個變量的變化可以確定另一個變量的變化,兩者之間是函數(shù)關(guān)系。
對于糧食與施肥量,兩者確實(shí)有非常密切的關(guān)系,實(shí)踐證明,在一定的范圍內(nèi),施肥量越多,糧食產(chǎn)量就越高,但是,施肥量并不能完全確定糧食產(chǎn)量,因?yàn)榧Z食產(chǎn)量還與其他因素的影響有關(guān),如降雨量、田間管理水平等。因此,糧食與施肥量之間不存在確定的函數(shù)關(guān)系。
人的身高與人的體重也密切相關(guān),一般來說,一個人的身高越高,體重也越重,但同樣身高的人,其體重不一定相同,身高和體重這兩個變量之間并不是嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系。
廣告費(fèi)支出與商品銷售額有密切的關(guān)系,但廣告費(fèi)的支出不能完全決定商品的銷售額。由此可見,后三小題各對變量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系。
點(diǎn)評:不要認(rèn)為兩個變量間除了函數(shù)關(guān)系,就是相關(guān)關(guān)系,事實(shí)是上,兩個變量間可能毫無關(guān)系。比如地球運(yùn)行的速度與某個人的行走速度就可認(rèn)為沒有關(guān)系。
例2:已知10只狗的血球體積及紅血球的測量值如下:
x45424648423558403950
y6.536.309.257.506.995.909.496.206.557.72
x(血球體積,mm),y(血紅球數(shù),百萬)
(1)畫出上表的散點(diǎn)圖;(2)求出回歸直線并且畫出圖形。
解:(1)見下圖
(2)
設(shè)回歸直線為 ,
則 ,
所以所求回歸直線的方程為 ,圖形如下:
點(diǎn)評:對一組數(shù)據(jù)進(jìn)行線性回歸分析時,應(yīng)先畫出其散點(diǎn)圖,看其是否呈直線形,再依系數(shù)a、b的計算公式,算出a、b.由于計算量較大,所以在計算時應(yīng)借助技術(shù)手段,認(rèn)真細(xì)致,謹(jǐn)防計算中產(chǎn)生錯誤.求線性回歸方程的步驟:計算平均數(shù) ;計算 的積,求 ;計算 ;將結(jié)果代入公式求a;用 求b;寫出回歸方程。
【同步訓(xùn)練】
1 . 下列兩個變量之間的關(guān)系哪個不是函數(shù)關(guān)系( 。
A.角度和它的余弦值B.正方形邊長和面積
C.正n邊形的邊數(shù)和它的內(nèi)角和D.人的年齡和身高
2.某市紡織工人的月工資(元)依勞動生產(chǎn)率(千元)變化的回歸方程為y=50+80x,則下列說法中正確的是 ( )
A.勞動生產(chǎn)率為1000元時,月工資為130元
B.勞動生產(chǎn)率提高1000元時,月工資提高約為130元
C.勞動生產(chǎn)率提高1000元時,月工資提高約為80元
D.月工資為210元時,勞動生產(chǎn)率為2000元
3.設(shè)有一個回歸方程為y=2-1.5x,則變量x每增加一個單位時,y平均 ( )
A.增加1.5單位 B.增加2單位 C.減少1.5單位 D.減少2單位
4.正常情況下,年齡在18歲到38歲的人們,體重y(kg)依身高x(cm)的回歸方程為y=0.72x-58.5。張紅紅同學(xué)不胖不瘦,身高1米78,他的體重應(yīng)在 kg左右。
5.給出施化肥量對水稻產(chǎn)量影響的試驗(yàn)數(shù)據(jù):
施化肥量x15202530354045
水稻產(chǎn)量y330345365405445450455
(1)畫出上表的散點(diǎn)圖;(2)求出回歸直線并且畫出圖形
【拓展嘗新】
6.在某種產(chǎn)品表面進(jìn)行腐蝕線試驗(yàn),得到腐蝕深度y與腐蝕時間x之間對應(yīng)的一組數(shù)據(jù):
時間t(s)5101520304050607090120
深度y(μm)610101316171923252946
(1)畫出散點(diǎn)圖;
(2)試求腐蝕深度y對時間t的回歸直線方程。
【解答】
1. D 2.C 3.C 4.69.66
5.解:(1)散點(diǎn)圖(略).
(2)表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行具體計算,列成以下表格
i1234567
xi15202530354045
yi330345365405445450455
xiyi49506900912512150155751800020475
,
故可得到 。
6.解:(1)散點(diǎn)圖略,呈直線形.
(2)經(jīng)計算可得:
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