線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 高二 來(lái)源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)
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線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用
學(xué)習(xí)目標(biāo):
1.能應(yīng)用線性規(guī)劃的方法解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題
2.增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際的觀點(diǎn)
重點(diǎn):求得最優(yōu)解
難點(diǎn):求最優(yōu)解是整數(shù)解
求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解的格式與步驟:
(1)尋找線性約束條件,線性目標(biāo)函數(shù);
(2)由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域;
(3)在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解
例題選講:
例1 已知甲、乙兩煤礦每年的產(chǎn)量分別為200萬(wàn)噸和300萬(wàn)噸,需經(jīng)過(guò)東車(chē)站和西車(chē)站兩個(gè)車(chē)站運(yùn)往外地.東車(chē)站每年最多能運(yùn)280萬(wàn)噸煤,西車(chē)站每年最多能運(yùn)360萬(wàn)噸煤,甲煤礦運(yùn)往東車(chē)站和西車(chē)站的運(yùn)費(fèi)價(jià)格分別為1元/噸和1.5元/噸,乙煤礦運(yùn)往東車(chē)站和西車(chē)站的運(yùn)費(fèi)價(jià)格分別為0.8元/噸和1.6元/噸.煤礦應(yīng)怎樣編制調(diào)運(yùn)方案,能使總運(yùn)費(fèi)最少?
解:設(shè)甲煤礦向東車(chē)站運(yùn) 萬(wàn)噸煤,乙煤礦向東車(chē)站運(yùn) 萬(wàn)噸煤,那么總運(yùn)費(fèi)z=x+1.5(200-x)+0.8y+1.6(300-y)(萬(wàn)元)
即z=780-0.5x-0.8y.
x、y應(yīng)滿足:

作出上面的不等式組所表示的平面區(qū)域
設(shè)直線x+y=280與y軸的交點(diǎn)為M,則M(0,280)
把直線l:0.5x+0.8y=0向上平移至經(jīng)過(guò)平面區(qū)域上的點(diǎn)M時(shí),z的值最小
∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,280),
∴甲煤礦生產(chǎn)的煤全部運(yùn)往西車(chē)站、乙煤礦向東車(chē)站運(yùn)280萬(wàn)噸向西車(chē)站運(yùn)20萬(wàn)噸時(shí),總運(yùn)費(fèi)最少
例2、 要將甲、乙兩種長(zhǎng)短不同的鋼管截成A、B、C三種規(guī)格,每根鋼管可同時(shí)截得三種規(guī)格的短鋼管的根數(shù)如下表所示:
規(guī)格類(lèi)型

A規(guī)格B規(guī)格C規(guī)格
甲種鋼管214
乙種鋼管231
今需A、B、C三種規(guī)格的鋼管各13、16、18根,問(wèn)各截這兩種鋼管多少根可得所需三種規(guī)格鋼管,且使所用鋼管根數(shù)最少
解:設(shè)需截甲種鋼管x根,乙種鋼管y根,則
作出可行域(如圖):

目標(biāo)函數(shù)為z=x+y,作出一組平行直線x+y=t中(t為參數(shù))經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)且和原點(diǎn)距離最近的直線,此直線經(jīng)過(guò)直線4x+y=18和直線x+3y=16的交點(diǎn)A( ),直線方程為x+y= .由于 和 都不是整數(shù),所以可行域內(nèi)的點(diǎn)( )不是最優(yōu)解
經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的整點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最近的直線是x+y=8,經(jīng)過(guò)的整點(diǎn)是B(4,4),它是最優(yōu)解
答:要截得所需三種規(guī)格的鋼管,且使所截兩種鋼管的根數(shù)最少方法是,截甲種鋼管、乙種鋼管各4根
小結(jié):求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解的格式與步驟:
(1)尋找線性約束條件,線性目標(biāo)函數(shù);
(2)由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域;
(3)在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解
自我檢測(cè):
1.某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,已知生產(chǎn)甲種產(chǎn)品1t需耗A種礦石8t、B種礦石8t、煤5t;生產(chǎn)乙種產(chǎn)品1t需耗A種礦石4t、B種礦石8t、煤10t.每1t甲種產(chǎn)品的利潤(rùn)是500元,每1t乙種產(chǎn)品的利潤(rùn)是400元.工廠在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中要求消耗A種礦石不超過(guò)320t、B種礦石不超過(guò)400t、煤不超過(guò)450t.甲、乙兩種產(chǎn)品應(yīng)各生產(chǎn)多少能使利潤(rùn)總額達(dá)到最大?

2.某運(yùn)輸隊(duì)有8輛載重量為6t的A型卡車(chē)與6輛載重量為10t的B型卡車(chē),有10名駕駛員.此車(chē)隊(duì)承包了每天至少搬運(yùn)720t瀝青的任務(wù).已知每輛卡車(chē)每天往返的次數(shù)為A型卡車(chē)16次,B型卡車(chē)12次.每輛卡車(chē)每天往返的成本費(fèi)為A型車(chē)240元,B型車(chē)378元.每天派出A型車(chē)與B型車(chē)各多少輛運(yùn)輸隊(duì)所花的成本最低?

3.下表給出X、Y、Z三種食品的維生素含量及其成本

XYZ
維生素A/單位/千克400500300
維生素B/單位/千克700100300
成本/(元/千克)643

現(xiàn)欲將三種食物混合成100千克的混合食品,要求至少含35000單位維生素A,40000單位維生素B,采用何種配比成本最?

4.某人上午7時(shí),乘摩托艇以勻速v海里/小時(shí)(4≤v≤20)的速度從A港出發(fā)到距50海里的B港去,然后乘汽車(chē)以勻速w千米/小時(shí)(30≤w≤100)的速度自B港到距300千米的C市去,應(yīng)該在同一天下午4至9點(diǎn)到達(dá)C市。
設(shè)汽車(chē)、摩托艇所需要的時(shí)間分別為x、y小時(shí)
(1)用圖表示滿足上述條件的x、y的范圍;
(2)如果已知所需要的經(jīng)費(fèi)p=100+3(5-x)+(8-y)(元),那么v、w分別是多少時(shí)走得最經(jīng)濟(jì)?此時(shí)需花費(fèi)多少元?

5、制訂投資計(jì)劃時(shí),不僅要考慮可能獲得的盈利,而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損,某投資人打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目,根據(jù)預(yù)測(cè),甲、乙項(xiàng)目可能出的最大盈利率分別為100%和50%,可能的最大虧損率分別為30%和10%,投資人計(jì)劃投資金額不超過(guò)10萬(wàn)元,要求確保可能的資金虧損不超過(guò)1.8萬(wàn)元,問(wèn)投資人對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目各投資多少萬(wàn)元?才能使可能的盈利最大?


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