3．2 簡單的三角恒等變換

【教學目標】
會用已學公式進行三角函數式的化簡、求值和證明，引導學生推導半角公式，積化和差、
和差化積公式（公式不要求記憶），使學生進一步提高運用轉化、換元、方程等數學思想解決問題的能力。
【教學重點、難點】
教學重點：引導學生以已有公式為依據，以推導半角公式，積化和差、和差化積公式作為基本訓練，學習三角變換的內容、思路和方法，三角變換的特點，提高推理、運算能力。
教學難點：認識三角變換的特點，并能運用數學思想方法指導變換過程的設計，不斷提高從整體上把握變換過程的能力。
【教學過程】
復習引入：復習倍角公式 、 、
先讓學生默寫三個倍角公式，注意等號兩邊角的關系，特別注意 。既然能用單角
表示倍角，那么能否用倍角表示單角呢？
半角公式的推導及理解 ：
例1、試以 表示 ．
解析：我們可以通過二倍角 和 做此題．（二倍角公式中以代2， 代）
解：因為 ，可以得到 ；
因為 ，可以得到 ．
兩式相除可以得到 ．
點評：⑴以上結果還可以表示為：

并稱之為半角公式（不要求記憶），符號由 角的象限決定。
⑵降倍升冪公式和降冪升倍公式被廣泛用于三角函數式的化簡、求值、證明。
⑶代數式變換往往著眼于式子結構形式的變換，三角恒等變換常常首先尋找式子所包含的各個角之間的聯系，并以此為依據選擇可以聯系他們的適當公式，這是三角式恒等變換的重要特點。
變式訓練1：求證
積化和差、和差化積公式的推導（公式不要求記憶）：
例2：求證：
（１） ；
（２） ．
解析：回憶并寫出兩角和與兩角差的正余弦公式，觀察公式與所證式子的聯系。
證明：（１）因為 和 是我們所學習過的知識，因此我們從等式右邊著手．
； ．
兩式相加得 ；
即 ；
（２）由（１）得 ①；設 ，
那么 ．
把 的值代入①式中得 ．
點評：在例２證明中用到了換元思想，（１）式是積化和差的形式，（２）式是和差化積的形式，在后面的練習當中還有六個關于積化和差、和差化積的公式．
變式訓練2：本p142 2（2）、3（3）
例３、求函數 的周期，最大值和最小值．
解析：利用三角恒等變換，先把函數式化簡，再求相應的值。
解： ，
所以，所求的周期 ，最大值為２，最小值為 ．
點評：例３是三角恒等變換在數學中應用的舉例，它使三角函數中對函數 的性質研究得到延伸，體現了三角變換在化簡三角函數式中的作用．
變式訓練3：本p142 4、（1）（2）（3）
探究：求y=asinx+bcosx的周期，最大值和最小值．
小結：我們要對三角恒等變換過程中體現的換元、逆向使用公式等數學思想方法加深認識，學會靈活運用．
作業(yè)布置：本p143 習題3.2 A組1、（1）（5） 3 、5

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