知識與技能：進一步掌握二項式定理和二項展開式的通項公式
過程與方法：能解決二項展開式有關(guān)的簡單問題
情感、態(tài)度與價值觀：過程中，要讓學(xué)生充分體驗到歸納推理不僅可以猜想到一般性的結(jié)果，而且可以啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)一般性問題的解決方法。
教學(xué)重點：二項式定理及通項公式的掌握及運用
教學(xué)難點：二項式定理及通項公式的掌握及運用
授課類型：新授課
課時安排：3課時
教 具：多媒體、實物投影儀
內(nèi)容分析：
二項式定理是初中乘法公式的推廣，是排列組合知識的具體運用，是學(xué)習(xí)概率的重要基礎(chǔ)．這部分知識具有較高應(yīng)用價值和思維訓(xùn)練價值．中學(xué)教材中的二項式定理主要包括：定理本身，通項公式，楊輝三角，二項式系數(shù)的性質(zhì)等．
通過二項式定理的學(xué)習(xí)應(yīng)該讓學(xué)生掌握有關(guān)知識，同時在求展開式、其通項、證恒等式、近似計算等方面形成技能或技巧；進一步體會過程分析與特殊化方法等等的運用；重視學(xué)生正確情感、態(tài)度和世界觀的培養(yǎng)和形成．
二項式定理本身是教學(xué)重點，因為它是后面一切結(jié)果的基礎(chǔ)．通項公式，楊輝三角，特殊化方法等意義重大而深遠，所以也應(yīng)該是重點．
二項式定理的證明是一個教學(xué)難點．這是因為，證明中符號比較抽象、需要恰當(dāng)?shù)剡\用組合數(shù)的性質(zhì)2、需要用到不太熟悉的數(shù)學(xué)歸納法．
在教學(xué)中，努力把表現(xiàn)的機會讓給學(xué)生，以發(fā)揮他們的自主精神；盡量創(chuàng)造讓學(xué)生活動的機會，以讓學(xué)生在直接體驗中建構(gòu)自己的知識體系；盡量引導(dǎo)學(xué)生的發(fā)展和創(chuàng)造意識，以使他們能在再創(chuàng)造的氛圍中學(xué)習(xí)．
教學(xué)過程：
一、復(fù)習(xí)引入：
⑴ ；
⑵
⑶ 的各項都是 次式，
即展開式應(yīng)有下面形式的各項： ， ， ， ， ，
展開式各項的系數(shù)：上面 個括號中，每個都不取 的情況有 種，即 種， 的系數(shù)是 ；恰有 個取 的情況有 種， 的系數(shù)是 ，恰有 個取 的情況有 種， 的系數(shù)是 ，恰有 個取 的情況有 種， 的系數(shù)是 ，有 都取 的情況有 種， 的系數(shù)是 ，
∴ ．
二、講解新課：
二項式定理：
⑴ 的展開式的各項都是 次式，即展開式應(yīng)有下面形式的各項：
， ，…， ，…， ，
⑵展開式各項的系數(shù)：
每個都不取 的情況有 種，即 種， 的系數(shù)是 ；
恰有 個取 的情況有 種， 的系數(shù)是 ，……，
恰有 個取 的情況有 種， 的系數(shù)是 ，……，
有 都取 的情況有 種， 的系數(shù)是 ，
∴ ，
這個公式所表示的定理叫二項式定理，右邊的多項式叫 的二項展開式，⑶它有 項，各項的系數(shù) 叫二項式系數(shù)，
⑷ 叫二項展開式的通項，用 表示，即通項 ．
⑸二項式定理中，設(shè) ，則
三、講解范例：
例1．展開 ．
解一： ．
解二：
．
例2．展開 ．
解：
．
例3．求 的展開式中的倒數(shù)第 項
解： 的展開式中共 項，它的倒數(shù)第 項是第 項，
．
例4．求（1） ，（2） 的展開式中的第 項．
解：（1） ，
（2） ．
點評： ， 的展開后結(jié)果相同，但展開式中的第 項不相同
例5．（1）求 的展開式常數(shù)項；
（2）求 的展開式的中間兩項
解：∵ ，
∴（1）當(dāng) 時展開式是常數(shù)項，即常數(shù)項為 ；
（2） 的展開式共 項，它的中間兩項分別是第 項、第 項，
，
例6．（1）求 的展開式的第4項的系數(shù)；
（2）求 的展開式中 的系數(shù)及二項式系數(shù)
解： 的展開式的第四項是 ，
∴ 的展開式的第四項的系數(shù)是 ．
（2）∵ 的展開式的通項是 ，
∴ ， ，
∴ 的系數(shù) ， 的二項式系數(shù) ．
例7．求 的展開式中 的系數(shù)
分析：要把上式展開，必須先把三項中的某兩項結(jié)合起來，看成一項，才可以用二項式定理展開，然后再用一次二項式定理，，也可以先把三項式分解成兩個二項式的積，再用二項式定理展開
解：（法一）
，
顯然，上式中只有第四項中含 的項，
∴展開式中含 的項的系數(shù)是
（法二）：
∴展開式中含 的項的系數(shù)是 ．
例8．已知 的展開式中含 項的系數(shù)為 ，求展開式中含 項的系數(shù)最小值
分析：展開式中含 項的系數(shù)是關(guān)于 的關(guān)系式，由展開式中含 項的系數(shù)為 ，可得 ，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于 或 的二次函數(shù)求解
解： 展開式中含 的項為
∴ ，即 ，
展開式中含 的項的系數(shù)為
，
∵ ， ∴ ，
∴
，∴當(dāng) 時， 取最小值，但 ，
∴ 時， 即 項的系數(shù)最小，最小值為 ，此時 ．
例9．已知 的展開式中，前三項系數(shù)的絕對值依次成等差數(shù)列，
（1）證明展開式中沒有常數(shù)項；（2）求展開式中所有的有理項
解：由題意： ，即 ，∴ 舍去）
∴
①若 是常數(shù)項，則 ，即 ，
∵ ，這不可能，∴展開式中沒有常數(shù)項；
②若 是有理項，當(dāng)且僅當(dāng) 為整數(shù)，
∴ ，∴ ，
即 展開式中有三項有理項，分別是： ， ，
例10．求 的近似值，使誤差小于 ．
解： ，
展開式中第三項為 ，小于 ，以后各項的絕對值更小，可忽略不計，
∴ ，
一般地當(dāng) 較小時
四、課堂練習(xí)：
1.求 的展開式的第3項.
2.求 的展開式的第3項.
3.寫出 的展開式的第r+1項.
4.求 的展開式的第4項的二項式系數(shù)，并求第4項的系數(shù).
5.用二項式定理展開：
（1） ；（2） .
6.化簡：（1） ；（2）
7． 展開式中的第 項為 ，求 ．
8．求 展開式的中間項
答案：1.
2.
3.
4.展開式的第4項的二項式系數(shù) ，第4項的系數(shù)
5. （1） ；
（2） .
6. （1） ；
（2）
7. 展開式中的第 項為
8. 展開式的中間項為
五、小結(jié) ：二項式定理的探索思路:觀察――歸納――猜想――證明；二項式定理及通項公式的特點
六、課后作業(yè)： P36 習(xí)題1.3A組1. 2. 3.4
七、板書設(shè)計（略）
八、教學(xué)反思：
(a+b) ｎ =
這個公式表示的定理叫做二項式定理，公式右邊的多項式叫做 (a+b)ｎ的 ，其中 （r=0,1,2,……,n）叫做 ， 叫做二項展開式的通項，它是展開式的第 項，展開式共有 個項.
掌握二項式定理和二項展開式的通項公式，并能用它們解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題。
培養(yǎng)歸納猜想，抽象概括，演繹證明等理性思維能力。教材的探求過程將歸納推理與演繹推理有機結(jié)合起來，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)探究能力的極好載體，教學(xué)過程中，要讓學(xué)生充分體驗到歸納推理不僅可以猜想到一般性的結(jié)果，而且可以啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)一般性問題的解決方法。
二項式定理是指
這樣一個展開式的公式.它是(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3…等等展開式的一般形式，在初等數(shù)學(xué)中它各章節(jié)的聯(lián)系似乎不太多，而在高等數(shù)學(xué)中它是許多重要公式的共同基礎(chǔ)，根據(jù)二項式定理的展開，才求得y=xn的導(dǎo)數(shù)公式y(tǒng)′=nxn－1，同時 =e≈2.718281…也正是由二項式定理的展開規(guī)律所確定，而e在高等數(shù)學(xué)中的地位更是舉足輕重，概率中的正態(tài)分布，復(fù)變函數(shù)中的歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ，微分方程中二階變系數(shù)方程及高階常系數(shù)方程的解由e的指數(shù)形式來表達.且直接由e的定義建立的y=lnx的導(dǎo)數(shù)公式y(tǒng)= 與積分公式 =dxlnx+c是分析學(xué)中用的最多的公式之一.而由y=xn的各階導(dǎo)數(shù)為基礎(chǔ)建立的泰勒公式；f(x)=f(x0)+ (x－x0)2+… (x－x0)n+ (θ∈(0，1))以及由此建立的冪級數(shù)理論，更是廣泛深入到高等數(shù)學(xué)的各個分支中.
怎樣使二項式定理的教學(xué)生動有趣
正因為二項式定理在初等數(shù)學(xué)中與其他內(nèi)容聯(lián)系較少，所以教材上教法就顯得呆板，單調(diào)，課本上先給出一個(a+b)4用組合知識來求展開式的系數(shù)的例子.然后推廣到一般形式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明，因為證明寫得很長，上課時的板書幾乎占了整個黑板，所以課必然上得累贅，學(xué)生必然感到被動.那么多的算式學(xué)生看都不及細(xì)看，記也感到吃力，又怎能發(fā)揮主體作用？
怎樣才能使得在這節(jié)課上學(xué)生獲得主動？采用課前預(yù)習(xí)；自學(xué)輔導(dǎo)；還是學(xué)生討論，或讀，議、講，練，或目標(biāo)教學(xué)，還是設(shè)置發(fā)現(xiàn)情境？看來這些辦法遇到真正困難時都會無能為力，因為這些方法都無法改變算式的冗長，證法的呆板，課堂上的新情境與學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的圖式不協(xié)調(diào)的事實.
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaoer/82755.html
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