知識(shí)與技能：進(jìn)一步掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式
過程與方法：能解決二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題
情感、態(tài)度與價(jià)值觀：過程中，要讓學(xué)生充分體驗(yàn)到歸納推理不僅可以猜想到一般性的結(jié)果，而且可以啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)一般性問題的解決方法。
教學(xué)重點(diǎn)：二項(xiàng)式定理及通項(xiàng)公式的掌握及運(yùn)用
教學(xué)難點(diǎn)：二項(xiàng)式定理及通項(xiàng)公式的掌握及運(yùn)用
授課類型：新授課
課時(shí)安排：3課時(shí)
教 具：多媒體、實(shí)物投影儀
內(nèi)容分析：
二項(xiàng)式定理是初中乘法公式的推廣，是排列組合知識(shí)的具體運(yùn)用，是學(xué)習(xí)概率的重要基礎(chǔ)．這部分知識(shí)具有較高應(yīng)用價(jià)值和思維訓(xùn)練價(jià)值．中學(xué)教材中的二項(xiàng)式定理主要包括：定理本身，通項(xiàng)公式，楊輝三角，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)等．
通過二項(xiàng)式定理的學(xué)習(xí)應(yīng)該讓學(xué)生掌握有關(guān)知識(shí)，同時(shí)在求展開式、其通項(xiàng)、證恒等式、近似計(jì)算等方面形成技能或技巧；進(jìn)一步體會(huì)過程分析與特殊化方法等等的運(yùn)用；重視學(xué)生正確情感、態(tài)度和世界觀的培養(yǎng)和形成．
二項(xiàng)式定理本身是教學(xué)重點(diǎn)，因?yàn)樗呛竺嬉磺薪Y(jié)果的基礎(chǔ)．通項(xiàng)公式，楊輝三角，特殊化方法等意義重大而深遠(yuǎn)，所以也應(yīng)該是重點(diǎn)．
二項(xiàng)式定理的證明是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)．這是因?yàn)椋C明中符號(hào)比較抽象、需要恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用組合數(shù)的性質(zhì)2、需要用到不太熟悉的數(shù)學(xué)歸納法．
在教學(xué)中，努力把表現(xiàn)的機(jī)會(huì)讓給學(xué)生，以發(fā)揮他們的自主精神；盡量創(chuàng)造讓學(xué)生活動(dòng)的機(jī)會(huì)，以讓學(xué)生在直接體驗(yàn)中建構(gòu)自己的知識(shí)體系；盡量引導(dǎo)學(xué)生的發(fā)展和創(chuàng)造意識(shí)，以使他們能在再創(chuàng)造的氛圍中學(xué)習(xí)．
教學(xué)過程：
一、復(fù)習(xí)引入：
⑴ ；
⑵
⑶ 的各項(xiàng)都是 次式，
即展開式應(yīng)有下面形式的各項(xiàng)： ， ， ， ， ，
展開式各項(xiàng)的系數(shù)：上面 個(gè)括號(hào)中，每個(gè)都不取 的情況有 種，即 種， 的系數(shù)是 ；恰有 個(gè)取 的情況有 種， 的系數(shù)是 ，恰有 個(gè)取 的情況有 種， 的系數(shù)是 ，恰有 個(gè)取 的情況有 種， 的系數(shù)是 ，有 都取 的情況有 種， 的系數(shù)是 ，
∴ ．
二、講解新課：
二項(xiàng)式定理：
⑴ 的展開式的各項(xiàng)都是 次式，即展開式應(yīng)有下面形式的各項(xiàng)：
， ，…， ，…， ，
⑵展開式各項(xiàng)的系數(shù)：
每個(gè)都不取 的情況有 種，即 種， 的系數(shù)是 ；
恰有 個(gè)取 的情況有 種， 的系數(shù)是 ，……，
恰有 個(gè)取 的情況有 種， 的系數(shù)是 ，……，
有 都取 的情況有 種， 的系數(shù)是 ，
∴ ，
這個(gè)公式所表示的定理叫二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫 的二項(xiàng)展開式，⑶它有 項(xiàng)，各項(xiàng)的系數(shù) 叫二項(xiàng)式系數(shù)，
⑷ 叫二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用 表示，即通項(xiàng) ．
⑸二項(xiàng)式定理中，設(shè) ，則
三、講解范例：
例1．展開 ．
解一： ．
解二：
．
例2．展開 ．
解：
．
例3．求 的展開式中的倒數(shù)第 項(xiàng)
解： 的展開式中共 項(xiàng)，它的倒數(shù)第 項(xiàng)是第 項(xiàng)，
．
例4．求（1） ，（2） 的展開式中的第 項(xiàng)．
解：（1） ，
（2） ．
點(diǎn)評(píng)： ， 的展開后結(jié)果相同，但展開式中的第 項(xiàng)不相同
例5．（1）求 的展開式常數(shù)項(xiàng)；
（2）求 的展開式的中間兩項(xiàng)
解：∵ ，
∴（1）當(dāng) 時(shí)展開式是常數(shù)項(xiàng)，即常數(shù)項(xiàng)為 ；
（2） 的展開式共 項(xiàng)，它的中間兩項(xiàng)分別是第 項(xiàng)、第 項(xiàng)，
，
例6．（1）求 的展開式的第4項(xiàng)的系數(shù)；
（2）求 的展開式中 的系數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù)
解： 的展開式的第四項(xiàng)是 ，
∴ 的展開式的第四項(xiàng)的系數(shù)是 ．
（2）∵ 的展開式的通項(xiàng)是 ，
∴ ， ，
∴ 的系數(shù) ， 的二項(xiàng)式系數(shù) ．
例7．求 的展開式中 的系數(shù)
分析：要把上式展開，必須先把三項(xiàng)中的某兩項(xiàng)結(jié)合起來，看成一項(xiàng)，才可以用二項(xiàng)式定理展開，然后再用一次二項(xiàng)式定理，，也可以先把三項(xiàng)式分解成兩個(gè)二項(xiàng)式的積，再用二項(xiàng)式定理展開
解：（法一）
，
顯然，上式中只有第四項(xiàng)中含 的項(xiàng)，
∴展開式中含 的項(xiàng)的系數(shù)是
（法二）：
∴展開式中含 的項(xiàng)的系數(shù)是 ．
例8．已知 的展開式中含 項(xiàng)的系數(shù)為 ，求展開式中含 項(xiàng)的系數(shù)最小值
分析：展開式中含 項(xiàng)的系數(shù)是關(guān)于 的關(guān)系式，由展開式中含 項(xiàng)的系數(shù)為 ，可得 ，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于 或 的二次函數(shù)求解
解： 展開式中含 的項(xiàng)為
∴ ，即 ，
展開式中含 的項(xiàng)的系數(shù)為
，
∵ ， ∴ ，
∴
，∴當(dāng) 時(shí)， 取最小值，但 ，
∴ 時(shí)， 即 項(xiàng)的系數(shù)最小，最小值為 ，此時(shí) ．
例9．已知 的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對值依次成等差數(shù)列，
（1）證明展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)；（2）求展開式中所有的有理項(xiàng)
解：由題意： ，即 ，∴ 舍去）
∴
①若 是常數(shù)項(xiàng)，則 ，即 ，
∵ ，這不可能，∴展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)；
②若 是有理項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng) 為整數(shù)，
∴ ，∴ ，
即 展開式中有三項(xiàng)有理項(xiàng)，分別是： ， ，
例10．求 的近似值，使誤差小于 ．
解： ，
展開式中第三項(xiàng)為 ，小于 ，以后各項(xiàng)的絕對值更小，可忽略不計(jì)，
∴ ，
一般地當(dāng) 較小時(shí)
四、課堂練習(xí)：
1.求 的展開式的第3項(xiàng).
2.求 的展開式的第3項(xiàng).
3.寫出 的展開式的第r+1項(xiàng).
4.求 的展開式的第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，并求第4項(xiàng)的系數(shù).
5.用二項(xiàng)式定理展開：
（1） ；（2） .
6.化簡：（1） ；（2）
7． 展開式中的第 項(xiàng)為 ，求 ．
8．求 展開式的中間項(xiàng)
答案：1.
2.
3.
4.展開式的第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) ，第4項(xiàng)的系數(shù)
5. （1） ；
（2） .
6. （1） ；
（2）
7. 展開式中的第 項(xiàng)為
8. 展開式的中間項(xiàng)為
五、小結(jié) ：二項(xiàng)式定理的探索思路:觀察――歸納――猜想――證明；二項(xiàng)式定理及通項(xiàng)公式的特點(diǎn)
六、課后作業(yè)： P36 習(xí)題1.3A組1. 2. 3.4
七、板書設(shè)計(jì)（略）
八、教學(xué)反思：
(a+b) ｎ =
這個(gè)公式表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，公式右邊的多項(xiàng)式叫做 (a+b)ｎ的 ，其中 （r=0,1,2,……,n）叫做 ， 叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，它是展開式的第 項(xiàng)，展開式共有 個(gè)項(xiàng).
掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，并能用它們解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題。
培養(yǎng)歸納猜想，抽象概括，演繹證明等理性思維能力。教材的探求過程將歸納推理與演繹推理有機(jī)結(jié)合起來，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)探究能力的極好載體，教學(xué)過程中，要讓學(xué)生充分體驗(yàn)到歸納推理不僅可以猜想到一般性的結(jié)果，而且可以啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)一般性問題的解決方法。
二項(xiàng)式定理是指
這樣一個(gè)展開式的公式.它是(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3…等等展開式的一般形式，在初等數(shù)學(xué)中它各章節(jié)的聯(lián)系似乎不太多，而在高等數(shù)學(xué)中它是許多重要公式的共同基礎(chǔ)，根據(jù)二項(xiàng)式定理的展開，才求得y=xn的導(dǎo)數(shù)公式y(tǒng)′=nxn－1，同時(shí) =e≈2.718281…也正是由二項(xiàng)式定理的展開規(guī)律所確定，而e在高等數(shù)學(xué)中的地位更是舉足輕重，概率中的正態(tài)分布，復(fù)變函數(shù)中的歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ，微分方程中二階變系數(shù)方程及高階常系數(shù)方程的解由e的指數(shù)形式來表達(dá).且直接由e的定義建立的y=lnx的導(dǎo)數(shù)公式y(tǒng)= 與積分公式 =dxlnx+c是分析學(xué)中用的最多的公式之一.而由y=xn的各階導(dǎo)數(shù)為基礎(chǔ)建立的泰勒公式；f(x)=f(x0)+ (x－x0)2+… (x－x0)n+ (θ∈(0，1))以及由此建立的冪級(jí)數(shù)理論，更是廣泛深入到高等數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中.
怎樣使二項(xiàng)式定理的教學(xué)生動(dòng)有趣
正因?yàn)槎?xiàng)式定理在初等數(shù)學(xué)中與其他內(nèi)容聯(lián)系較少，所以教材上教法就顯得呆板，單調(diào)，課本上先給出一個(gè)(a+b)4用組合知識(shí)來求展開式的系數(shù)的例子.然后推廣到一般形式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明，因?yàn)樽C明寫得很長，上課時(shí)的板書幾乎占了整個(gè)黑板，所以課必然上得累贅，學(xué)生必然感到被動(dòng).那么多的算式學(xué)生看都不及細(xì)看，記也感到吃力，又怎能發(fā)揮主體作用？
怎樣才能使得在這節(jié)課上學(xué)生獲得主動(dòng)？采用課前預(yù)習(xí)；自學(xué)輔導(dǎo)；還是學(xué)生討論，或讀，議、講，練，或目標(biāo)教學(xué)，還是設(shè)置發(fā)現(xiàn)情境？看來這些辦法遇到真正困難時(shí)都會(huì)無能為力，因?yàn)檫@些方法都無法改變算式的冗長，證法的呆板，課堂上的新情境與學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的圖式不協(xié)調(diào)的事實(shí).
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaoer/82755.html
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