2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角
一、教材分析
本課的地位及作用：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，就是運用坐標(biāo)這一量化工具表達向量的數(shù)量積運算，為研究平面中的距離、垂直、角度等問題提供了全新的手段。它把向量的數(shù)量積與坐標(biāo)運算兩個知識點緊密聯(lián)系起來，是全章重點之一。
二．目標(biāo)
1．學(xué)會用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達式，會進行數(shù)量積的運算。理解掌握向量的模、夾角等公式。能根據(jù)公式解決兩個向量的夾角、垂直等問題。
2．（1）通出問題，把問題的求解與探究貫穿整堂課，學(xué)生在自主探究中發(fā)現(xiàn)了結(jié)論
（2）通過對向量平行與垂直的充要條件的坐標(biāo)表示的類比，教給了學(xué)生類比聯(lián)想的記憶方法。
3．經(jīng)歷根據(jù)平面向量數(shù)量積的意義探究其坐標(biāo)表示的過程，體驗在此基礎(chǔ)上探究發(fā)現(xiàn)
向量的模、夾角等重要的度量公式的成功樂趣，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力、創(chuàng)新精神、
三、重點難點
重點：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.
難點：向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的應(yīng)用.
四、學(xué)情分析
此之前學(xué)生已學(xué)習(xí)了平面向量的坐標(biāo)表示和平面向量數(shù)量積概念及運算，但數(shù)量積是用長度和夾角這兩個概念來表示的，應(yīng)用起來不太方便，如何用坐標(biāo)這一最基本、最常用的工具來表示數(shù)量積，使之應(yīng)用更方便，就是擺在學(xué)生面前的一個亟待解決的問題。因此，本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)是學(xué)生認知發(fā)展和知識構(gòu)建的一個合情、合理的“生長點”。所以，本節(jié)課采取以學(xué)生自主完成為主，教師查漏補缺的教學(xué)方法。因此結(jié)合中學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)特點和學(xué)生實際。我將本節(jié)教學(xué)目標(biāo)確定為：1、理解掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達式，會進行數(shù)量積的運算。理解掌握向量的模、夾角等公式。能根據(jù)公式解決兩個向量的夾角、垂直等問題2、經(jīng)歷根據(jù)平面向量數(shù)量積的意義探究其坐標(biāo)表示的過程，體驗在此基礎(chǔ)上探究發(fā)現(xiàn)向量的模、夾角等重要的度量公式的成功樂趣，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力、創(chuàng)新精神。
五、教學(xué)方法
1．實驗法：多媒體、實物投影儀。
2．學(xué)案導(dǎo)學(xué)：見后面的學(xué)案。
3．新授課教學(xué)基本環(huán)節(jié)：預(yù)習(xí)檢查、總結(jié)疑惑→情境導(dǎo)入、展示目標(biāo)→合作探究、精講點撥→反思總結(jié)、當(dāng)堂檢測→發(fā)導(dǎo)學(xué)案、布置預(yù)習(xí)。
六、課前準(zhǔn)備
1．學(xué)生的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備：預(yù)習(xí)學(xué)案。
2．教師的教學(xué)準(zhǔn)備：多媒體課件制作，課前預(yù)習(xí)學(xué)案，課內(nèi)探究學(xué)案，課后延伸拓展學(xué)案。
七、課時安排：1課時
八、教學(xué)過程
(一)預(yù)習(xí)檢查、總結(jié)疑惑
檢查落實了學(xué)生的預(yù)習(xí)情況并了解了學(xué)生的疑惑，使教學(xué)具有了針對性。
（二）情景導(dǎo)入、展示目標(biāo)。
創(chuàng)設(shè)問題情景，引出新課
⑴a與b的數(shù)量積 的定義？⑵向量的運算有幾種?應(yīng)怎樣計算？
出示學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、理解掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、向量的 夾角、模的 公式.2、兩個向量垂直的坐標(biāo)表示3、運用兩個向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示初步解決處理有關(guān)長度垂直的幾個問題.
（三）合作探究，精講點撥
探究一：已知兩個非零向量a=(x1,x2),b=(x2,y2),怎樣用a與b的坐標(biāo)表示數(shù)量積a?b呢？
a?b=(x1,y1)?(x2,y2)=(x1i+y1j)?(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i?j+x2y1i?j+y1y2j2=x1x2+y1y2
即：兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和
師生：學(xué)生回答提出的問題，教師點評
學(xué)生：合作探索提出的問題。
教師：巡視輔導(dǎo)學(xué)生，解決遇到的困難，估計學(xué)生對正交單位基向量i,j的運算可能有困難，點撥學(xué)：i2=1,j2=1,i?j=0
師生：學(xué)生展示探究結(jié)果，教師給予點評
設(shè)計意圖：回顧平面向量數(shù)量積的意義，為探究數(shù)量積的坐標(biāo)表示做好準(zhǔn)備。
創(chuàng)設(shè)情境激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，出示學(xué)習(xí)目標(biāo)使學(xué)生了解本課的任務(wù)
問題引領(lǐng)，培養(yǎng)學(xué)生的探索研究能力
探究二：探索發(fā)現(xiàn)向量的模的坐標(biāo)表達式
若a=(x,y)，如何計算向量的模a呢？
若A(x1,x2),B(x2,y2)，如何計算向量AB的模兩點A、B間的距離呢？
教師提出問題學(xué)生：獨立思考探究合作交流讓學(xué)生展示探究的結(jié)論，教師總結(jié)
設(shè)計意圖：在向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示基礎(chǔ)上，探索發(fā)現(xiàn)向量的模
例1、如圖，以原點和A(5， 2)為頂點作等腰直角△OAB，使?B = 90?，求點B和向量 的坐標(biāo).
解：設(shè)B點坐標(biāo)(x， y)，則 = (x， y)， = (x?5， y?2)
∵ ? ∴x(x?5) + y(y?2) = 0即：x2 + y2 ?5x ? 2y = 0
又∵ = ∴x2 + y2 = (x?5)2 + (y?2)2即：10x + 4y = 29
由
∴B點坐標(biāo) 或 ； = 或
評述：用向量的垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示作為此題的突破點。
變式：已知
探究三：向量夾角、垂直、坐標(biāo)表示
設(shè)a,b都是非零向量，a=(x1,y1),b(x2,y2),如何判定a⊥b或計算a與b的夾角
1、向量夾角的坐標(biāo)表示
2、a⊥b<=>a?b=0<=>x1x2+y1y2=0
3、a∥b <=>X1y2-x2y1=0
學(xué)生：獨立思考、探究，合作交流，師生：讓學(xué)生展示探究的結(jié)論，教師總結(jié)
提醒學(xué)生a⊥b與a∥b坐標(biāo)表達式的不同
設(shè)計意圖：在向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示基礎(chǔ)上兩向量垂直，兩向量夾角的坐標(biāo)表達式
例2 在△ABC中， =(2， 3)， =(1， k)，且△ABC的一個內(nèi)角為直角，求k值.
解：當(dāng)A = 90?時， ? = 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =
當(dāng)B = 90?時， ? = 0， = ? = (1?2， k?3) = (?1， k?3)
∴2×(?1) +3×(k?3) = 0 ∴k =
當(dāng)C = 90?時， ? = 0，∴?1 + k(k?3) = 0 ∴k =
評述：熟練應(yīng)用向量的夾角公式。
變式：已知， 當(dāng)k為何值時，（1） 垂直？
（2） 平行嗎？平行時它們是同向還是反向？
（四）反思總結(jié)，當(dāng)堂檢測。
教師組織學(xué)生反思總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容，并進行當(dāng)堂檢測。
設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)并對所學(xué)內(nèi)容進行簡單的反饋糾正。（課堂實錄）
（五）發(fā)導(dǎo)學(xué)案、布置預(yù)習(xí)。
我們已經(jīng)學(xué)習(xí)數(shù)量積的坐標(biāo)運算。模。夾角。下節(jié)學(xué)習(xí)平面向量應(yīng)用舉例這節(jié)課后大家可以先預(yù)習(xí)這一部分，著重體會向量是一種處理幾何問題。物理問題的工具增強應(yīng)用意識提高解題能力
九、板書設(shè)計
十、教學(xué)反思
1．教學(xué)方法：結(jié)合本節(jié)教材淺顯易懂，又有前面平面向量的數(shù)量積和向量的坐標(biāo)表示等知識作鋪墊的內(nèi)容特點，兼顧高一學(xué)生已具備一定的數(shù)學(xué)思維能力和處理向量問題的方法的現(xiàn)狀，我主要采用“誘思探究教學(xué)法”，其核心是“誘導(dǎo)思維，探索研究”，其教學(xué)思想是“教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，訓(xùn)練為主線的原則，為此，我通過精心設(shè)置的一個個問題，激發(fā)學(xué)生的求知欲，積極的鼓勵學(xué)生的參與，給學(xué)生獨立思考的空間，鼓勵學(xué)生自主探索，最終在教師的指導(dǎo)下去探索發(fā)現(xiàn)問題，解決問題。在教學(xué)中，我適時的對學(xué)生學(xué)習(xí)過程給予評價，適當(dāng)?shù)脑u價，可以培養(yǎng)學(xué)生的自信心，合作交流的意識，更進一步地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓他們體驗成功的喜悅。
2．教學(xué)手段：利用多媒體輔助教學(xué)，可以加大一堂課的信息容量，極大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
十一、學(xué)案設(shè)計(見下頁)
2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角
課前預(yù)習(xí)學(xué)案
一、預(yù)習(xí)目標(biāo)：
預(yù)習(xí)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達式，會進行數(shù)量積的運算。了解向量的模、夾角等公式。
二、預(yù)習(xí)內(nèi)容：
1.平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的坐標(biāo)表示
2.引入向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，我們得到下面一些重要結(jié)論：
(1)向量模的坐標(biāo)表示：
能表示單位向量的模嗎？
(2)平面上兩點間的距離公式：
向量a的起點和終點坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)
AB=
(3)兩向量的夾角公式cos? =
3. 向量垂直的判定（坐標(biāo)表示）
4.向量平行的判定（坐標(biāo)表示）
三、提出疑惑
同學(xué)們，通過你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中
疑惑點疑惑內(nèi)容
課內(nèi)探究學(xué)案
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)
學(xué)會用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達式，會進行數(shù)量積的運算。掌握兩個向量共線、垂直的幾何判斷，會證明兩向量垂直，以及能解決一些簡單問題.
學(xué)習(xí)重難點：平面向量數(shù)量積及運算規(guī)律.平面向量數(shù)量積的應(yīng)用
二、學(xué)習(xí)過程
（一）創(chuàng)設(shè)問題情景，引出新課
a與b的數(shù)量積 的定義？⑵向量的運算有幾種?應(yīng)怎樣計算？
（二）合作探究，精講點撥
探究一：已知兩個非零向量a=(x1,x2),b=(x2,y2),怎樣用a與b的坐標(biāo)表示數(shù)量積a?b呢？
a?b=(x1,y1)?(x2,y2)=(x1i+y1j)?(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i?j+x2y1i?j+y1y2j2=x1x2+y1y2
教師：巡視輔導(dǎo)學(xué)生，解決遇到的困難，估計學(xué)生對正交單位基向量i,j的運算可能有困難，點撥學(xué)生：i2=1,j2=1,i?j=0
探究二：探索發(fā)現(xiàn)向量的模的坐標(biāo)表達式
若a=(x,y)，如何計算向量的模a呢？
若A(x1,x2),B(x2,y2)，如何計算向量AB的模兩點A、B間的距離呢？
例1、如圖，以原點和A(5， 2)為頂點作等腰直角△OAB，使?B = 90?，求點B和向量 的坐標(biāo).
變式：已知
探究三：向量夾角、垂直、坐標(biāo)表示
設(shè)a,b都是非零向量，a=(x1,y1),b(x2,y2),如何判定a⊥b或計算a與b的夾角
1、向量夾角的坐標(biāo)表示
2、a⊥b<=> <=>x1x2+y1y2=0
3、a∥b <=>X1y2-x2y1=0
例2 在△ABC中， =(2， 3)， =(1， k)，且△ABC的一個內(nèi)角為直角，求k值.
變式：已知， 當(dāng)k為何值時，（1） 垂直？
（2） 平行嗎？平行時它們是同向還是反向？
（三）反思總結(jié)
(四)當(dāng)堂檢測
1.已知a=1，b= ，且(a-b)與a垂直，則a與b的夾角是（ ）
A.60° B.30° C.135° D.４５°
2.已知a=2，b=1，a與b之間的夾角為 ，那么向量m=a-4b的模為（ ）
A.2 B.2 C.6 D.12
3、a=(5,-7),b=(-6,-4)，求a與b的 數(shù)量積
4、設(shè)a=(2,1),b=(1,3),求a?b及a與b的夾角
5、已知向量a=(-2,-1),b=(λ,1)若a與b的夾角為鈍角,則λ取值范圍是多少?
課后練習(xí)與提高
1.已知 則 （ �。�
A.23 B.57 C.63 D.83
2.已知 則 夾角的余弦為（ �。�
A. B. C. D.
3. 則 __________。
4.已知 則 __________。
5. 則 _______ _______
6.與 垂直的單位向量是__________
A. B.
D.
7. 則 方向上的投影為_________
8.A(1,2),B(2,3),C(2,0)所以 為( )
A.直角三角形 B.銳角三角形
C.鈍角三角形 D.不等邊三角形
9.已知A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D.(4.6)則四邊形ABCD為（ ）
A.正方形 B.菱形 C.梯形 D. 矩形
10.已知點A（1，2），B(4,-1),問在y軸上找點C，使∠ABC＝90若不能，說明理由；若能，求C坐標(biāo)。
參考答案：
1.D6.C
2.A7.
3.-7
4. 8.A
5.-6, 9.D
10.不能，提示：設(shè)C（0,y）則 ∴ +(y-2) (-1-y)
恒成立∴ ,即 900,故不能
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaoer/82649.html
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