空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 高二 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)
高考要求
要使學(xué)生理解空間向量、空間點(diǎn)的坐標(biāo)的意義,掌握向量加法、減法、數(shù)乘、點(diǎn)乘的坐標(biāo)表示以及兩點(diǎn)間的距離、夾角公式 通過解題,會(huì)應(yīng)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決立體幾何中有關(guān)平行、垂直、夾角、距離等問題
知識(shí)點(diǎn)歸納
1 空間直角坐標(biāo)系:
(1)若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直,且長為 ,這個(gè)基底叫單位正交基底,用 表示;
(2)在空間選定一點(diǎn) 和一個(gè)單位正交基底 ,以點(diǎn) 為原點(diǎn),分別以 的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸: 軸、 軸、 軸,它們都叫坐標(biāo)軸.我們稱建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系 ,點(diǎn) 叫原點(diǎn),向量 都叫坐標(biāo)向量.通過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面,分別稱為 平面, 平面, 平面;
2.空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo):
在空間直角坐標(biāo)系 中,對空間任一點(diǎn) ,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 ,使 ,有序?qū)崝?shù)組 叫作向量 在空間直角坐標(biāo)系 中的坐標(biāo),記作 , 叫橫坐標(biāo), 叫縱坐標(biāo), 叫豎坐標(biāo).
3.空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律:
(1)若 , ,
則 ,
,

, ,

(2)若 , ,則 .
一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)
4 模長公式:若 , ,
則 , .
5.夾角公式: .
6.兩點(diǎn)間的距離公式:若 , ,
則 ,

題型講解
例1 已知 =(2,2,1), =(4,5,3),求平面ABC的單位法向量
解:設(shè)面ABC的法向量 ,
則 ⊥ 且 ⊥ ,即 ? =0,且 ? =0,
即2x+2y+z=0且4x+5y+3z=0,解得
∴ =z( ,-1,1),單位法向量 =±( ,- , )
點(diǎn)評:一般情況下求法向量用待定系數(shù)法 由于法向量沒規(guī)定長度,僅規(guī)定了方向,所以有一個(gè)自由度,可把 的某個(gè)坐標(biāo)設(shè)為1,再求另兩個(gè)坐標(biāo) 平面法向量是垂直于平面的向量,故法向量的相反向量也是法向量,所以本題的單位法向量應(yīng)有兩解
例2 已知A(3,2,1)、B(1,0,4),求:
(1)線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和長度;
(2)到A、B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)P(x,y,z)的坐標(biāo)滿足的條件
解:(1)設(shè)P(x,y,z)是AB的中點(diǎn),
則 = ( + )= [(3,2,1)+(1,0,4)]=(2,1, ),∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2,1, ),
dAB= =
(2)設(shè)點(diǎn)P(x,y,z)到A、B的距離相等,
則 =
化簡得4x+4y-6z+3=0(線段AB的中垂面方程,其法向量的坐標(biāo)就是方程中x,y,z的系數(shù)),即為P的坐標(biāo)應(yīng)滿足的條件
點(diǎn)評:空間兩點(diǎn)P1(x1,y1,z1)、P2(x2,y2,z2)的中點(diǎn)為( , , ),且P1P2=
例3 棱長為a的正方體ABCD?A1B1C1D1中,在棱DD1上是否存在點(diǎn)P使B1D⊥面PAC?
解:以D為原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系,
設(shè)存在點(diǎn)P(0,0,z),
=(-a,0,z),
=(-a,a,0),
=(a,a,a),
∵B1D⊥面PAC,∴ ? =0, ? =0
∴-a2+az=0 ∴z=a,即點(diǎn)P與D1重合
∴點(diǎn)P與D1重合時(shí),DB1⊥面PAC
例4 在三棱錐S?ABC中,∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,AC=2,BC= ,SB=
(1)求證:SC⊥BC;
(2)求SC與AB所成角的余弦值
解法一:如圖,取A為原點(diǎn),AB、AS分別為y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則有AC=2,BC= ,SB= ,
得B(0, ,0)、S(0,0,2 )、C(2 , ,0),
∴ =(2 , ,-2 ), =(-2 , ,0)
(1)∵ ? =0,∴SC⊥BC
(2)設(shè)SC與AB所成的角為α,
∵ =(0, ,0), ? =4, =4 ,
∴cosα= ,即為所求
解法二:(1)∵SA⊥面ABC,AC⊥BC,AC是斜線SC在平面ABC內(nèi)的射影,∴SC⊥BC
(2)如圖,過點(diǎn)C作CD∥AB,過點(diǎn)A作AD∥BC交CD于點(diǎn)D,連結(jié)SD、SC,則∠SCD為異面直線SC與AB所成的角
∵四邊形ABCD是平行四邊形,CD= ,SA=2 ,SD= = =5,
∴在△SDC中,由余弦定理得cos∠SCD= ,即為所求
點(diǎn)評:本題(1)采用的是“定量”與“定性”兩種證法 題(2)的解法一應(yīng)用向量的數(shù)量積直接計(jì)算,避免了作輔助線、平移轉(zhuǎn)化的麻煩,但需建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系;解法二雖然避免了建系,但要選點(diǎn)、平移、作輔助線、解三角形
例5 如圖,直棱柱ABC?A1B1C1的底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M、N分別是A1B1、A1A的中點(diǎn)
(1)求 的長;
(2)求cos〈 , 〉的值;
(3)求證:A1B⊥C1M
(1)解:如圖建立坐標(biāo)系,依題意得B(0,1,0),N(1,0,1),
∴| |= =
(2)解:A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),
∴ =(1,-1,2), =(0,1,2),
∴ ? =3,| |= ,| |=
∴cos〈 , 〉= =
(3)證明:∵C1(0,0,2),M( , ,2),
∴ =(-1,1,-2), =( , ,0),
∴ ? =0,∴A1B⊥C1M
例6 如圖,在正方體ABCD?A1B1C1D1中,E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn)
(1)證明AD⊥D1F;
(2)求AE與D1F所成的角;
(3)證明面AED⊥面A1D1F
解:取D為原點(diǎn),DA、DC、DD1為x軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系,取正方體棱長為2,
則A(2,0,0)、A1(2,0,2)、
D1(0,0,2)、E(2,2,1)、F(0,1,0)
(1)∵ ? =(2,0,0)?(0,1,-2)=0,∴AD⊥D1F
(2)∵ ? =(0,2,1)?(0,1,-2)=0,
∴AE⊥D1F,即AE與D1F成90°角
(3)∵ ? =(2,2,1)?(0,1,-2)=0,
∴DE⊥D1F ∵AE⊥D1F,∴D1F⊥面AED
∵D1F 面A1D1F,∴面AED⊥面A1D1F
點(diǎn)評:①通過建立空間直角坐標(biāo)系,點(diǎn)用三維坐標(biāo)表示,向量用坐標(biāo)表示,進(jìn)行向量的運(yùn)算,輕而易舉地解決立體幾何問題,不需要添加輔助線 一個(gè)需要經(jīng)過嚴(yán)密推理論證的問題就這樣被簡單機(jī)械的運(yùn)算代替了
②本題是高考題,標(biāo)準(zhǔn)答案的解法較為復(fù)雜,而運(yùn)用代數(shù)向量求解則輕而易舉,充分顯示出代數(shù)化方法研究幾何圖形的優(yōu)越性,這應(yīng)作為立體幾何復(fù)習(xí)的一個(gè)重點(diǎn)去掌握 通過坐標(biāo)法計(jì)算數(shù)量積去證垂直,求夾角、距離,是高考的重點(diǎn)
例7 如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的底邊長為a,側(cè)棱長為 a
建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,⑴寫出A,B,A1,B1的坐標(biāo);⑵求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角
分析:(1)所謂“建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系”,一般應(yīng)使盡量多的點(diǎn)在數(shù)軸上或便于計(jì)算,(2)首先要找出所求的角,或找出平面的法向量與直線所成的角,然后再求之
解:(1)建系如圖,則A(0,0,0) B(0,a,0)
A1(0,0, a),C1(- a, )
(2)解法一:在所建的坐標(biāo)系中,取A1B1的中點(diǎn)M,
于是M(0, ),連結(jié)AM,MC1
則有
, ,
∴ , ,
所以,MC1⊥平面ABB1A1
因此,AC1與AM所成的角就是AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角
, ,
,而
由cos< >= , < >=30°
解法二: ,
平面ABB1A1的一個(gè)法向量
∴AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角 的正弦為:
=
∴AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為30°
例8 棱長為2的正方體A1B1C1D1-ABCD中,E、F分別是C1C和D1A1的中點(diǎn),(1)求EF長度;(2)求< >;3)求點(diǎn)A到EF的距離
分析:一般來說,與長方體的棱或棱上的點(diǎn)有關(guān)的問題,建立空間直角坐標(biāo)系比較方便,適當(dāng)建立坐標(biāo)系后,正確地寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及向量然后進(jìn)行運(yùn)算即可得解
解:以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1分別為x軸,
y軸,z軸建立直角坐標(biāo)系,
則A(2,0,0),B(2,2,0),
E(0,2,1),F(xiàn)(1,0,2)
由此可得: =(0,2,0), =(1,-2,1)
=(1,0,-2), =2, = , = - 4, =1-2=-1,
所以
(1) =
(2)cos< >= =- ,所以< >= -arccos
(3) 在 上的射影的數(shù)量 cos< >= =
A到EF的距離=
點(diǎn)評:點(diǎn)到直線的距離的向量求法,就是先求出該點(diǎn)與直線上某點(diǎn)連線在直線上的射影,再用勾股定理求對應(yīng)的距離
例9 平面ABCD⊥平面ABEF,ABCD是正方形,ABEF是矩形,且 G是EF的中點(diǎn),
(1)求證平面AGC⊥平面BGC;
(2)求GB與平面AGC所成角正弦值;
(3)求二面角B?AC?G的大小
解:如圖,以A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,
則A(0,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,2a),
G(a,a,0),F(xiàn)(a,0,0)
(1)證明: ,

設(shè)平面AGC的法向量為 ,

設(shè)平面BGC的法向量為 ,

∴ 即 ∴平面AGC⊥平面BGC;
(2)由⑴知平面AGC的法向量為
,

(3)因 是平面AGC的法向量,又AF⊥平面ABCD,
平面ABCD的法向量 , 得
∴二面角B?AC?G的大小為
求平面法向量的另一種方法:
由 A(0,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,2a),
G(a,a,0),F(xiàn)(a,0,0)
設(shè)平面AGC的方程為:

∴平面AGC的法向量為
設(shè)平面BGC的方程為:
則 ∴平面BGC的法向量為
點(diǎn)評:①平面平行于哪一個(gè)軸,其法向量的對應(yīng)坐標(biāo)就是0;
②平面經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)平面方程中的常數(shù)項(xiàng)等于0;
③平面法向量的兩種求法的區(qū)別
小結(jié):
1 運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決幾何問題時(shí),首先要恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系,計(jì)算出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而寫出向量的坐標(biāo),再結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算,最后轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論
2 本節(jié)知識(shí)是代數(shù)化方法研究幾何問題的基礎(chǔ),向量運(yùn)算分為向量法與坐標(biāo)法兩類,以通過向量運(yùn)算推理,去研究幾何元素的位置關(guān)系為重點(diǎn) 利用兩個(gè)向量(非零)垂直 數(shù)量積為零,可證明空間直線垂直;利用數(shù)量積可計(jì)算兩異面直線的夾角,可求線段的長度;運(yùn)用共面向量定理可證點(diǎn)共面、線面平行等;利用向量的射影、平面的法向量,可求點(diǎn)面距、線面角、異面直線的距離等
學(xué)生練習(xí)
1 若 =(2x,1,3), =(1,-2y,9),如果 與 為共線向量,則
A x=1,y=1 B x= ,y=- C x= ,y=- D x=- ,y=
解析:∵ =(2x,1,3)與 =(1,-2y,9)共線,故有 = =
∴x= ,y=- 應(yīng)選C 答案:C
2 在空間直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)P(x,y,z),下列敘述中正確的個(gè)數(shù)是①點(diǎn)P關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是P1(x,-y,z) ②點(diǎn)P關(guān)于yOz平面對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是P2(x,-y,-z) ③點(diǎn)P關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是P3(x,-y,z) ④點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是P4(-x,-y,-z)
A 3 B 2 C 1 D 0
解析:P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為P1(x,-y,-z),關(guān)于yOz平面的對稱點(diǎn)為P2(-x,y,z),關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為P3(-x,y,-z) 故①②③錯(cuò)誤 答案:C
3 已知向量 =(1,1,0), =(-1,0,2),且k + 與2 - 互相垂直,則k值是
A 1B C D
解析:k + =k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),2 - =2(1,1,0)-(-1,0,2)=(3,2,-2)
∵兩向量垂直,∴3(k-1)+2k-2×2=0 ∴k= 答案:D
4 設(shè)OABC是四面體,G1是△ABC的重心,G是OG1上一點(diǎn),且OG=3GG1,若 =x +y +z ,則(x,y,z)為
A ( , , ) B ( , , )
C ( , , ) D ( , , )
解析:∵ = = ( + )= + ? [ ( + )]= + [( - )+( - )]= + + ,而 =x +y +z ,∴x= ,y= ,z=
答案:A
5 在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中,M、N分別為A1B1和BB1的中點(diǎn),那么直線AM與CN所成的角為
A arccos B arccos C arccos D arccos
解:建立坐標(biāo)系,把D點(diǎn)視作原點(diǎn)O,分別沿 、 、 方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向,則A(1,0,0),M(1, ,1),C(0,1,0),N(1,1, )
∴ =(1, ,1)-(1,0,0)=(0, ,1),
=(1,1, )-(0,1,0)=(1,0, )
故 ? =0×1+ ×0+1× = ,
= = , = =
∴cosα= = = ∴α=arccos 答案:D
6 已知空間三點(diǎn)A(1,1,1)、B(-1,0,4)、C(2,-2,3),則 與 的夾角θ的大小是_________
解析: =(-2,-1,3), =(-1,3,-2),
cos〈 , 〉= = =- ,
∴θ=〈 , 〉=120° 答案:120°
7 已知點(diǎn)A(1,2,1)、B(-1,3,4)、D(1,1,1),若 =2 ,則 的值是__________
解析:設(shè)點(diǎn)P(x,y,z),則由 =2 ,得
(x-1,y-2,z-1)=2(-1-x,3-y,4-z),

則 = = 答案:
8 設(shè)點(diǎn)C(2a+1,a+1,2)在點(diǎn)P(2,0,0)、A(1,-3,2)、B(8,-1,4)確定的平面上,求a的值
解: =(-1,-3,2), =(6,-1,4)
根據(jù)共面向量定理,設(shè) =x +y (x、y∈R),
則(2a-1,a+1,2)=x(-1,-3,2)+y(6,-1,4)=(-x+6y,-3x-y,2x+4y),∴ 解得x=-7,y=4,a=16
另法:先求出三點(diǎn)確定的平面方程,然后代入求a的值
9 已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2,P、Q分別是BC、CD上的動(dòng)點(diǎn),且PQ= ,建立坐標(biāo)系,把D點(diǎn)視作原點(diǎn)O,分別沿 、 、 方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向,
(1)確定P、Q的位置,使得B1Q⊥D1P;
(2)當(dāng)B1Q⊥D1P時(shí),求二面角C1?PQ?A的大小
解:(1)設(shè)BP=t,則CQ= ,DQ=2-
∴B1(2,0,2),D1(0,2,2),P(2,t,0),Q(2- ,2,0),
∴ =( ,-2,2), =(-2,2-t,2)
∵B1Q⊥D1P等價(jià)于 ? =0,
即-2 -2(2-t)+2×2=0,
整理得 =t,解得t=1
此時(shí),P、Q分別是棱BC、CD的中點(diǎn),即P、Q分別是棱BC、CD的中點(diǎn)時(shí),B1Q⊥D1P;
(2)二面角C1?PQ?A的大小是π-arctan2
10 已知三角形的頂點(diǎn)是A(1,-1,1),B(2,1,-1),C(-1,-1,-2) 試求這個(gè)三角形的面積
解:S = ABACsinα,其中α是AB與AC這兩條邊的夾角
則S =
= =
在本題中, =(2,1,-1)-(1,-1,1)=(1,2,-2),
=(-1,-1,-2)-(1,-1,1)=(-2,0,-3),
∴ 2=12+22+(-2)2=9,
2=(-2)2+02+(-3)2=13,
? =1?(-2)+2?0+(-2)?(-3)=-2+6=4,
∴S = =
11 證明正三棱柱的兩個(gè)側(cè)面的異面對角線互相垂直的充要條件是它的底面邊長與側(cè)棱長的比為 ∶1
證明:如圖,以正三棱柱的頂點(diǎn)O為原點(diǎn),棱OC、OB為y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正三棱柱底面邊長與棱長分別為2a、b,則A( a,a,b)、B(0,0,b)、C(0,2a,0) 因?yàn)楫惷鎸蔷OA⊥BC ? =0 ( a,a,b)?(0,2a,-b)=2a2-b2=0 b= a,即2a∶b= ∶1,所以O(shè)A⊥BC的充要條件是它的底面邊長與側(cè)棱長的比為 ∶1
12 如圖,ABCD是邊長為a的菱形,且∠BAD=60°,△PAD為正三角形,且面PAD⊥面ABCD
(1)求cos〈 , 〉的值;
(2)若E為AB的中點(diǎn),F(xiàn)為PD的中點(diǎn),求 的值;
(3)求二面角P?BC?D的大小
解:(1)選取AD中點(diǎn)O為原點(diǎn),OB、AD、OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,- ,0),B( a,0,0),P(0,0, a),D(0, ,0)
∴ =( a, ,0), =(0, ,- a),
則cos〈 , 〉=
= =
(2)∵E、F分別為AB、PD的中點(diǎn),
∴E( a,- ,0),F(xiàn)(0, , a)
則 = = a
(3)∵面PAD⊥面ABCD,PO⊥AD,
∴PO⊥面ABCD
∵BO⊥AD,AD∥BC,∴BO⊥BC
連結(jié)PB,則PB⊥BC,
∴∠PBO為二面角P?BC?D的平面角
在Rt△PBO中,PO= a,BO= a,
∴tan∠PBO= = =1 則∠PBO=45°
故二面角P?BC?D的大小為45°

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