1．知識(shí)與技能:
通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問(wèn)題。
2. 過(guò)程與方法
讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進(jìn)行定理基本應(yīng)用的實(shí)踐操作。
3．情態(tài)與價(jià)值
培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問(wèn)題的運(yùn)算能力；培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，通過(guò)三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系來(lái)體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。
重點(diǎn)：正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。
教學(xué)難點(diǎn)：已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)。
學(xué)法：引導(dǎo)學(xué)生首先從直角三角形中揭示邊角關(guān)系： ，接著就一般斜三角形進(jìn)行探索，發(fā)現(xiàn)也有這一關(guān)系；分別利用傳統(tǒng)證法和向量證法對(duì)正弦定理進(jìn)行推導(dǎo)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)向量知識(shí)的簡(jiǎn)捷，新穎。
教學(xué)設(shè)想
[創(chuàng)設(shè)情景]
如圖1．1-1，固定 ABC的邊CB及 B，使邊AC繞著頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)。 A
思考： C的大小與它的對(duì)邊AB的長(zhǎng)度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？
顯然，邊AB的長(zhǎng)度隨著其對(duì)角 C的大小的增大而增大。能否
用一個(gè)等式把這種關(guān)系精確地表示出來(lái)？ B C
[探索研究] (圖1．1-1)
在初中，我們已學(xué)過(guò)如何解直角三角形，下面就首先來(lái)探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。如圖1．1-2，在Rt ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c, 根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有 ， ，又 ,
A
則 b c
從而在直角三角形ABC中， C a B
(圖1．1-2)
思考：那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？
（由學(xué)生討論、分析）
可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：
如圖1．1-3，當(dāng) ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD= ,則 ，
C
同理可得 ， b a
從而
A c B
(圖1．1-3)
思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長(zhǎng)問(wèn)題，從而可以考慮用向量來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題。
（證法二）：過(guò)點(diǎn)A作 ，
C
由向量的加法可得
則 A B
∴
∴ ，即
同理，過(guò)點(diǎn)C作 ，可得
從而
類似可推出，當(dāng) ABC是鈍角三角形時(shí)，以上關(guān)系式仍然成立。（由學(xué)生課后自己推導(dǎo)）從上面的研探過(guò)程，可得以下定理
正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即
[理解定理]:（1）正弦定理說(shuō)明同一三角形中，邊與其對(duì)角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使 ， ， ；
（2） 等價(jià)于 ， ，
從而知正弦定理的基本作用為：
①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如 ；
②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值。
一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過(guò)程叫作解三角形。
[例題分析]:
例1．在 中，已知 ， ， cm，解三角形。
解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理， ；
根據(jù)正弦定理， ；
根據(jù)正弦定理，
評(píng)述：對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器。
例2．在 中，已知 cm， cm， ，解三角形（角度精確到 ，邊長(zhǎng)精確到1cm）。
解：根據(jù)正弦定理，
因?yàn)?＜ ＜ ，所以 ，或
⑴ 當(dāng) 時(shí)， ，
⑵ 當(dāng) 時(shí)， ，
評(píng)述：應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，可能有兩解的情形。
[隨堂練習(xí)]第47頁(yè)練習(xí)1、2題。
例3．已知 ABC中， A ， ,求
分析：可通過(guò)設(shè)一參數(shù)k(k>0)使 ,
證明出
解：設(shè) 則有 ， ，
從而 = =
又 ，所以 =2
評(píng)述： ABC中，等式 恒成立。
[補(bǔ)充練習(xí)]已知 ABC中， ，求 （答案：1：2：3）
[課堂小結(jié)]（由學(xué)生歸納總結(jié)）
（1）定理的表示形式： ；
或 ， ，
（2）正弦定理的應(yīng)用范圍：①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；
②已知兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角。
（五）:①課后思考題：在 ABC中， ，這個(gè)k與 ABC有什么關(guān)系？
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