對(duì)稱問(wèn)題

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 高二 來(lái)源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)
高考要求
  1.掌握求已知曲線的軸對(duì)稱曲線和中心對(duì)稱曲線方程的方法:結(jié)合曲線對(duì)稱的定義,用求曲線方程的方法求對(duì)稱曲線的方程(歸結(jié)為點(diǎn)的對(duì)稱)
2.掌握判斷曲線關(guān)于幾種特殊直線對(duì)稱的方法:①y=x; ②x軸;③y軸
知識(shí)點(diǎn)歸納
1 點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的對(duì)稱中心恰是這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn),因此中心對(duì)稱的問(wèn)題是線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用問(wèn)題
設(shè)P(x0,y0),對(duì)稱中心為A(a,b),則P關(guān)于A的對(duì)稱點(diǎn)為P′(2a-x0,2b-y0)
2 點(diǎn)關(guān)于直線成軸對(duì)稱問(wèn)題
由軸對(duì)稱定義知,對(duì)稱軸即為兩對(duì)稱點(diǎn)連線的“垂直平分線” 利用“垂直”“平分”這兩個(gè)條件建立方程組,就可求出對(duì)頂點(diǎn)的坐標(biāo) 一般情形如下:
設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)關(guān)于直線y=kx+b的對(duì)稱點(diǎn)為P′(x′,y′),則有
,可求出x′、y′
特殊地,點(diǎn)P(x0,y0)關(guān)于直線x=a的對(duì)稱點(diǎn)為P′(2a-x0,y0);點(diǎn)P(x0,y0)關(guān)于直線y=b的對(duì)稱點(diǎn)為P′(x0,2b-y0)
3 曲線關(guān)于點(diǎn)、曲線關(guān)于直線的中心或軸對(duì)稱問(wèn)題:一般是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的中心對(duì)稱或軸對(duì)稱(這里既可選特殊點(diǎn),也可選任意點(diǎn)實(shí)施轉(zhuǎn)化) 一般結(jié)論如下:
(1)曲線f(x,y)=0關(guān)于已知點(diǎn)A(a,b)的對(duì)稱曲線的方程是f(2a-x,2b-y)=0
(2)曲線f(x,y)=0關(guān)于直線y=kx+b的對(duì)稱曲線的求法:
設(shè)曲線f(x,y)=0上任意一點(diǎn)為P(x0,y0),P點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+b的對(duì)稱點(diǎn)為P′(y,x),則由(2)知,P與P′的坐標(biāo)滿足
從中解出x0、y0,
代入已知曲線f(x,y)=0,應(yīng)有f(x0,y0)=0 利用坐標(biāo)代換法就可求出曲線f(x,y)=0關(guān)于直線y=kx+b的對(duì)稱曲線方程
4 兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱、兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的常見結(jié)論:
(1)點(diǎn)(x,y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x,-y);
(2)點(diǎn)(x,y)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(-x,y);
(3)點(diǎn)(x,y)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為(-x,-y);
(4)點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線x-y=0的對(duì)稱點(diǎn)為(y,x);
(5)點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線x+y=0的對(duì)稱點(diǎn)為(-y,-x)
題型講解
例1 求直線a:2x+y-4=0關(guān)于直線l:3x+4y-1=0對(duì)稱的直線b的方程
分析:由平面幾何知識(shí)可知若直線a、b關(guān)于直線l對(duì)稱,它們具有下列幾何性質(zhì):(1)若a、b相交,則l是a、b交角的平分線;(2)若點(diǎn)A在直線a上,那么A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B一定在直線b上,這時(shí)AB⊥l,并且AB的中點(diǎn)D在l上;(3)a以l為軸旋轉(zhuǎn)180°,一定與b重合 使用這些性質(zhì),可以找出直線b的方程 解此題的方法很多,總的來(lái)說(shuō)有兩類:一類是找出確定直線方程的兩個(gè)條件,選擇適當(dāng)?shù)闹本方程的形式,求出直線方程;另一類是直接由軌跡求方程
解:由 ,解得a與l的交點(diǎn)E(3,-2),E點(diǎn)也在b上
方法一:設(shè)直線b的斜率為k,
又知直線a的斜率為-2,直線l的斜率為-
則 =
解得k=-
代入點(diǎn)斜式得直線b的方程為
y-(-2)=- (x-3),
即2x+11y+16=0
方法二:在直線a:2x+y-4=0上找一點(diǎn)A(2,0),設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x0,y0),
由 解得B( ,- )
由兩點(diǎn)式得直線b的方程為
= ,
即2x+11y+16=0
方法三:設(shè)直線b上的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)關(guān)于l:3x+4y-1=0的對(duì)稱點(diǎn)Q(x0,y0),則有
解得x0= ,y0=
Q(x0,y0)在直線a:2x+y-4=0上,
則2× + -4=0,
化簡(jiǎn)得2x+11y+16=0是所求直線b的方程
方法四:設(shè)直線b上的動(dòng)點(diǎn)P(x,y),直線a上的點(diǎn)Q(x0,4-2x0),且P、Q兩點(diǎn)關(guān)于直線l:3x+4y-1=0對(duì)稱,則有

消去x0,得2x+11y+16=0或2x+y-4=0(舍)
點(diǎn)評(píng):本題體現(xiàn)了求直線方程的兩種不同的途徑,方法一與方法二,除了點(diǎn)E外,分別找出確定直線位置的另一個(gè)條件:斜率或另一個(gè)點(diǎn),然后用點(diǎn)斜式或兩點(diǎn)式求出方程,方法三與方法四是利用直線上動(dòng)點(diǎn)的幾何性質(zhì),直接由軌跡求方程,在使用這種方法時(shí),要注意區(qū)分動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)及參數(shù),本題綜合性較強(qiáng),只有對(duì)坐標(biāo)法有較深刻的理解,同時(shí)有較強(qiáng)的數(shù)形結(jié)合能力才能較好地完成此題
例2 光線從點(diǎn)A(-3,4)發(fā)出,經(jīng)過(guò)x軸反射,再經(jīng)過(guò)y軸反射,光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(-2,6),求射入y軸后的反射線的方程
分析:由物理中光學(xué)知識(shí)知,入射線和反射線關(guān)于法線對(duì)稱
解:∵A(-3,4)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A1(-3,-4)在經(jīng)x軸反射的光線上,
同樣A1(-3,-4)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A2(3,-4)在經(jīng)過(guò)射入y軸的反射線上,
∴k = =-2
故所求直線方程為y-6=-2(x+2),
即2x+y-2=0
點(diǎn)評(píng):注意知識(shí)間的相互聯(lián)系及學(xué)科間的相互滲透
例3 已知點(diǎn)M(3,5),在直線l:x-2y+2=0和y軸上各找一點(diǎn)P和Q,使△MPQ的周長(zhǎng)最小
分析:如下圖,作點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)M1,再作點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)M2,連結(jié)MM1、MM2,連線MM1、MM2與l及y軸交于P與Q兩點(diǎn),由軸對(duì)稱及平面幾何知識(shí),可知這樣得到的△MPQ的周長(zhǎng)最小
解:由點(diǎn)M(3,5)及直線l,可求得點(diǎn)M關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)M1(5,1) 同樣容易求得點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)M2(-3,5)
據(jù)M1及M2兩點(diǎn)可得到直線M1M2的方程為x+2y-7=0
令x=0,得到M1M2與y軸的交點(diǎn)Q(0, )
解方程組 得交點(diǎn)P( , )
故點(diǎn)P( , )、Q(0, )即為所求
點(diǎn)評(píng):恰當(dāng)?shù)乩闷矫鎺缀蔚闹R(shí)對(duì)解題能起到事半功倍的效果
例4 若拋物線 上總存在關(guān)于直線 的異于交點(diǎn)的兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn),試求實(shí)數(shù) 的取值范圍
解法一:(對(duì)稱曲線相交法)
曲線 關(guān)于直線 對(duì)稱的曲線方程為
如果拋物線 上總存在關(guān)于直線 對(duì)稱的兩點(diǎn),則兩曲線
與 必有不在直線 上的兩個(gè)不同的交點(diǎn)(如圖所示),從而可由:

∵   
∴ 
代入 得  有兩個(gè)不同的解,
∴ 
解法二:(對(duì)稱點(diǎn)法)
設(shè)拋物線 上存在異于于直線 的交點(diǎn)的點(diǎn) ,且 關(guān)于直線 的對(duì)稱點(diǎn) 也在拋物線 上

必有兩組解
(1)-(2)得
必有兩個(gè)不同解
∵ ,
∴ 有解
從而有 有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解
即 有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解

∵ ,

解法三:(點(diǎn)差法)
設(shè)拋物線 上以 為端點(diǎn)的弦關(guān)于直線 對(duì)稱,且以 為中點(diǎn)是拋物線 (即 )內(nèi)的點(diǎn)
從而有 

(1)-(2)得  
∴ 

從而有 
例5 試確定 的取值范圍,使得橢圓 上有不同兩點(diǎn)關(guān)于直線 對(duì)稱
解:設(shè)橢圓 上以 為端點(diǎn)的弦關(guān)于直線 對(duì)稱,且以 為中點(diǎn)是橢圓 內(nèi)的點(diǎn)
從而有 

(1)-(2)得  
∴ 

由 在直線 上
從而有 
小結(jié):
1 對(duì)稱問(wèn)題的核心是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的中心對(duì)稱和點(diǎn)關(guān)于直線的軸對(duì)稱,要充分利用轉(zhuǎn)化的思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為這兩類對(duì)稱中的一種加以處理
2 許多問(wèn)題都隱含著對(duì)稱性,要注意挖掘、充分利用對(duì)稱變換來(lái)解決,如角平分線、線段中垂線、光線反射等
3 對(duì)稱問(wèn)題除了用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及斜率關(guān)系來(lái)求以外,還可以用求軌跡的思想??代入法來(lái)求解
學(xué)生練習(xí)
1 已知點(diǎn)M(a,b)與N關(guān)于x軸對(duì)稱,點(diǎn)P與點(diǎn)N關(guān)于y軸對(duì)稱,點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為
A (a,b) B (b,a)C (-a,-b) D (-b,-a)
解析:N(a,-b),P(-a,-b),則Q(b,a).
答案:B
2 曲線y2=4x關(guān)于直線x=2對(duì)稱的曲線方程是
A y2=8-4x B y2=4x-8 C y2=16-4x D y2=4x-16
解:設(shè)曲線y2=4x關(guān)于直線x=2對(duì)稱的曲線為C,在曲線C上任取一點(diǎn)P(x,y),則P(x,y)關(guān)于直線x=2的對(duì)稱點(diǎn)為Q(4-x,y) 因?yàn)镼(4-x,y)在曲線y2=4x上,所以y2=4(4-x),即y2=16-4x
答案:C
3 已知直線l1:x+my+5=0和直線l2:x+ny+p=0,則l1、l2關(guān)于y軸對(duì)稱的充要條件是
A = B p=-5 C m=-n且p=-5 D =- 且p=-5
解析:直線l1關(guān)于y軸對(duì)稱的直線方程為(-x)+my+5=0,即x-my-5=0,與l2比較,∴m=-n且p=-5 反之亦驗(yàn)證成立
答案:C
4 點(diǎn)A(4,5)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為B(-2,7),則l的方程為______
解析:對(duì)稱軸是以兩對(duì)稱點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中垂線
答案:3x-y+3=0
5 設(shè)直線x+4y-5=0的傾斜角為θ,則它關(guān)于直線y-3=0對(duì)稱的直線的傾斜角是____________
答案:π-θ
6.一個(gè)以原點(diǎn)為圓心的圓與圓x2+y2+8x─4y=0關(guān)于直線l對(duì)稱,則直線l的方程是
答案:2x─y+5=0
7.直線y=3x─4關(guān)于點(diǎn)P(2,─1)對(duì)稱的直線l的方程是
答案:3x─y─10=0 用求方程的方法或幾何性質(zhì)(平行)均可
8.方程x2+y2+2ax─2ay=0所表示的圓的對(duì)稱軸方程為
答案:x+y=0提示:點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(─y,─x)關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱
9.如果直線ax─y+3=0與直線3x─y─b=0關(guān)于直線x─y+1=0對(duì)稱,則a= , b=
答案:1/3, 5 說(shuō)明:掌握k=±1時(shí),求對(duì)稱點(diǎn)的方法
10 已知圓C與圓 關(guān)于直線y=-x對(duì)稱,則圓C的方程為
A (x+1)2+y2=1 B x2+y2=1 C x2+(y+1)2=1 D x2+(y-1)2=1
解:由M(x,y)關(guān)于y=-x的對(duì)稱點(diǎn)為(-y,-x),即得x2+(y+1)2=1
答案:C
11 與直線x+2y-1=0關(guān)于點(diǎn)(1,-1)對(duì)稱的直線方程為
A 2x-y-5=0 B x+2y-3=0 C x+2y+3=0 D 2x-y-1=0
解:將x+2y-1=0中的x、y分別代以2-x,-2-y,得(2-x)+2(-2-y)-1=0,即x+2y+3=0 故選C
答案:C
12 兩直線y= x和x=1關(guān)于直線l對(duì)稱,直線l的方程是____________
解:l上的點(diǎn)為到兩直線y= x與x=1距離相等的點(diǎn)的集合,即 =|x-1|,化簡(jiǎn)得x+ y-2=0或3x- y-2=0
答案:x+ y-2=0或3x- y-2=0
13 直線2x-y-4=0上有一點(diǎn)P,它與兩定點(diǎn)A(4,-1)、B(3,4)的距離之差最大,則P點(diǎn)的坐標(biāo)是____________
解:易知A(4,-1)、B(3,4)在直線l:2x-y-4=0的兩側(cè) 作A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A1(0,1),當(dāng)A1、B、P共線時(shí)距離之差最大
答案:(5,6)
14 已知曲線C:y=─x2+x+2關(guān)于點(diǎn)(a,2a)對(duì)稱的曲線是C/,若C與C/有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),求a的取值范圍
解:曲線C/的方程為y=x2+(1─4a)x+(4a2+2a─2),聯(lián)立C與C/的方程并消去y得:x2─2ax+2a2+a─2=0, 由Δ>0得:─215.自點(diǎn)A(─3,3)發(fā)出的光線 射到x軸上,被x軸反射,其反射光線m所在直線與圓x2+y2─4x─4y+7=0相切,求光線 與m所在的直線的方程
解:圓C:(x─2)2+(y─2)2=1關(guān)于x軸的對(duì)稱圓C/的方程是(x─2)2+(y+2)2=1 設(shè)光線 所在的直線方程是y─3=k(x+3),依題意,它是圓C/的切線,從而點(diǎn)C/到直線 的距離為1,∴ =1,解得:k=─3/4或k=─4/3, ∴ 的方程是3x+4y─3=0或4x+3y+3=0,同理求過(guò)點(diǎn)A/(─3,─3)的圓C的切線方程,得m的方程為3x─4y─3=0或4x─3y+3=0
16.已知兩曲線y=─x2+4x─2與y2=x關(guān)于直線 對(duì)稱,求直線 的方程
解:拋物線y=─x2+4x─2的頂點(diǎn)坐標(biāo)P1(2,2),拋物線y2=x的頂點(diǎn)為Q(0,0),
∴直線 就是PQ的垂直平分線x+y─2=0
17 求函數(shù)y= + 的最小值
解:因?yàn)閥= + ,
所以函數(shù)y是x軸上的點(diǎn)P(x,0)與兩定點(diǎn)A(0,3)、B(4,3)距離之和 y的最小值就是PA+PB的最小值 由平面幾何知識(shí)可知,若A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A ′(0,-3),則PA+PB的最小值等于A′B,
即 =4 所以ymin=4
18 若拋物線y=2x2上的兩點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2)關(guān)于直線y=x+m對(duì)稱且x1x2=- ,求m的值
解:設(shè)直線AB的方程為y=-x+b,代入y=2x2得2x2+x-b=0,
∴x1+x2=- ,x1x2= =- ∴b=1,即AB的方程為y=-x+1
設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),則x0= =- ,代入y0=-x0+1,

本文來(lái)自:逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaoer/70950.html

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