3．2 簡單的三角恒等變換

【教學(xué)目標(biāo)】
會用已學(xué)公式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡、求值和證明，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)半角公式，積化和差、
和差化積公式（公式不要求記憶），使學(xué)生進(jìn)一步提高運(yùn)用轉(zhuǎn)化、換元、方程等數(shù)學(xué)思想解決問題的能力。
【教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)】
教學(xué)重點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生以已有公式為依據(jù)，以推導(dǎo)半角公式，積化和差、和差化積公式作為基本訓(xùn)練，學(xué)習(xí)三角變換的內(nèi)容、思路和方法，三角變換的特點(diǎn)，提高推理、運(yùn)算能力。
教學(xué)難點(diǎn)：認(rèn)識三角變換的特點(diǎn)，并能運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)變換過程的設(shè)計，不斷提高從整體上把握變換過程的能力。
【教學(xué)過程】
復(fù)習(xí)引入：復(fù)習(xí)倍角公式 、 、
先讓學(xué)生默寫三個倍角公式，注意等號兩邊角的關(guān)系，特別注意 。既然能用單角
表示倍角，那么能否用倍角表示單角呢？
半角公式的推導(dǎo)及理解 ：
例1、試以 表示 ．
解析：我們可以通過二倍角 和 做此題．（二倍角公式中以代2， 代）
解：因?yàn)?，可以得到 ；
因?yàn)?，可以得到 ．
兩式相除可以得到 ．
點(diǎn)評：⑴以上結(jié)果還可以表示為：

并稱之為半角公式（不要求記憶），符號由 角的象限決定。
⑵降倍升冪公式和降冪升倍公式被廣泛用于三角函數(shù)式的化簡、求值、證明。
⑶代數(shù)式變換往往著眼于式子結(jié)構(gòu)形式的變換，三角恒等變換常常首先尋找式子所包含的各個角之間的聯(lián)系，并以此為依據(jù)選擇可以聯(lián)系他們的適當(dāng)公式，這是三角式恒等變換的重要特點(diǎn)。
變式訓(xùn)練1：求證
積化和差、和差化積公式的推導(dǎo)（公式不要求記憶）：
例2：求證：
（１） ；
（２） ．
解析：回憶并寫出兩角和與兩角差的正余弦公式，觀察公式與所證式子的聯(lián)系。
證明：（１）因?yàn)?和 是我們所學(xué)習(xí)過的知識，因此我們從等式右邊著手．
； ．
兩式相加得 ；
即 ；
（２）由（１）得 ①；設(shè) ，
那么 ．
把 的值代入①式中得 ．
點(diǎn)評：在例２證明中用到了換元思想，（１）式是積化和差的形式，（２）式是和差化積的形式，在后面的練習(xí)當(dāng)中還有六個關(guān)于積化和差、和差化積的公式．
變式訓(xùn)練2：本p142 2（2）、3（3）
例３、求函數(shù) 的周期，最大值和最小值．
解析：利用三角恒等變換，先把函數(shù)式化簡，再求相應(yīng)的值。
解： ，
所以，所求的周期 ，最大值為２，最小值為 ．
點(diǎn)評：例３是三角恒等變換在數(shù)學(xué)中應(yīng)用的舉例，它使三角函數(shù)中對函數(shù) 的性質(zhì)研究得到延伸，體現(xiàn)了三角變換在化簡三角函數(shù)式中的作用．
變式訓(xùn)練3：本p142 4、（1）（2）（3）
探究：求y=asinx+bcosx的周期，最大值和最小值．
小結(jié)：我們要對三角恒等變換過程中體現(xiàn)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法加深認(rèn)識，學(xué)會靈活運(yùn)用．
作業(yè)布置：本p143 習(xí)題3.2 A組1、（1）（5） 3 、5

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