平面向量應(yīng)用舉例

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 高二 來源: 高中學習網(wǎng)
2.5平面向量應(yīng)用舉例

一、教材分析
向量概念有明確的物理背景和幾何背景,物理背景是力、速度、加速度等,幾何背景是有向線段,可以說向量概念是從物理背景、幾何背景中抽象而來的,正因為如此,運用向量可以解決一些物理和幾何問題,例如利用向量計算力沿某方向所做的功,利用向量解決平面內(nèi)兩條直線平行、垂直位置關(guān)系的判定等問題。
二、目標
1.通過應(yīng)用舉例,讓學生會用平面向量知識解決幾何問題的兩種方法-----向量法和坐
標法,可以用向量知識研究物理中的相關(guān)問題的“四環(huán)節(jié)” 和生活中的實際問題
2.通過本節(jié)的學習,讓學生體驗向量在解決幾何和物理問題中的工具作用,增強學生的
積極主動的探究意識,培養(yǎng)創(chuàng)新精神。
三、重點難點
重點:理解并能靈活運用向量加減法與向量數(shù)量積的法則解決幾何和物理問題.
難點:選擇適當?shù)姆椒,將幾何問題或者物理問題轉(zhuǎn)化為向量問題加以解決.
四、學情分析
在平面幾何中,平行四邊形是學生熟悉的重要的幾何圖形,而在物理中,受力分析則是其中最基本的基礎(chǔ)知識,那么在本節(jié)的學習中,借助這些對于學生來說,非常熟悉的內(nèi)容來講解向量在幾何與物理問題中的應(yīng)用。
五、教學方法
1.例題教學,要讓學生體會思路的形成過程,體會數(shù)學思想方法的應(yīng)用。
2.學案導(dǎo)學:見后面的學案
3.新授課教學基本環(huán)節(jié):預(yù)習檢查、總結(jié)疑惑→情境導(dǎo)入、展示目標→合作探究、精講點撥→反思總結(jié)、當堂檢測→發(fā)導(dǎo)學案、布置預(yù)習
六、課前準備
1.學生的學習準備:預(yù)習本節(jié)課本上的基本內(nèi)容,初步理解向量在平面幾何和物理中的
應(yīng)用
2.教師的教學準備:課前預(yù)習學案,課內(nèi)探究學案,課后延伸拓展學案。
七、課時安排:1課時
八、教學過程
(一)預(yù)習檢查、總結(jié)疑惑
檢查落實了學生的預(yù)習情況并了解了學生的疑惑,使教學具有了針對性。
(二)情景導(dǎo)入、展示目標
教師首先提問:(1)若O為 重心,則 + + =
(2)水渠橫斷面是四邊形 , = ,且 = ,則這個四邊形
為等腰梯形.類比幾何元素之間的關(guān)系,你會想到向量運算之間都有什么關(guān)系?
(3) 兩個人提一個旅行包,夾角越大越費力.為什么?
教師:本節(jié)主要研究了用向量知識解決平面幾何和物理問題;掌握向量法和坐標法,以及用向量解決平面幾何和物理問題的步驟,已經(jīng)布置學生們課前預(yù)習了這部分,檢查學生預(yù)習情況并讓學生把預(yù)習過程中的疑惑說出來。
(設(shè)計意圖:步步導(dǎo)入,吸引學生的注意力,明確學習目標。)
(三)合作探究、精講點撥。
探究一:(1)向量運算與幾何中的結(jié)論"若 ,則 ,且 所在直線平行或重合"相類比,你有什么體會?(2)由學生舉出幾個具有線性運算的幾何實例.
教師:平移、全等、相似、長度、夾角等幾何性質(zhì)可以由向量線性運算及數(shù)量積表示出來: 例如,向量數(shù)量積對應(yīng)著幾何中的長度.如圖: 平行四邊行 中,設(shè) = , = ,則 (平移), , (長度).向量 , 的夾角為 .因此,可用向量方法解決平面幾何中的一些問題。通過向量運算研究幾何運算之間的關(guān)系,如距離、夾角等.把運算結(jié)果"翻譯"成幾何關(guān)系.本節(jié)課,我們就通過幾個具體實例,來說明向量方法在平面幾何中的運用
例1.證明:平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和.
已知:平行四邊形ABCD.
求證: .
分析:用向量方法解決涉及長度、夾角的問題時,我們常常要考慮向量的數(shù)量積.注意到 , ,我們計算 和 .
證明:不妨設(shè) a, b,則
a+b, a-b, a2, b2.
得 ( a+b)?( a+b)
= a?a+ a?b+b?a+b?b= a2+2a?b+b2. ①
同理    a2-2a?b+b2. ②
①+②得 2(a2+b2)=2( ).
所以,平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和.
師:你能用幾何方法解決這個問題嗎?
讓學生體會幾何方法與向量方法的區(qū)別與難易情況。
師:由于向量能夠運算,因此它在解決某些幾何問題時具有優(yōu)越性,他把一個思辨過程變成了一個算法過程,可以按照一定的程序進行運算操作,從而降低了思考問題的難度.
用向量方法解決平面幾何問題,主要是下面三個步驟,
⑴建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;
⑵通過向量運算,研究幾何元素之間的關(guān)系,如距離、夾角等問題;
⑶把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.
變式訓(xùn)練: 中,D、E、F分別是AB、BC、CA的中點,BF與CD交于點O,設(shè) (1)證明A、O、E三點共線;(2)用 表示向量 。
例2,如圖,平行四邊形ABCD中,點E、F分別是AD、DC邊的中點,BE、BF分別與AC交于R、T兩點,你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎?
分析:由于R、T是對角線AC上兩點,所以要判斷AR、RT、TC之間的關(guān)系,只需要分別判斷AR、RT、TC與AC之間的關(guān)系即可.
解:設(shè) a, b,則 a+b.
由  與 共線,因此。存在實數(shù)m,使得 =m(a+b).
又 由 與 共線
因此  存在實數(shù)n,使得 =n = n( b- a).
由 = n ,得m(a+b)= a+ n( b- a).
整理得       a+ b=0.
由于向量a、b不共線,所以有  ,解得 .
所以            .
同理            .
于是            .
所以           AR=RT=TC.
說明:本例通過向量之間的關(guān)系闡述了平面幾何中的方法,待定系數(shù)法使用向量方法證明平面幾何問題的常用方法.
探究二:(1)兩個人提一個旅行包,夾角越大越費力.
(2)在單杠上做引體向上運動,兩臂夾角越小越省力. 這些問題是為什么?
師:向量在物理中的應(yīng)用,實際上就是把物理問題轉(zhuǎn)化為向量問題,然后通過向量運算解決向量問題,最后再用所獲得的結(jié)果解釋物理現(xiàn)象.
例3.在日常生活中,你是否有這樣的經(jīng)驗:兩個人共提一個旅行包,夾角越大越費力;在單杠上作引體向上運動,兩臂的夾角越小越省力.你能從數(shù)學的角度解釋這種現(xiàn)象嗎?
分析:上面的問題可以抽象為如右圖所示的數(shù)學模型.只要分析清楚F、G、 三者之間的關(guān)系(其中F為F1、F2的合力),就得到了問題的數(shù)學解釋.
解:不妨設(shè)F1=F2, 由向量加法的平行四邊形法則,理的平衡原理以及直角三角形的指示,可以得到
F1= .
通過上面的式子我們發(fā)現(xiàn),當 由 逐漸變大時, 由 逐漸變大, 的值由大逐漸變小,因此,F(xiàn)1有小逐漸變大,即F1、F2之間的夾角越大越費力,夾角越小越省力.
師:請同學們結(jié)合剛才這個問題,思考下面的問題:
⑴ 為何值時,F(xiàn)1最小,最小值是多少?
⑵F1能等于G嗎?為什么?
例4如圖,一條河的兩岸平行,河的寬度 m,一艘船從A處出發(fā)到河對岸.已知船的速度v1=10km/h,水流的速度v2=2km/h,問行駛航程最短時,所用的時間是多少(精確到0.1min)?
分析:如果水是靜止的,則船只要取垂直于對岸的方向行駛,就能使行駛航程最短,所用時間最短.考慮到水的流速,要使船的行駛航程最短,那么船的速度與水流速度的合速度v必須垂直于對岸.(用《幾何畫板》演示水流速度對船的實際航行的影響)
解: = (km/h),
所以, (min).
答:行駛航程最短時,所用的時間是3.1 min.
本例關(guān)鍵在于對“行駛最短航程”的意義的解釋,即“分析”中給出的穿必須垂直于河岸行駛,這是船的速度與水流速度的合速度應(yīng)當垂直于河岸,分析清楚這種關(guān)系侯,本例就容易解決了。
變式訓(xùn)練:兩個粒子A、B從同一源發(fā)射出來,在某一時刻,它們的位移分別為 ,(1)寫出此時粒子B相對粒子A的位移s;(2)計算s在 方向上的投影。
九、板書設(shè)計
§2.5 平面向量應(yīng)用舉例
例⒈   用向量法解平面幾何 例2 變式訓(xùn)練
問題的“三步曲”
例3. 例4
變式訓(xùn)練
十、教學反思
本小節(jié)主要是例題教學,要讓學生體會思路的形成過程,體會數(shù)學思想方法的應(yīng)用。教學中,教師創(chuàng)設(shè)問題情境,引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)解題方法,展示思路的形成過程,總結(jié)解題規(guī)律。指導(dǎo)學生搞好解題后的反思,從而提高學生綜合應(yīng)用知識分析和解決問題的能力.
十一、學案設(shè)計(見下頁)

2.5平面向量應(yīng)用舉例

課前預(yù)習學案
一、預(yù)習目標
預(yù)習《平面向量應(yīng)用舉例》,體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具,建立實際問題與向量的聯(lián)系。
二、預(yù)習內(nèi)容
閱讀課本內(nèi)容,整理例題,結(jié)合向量的運算,解決實際的幾何問題、物理問題。另外,在思考一下幾個問題:
1.例1如果不用向量的方法,還有其他證明方法嗎?
2.利用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”是什么?
3. 例3中,⑴ 為何值時,F(xiàn)1最小,最小值是多少?
⑵F1能等于G嗎?為什么?
三、提出疑惑
同學們,通過你的自主學習,你還有哪些疑惑,請把它填在下面的表格中
疑惑點疑惑內(nèi)容


課內(nèi)探究學案
一、學習內(nèi)容
1.運用向量的有關(guān)知識(向量加減法與向量數(shù)量積的運算法則等)解決平面幾何和解析
幾何中直線或線段的平行、垂直、相等、夾角和距離等問題.
2.運用向量的有關(guān)知識解決簡單的物理問題.
二、學習過程
探究一:(1)向量運算與幾何中的結(jié)論"若 ,則 ,且 所在直線平行或重合"相類比,你有什么體會?

(2)舉出幾個具有線性運算的幾何實例.

例1.證明:平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和.
已知:平行四邊形ABCD.
求證: .

試用幾何方法解決這個問題
利用向量的方法解決平面幾何問題的“三步曲”?
(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系,
(2)通過向量運算,研究幾何元素之間的關(guān)系,
(3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。
變式訓(xùn)練: 中,D、E、F分別是AB、BC、CA的中點,BF與CD交于點O,設(shè)
(1)證明A、O、E三點共線;
(2)用 表示向量 。

例2,如圖,平行四邊形ABCD中,點E、F分別是AD、DC邊的
中點,BE、BF分別與AC交于R、T兩點,你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎?

探究二:兩個人提一個旅行包,夾角越大越費力.在單杠上做引體向上運動,兩臂夾角越小越省力. 這些力的問題是怎么回事?

例3.在日常生活中,你是否有這樣的經(jīng)驗:兩個人共提一個旅行包,夾角越大越費力;在單杠上作引體向上運動,兩臂的夾角越小越省力.你能從數(shù)學的角度解釋這種現(xiàn)象嗎?

請同學們結(jié)合剛才這個問題,思考下面的問題:
⑴ 為何值時,F(xiàn)1最小,最小值是多少?
⑵F1能等于G嗎?為什么?

例4如圖,一條河的兩岸平行,河的寬度 m,一艘船從A處出發(fā)到河對岸.已知船的速度v1=10km/h,水流的速度v2=2km/h,問行駛航程最短時,所用的時間是多少(精確到0.1min)?

變式訓(xùn)練:兩個粒子A、B從同一源發(fā)射出來,在某一時刻,它們的位移分別為
,(1)寫出此時粒子B相對粒子A的位移s; (2)計算s在 方向上的投影。

三、反思總結(jié)
結(jié)合圖形特點,選定正交基底,用坐標表示向量進行運算解決幾何問題,體現(xiàn)幾何問題
代數(shù)化的特點,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想體現(xiàn)的淋漓盡致。向量作為橋梁工具使得運算簡練標致,又體現(xiàn)了數(shù)學的美。有關(guān)長方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等問題常用此法。
本節(jié)主要研究了用向量知識解決平面幾何問題和物理問題;掌握向量法和坐標法,以及用向量解決實際問題的步驟。
四、當堂檢測
1.已知 ,求邊長c。
2.在平行四邊形ABCD中,已知AD=1,AB=2,對角線BD=2,求對角線AC的長。
3.在平面上的三個力 作用于一點且處于平衡狀態(tài), 的夾角為 ,求:(1) 的大。唬2) 與 夾角的大小。

課后練習與提高
一、選擇題
1.給出下面四個結(jié)論:
①若線段AC=AB+BC,則向量 ;
②若向量 ,則線段AC=AB+BC;
③若向量 與 共線,則線段AC=AB+BC;
④若向量 與 反向共線,則 .
其中正確的結(jié)論有 ( )
A. 0個 B.1個 C.2個 D.3個
2.河水的流速為2 ,一艘小船想以垂直于河岸方向10 的速度駛向?qū)Π,則小
船的靜止速度大小為 ( )
A.10 B. C. D.12
3.在 中,若 =0,則 為 ( )
A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.無法確定
二、填空題
4.已知 兩邊的向量 ,則BC邊上的中線向量 用 、 表示為
5.已知 ,則 、 、 兩兩夾角是

課后練習答案

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