最小二乘估計(jì)

教學(xué)目標(biāo)：1、掌握最小二乘法的思想
2、能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程
教學(xué)重點(diǎn)：最小二乘法的思想
教學(xué)難點(diǎn)：線性回歸方程系數(shù)公式的應(yīng)用
教學(xué)過(guò)程
回顧：上節(jié)我們討論了人的身高與右手一?長(zhǎng)之間的線性關(guān)系，用了很多種方法刻畫(huà)這種線性關(guān)系，但是這些方法都缺少數(shù)學(xué)思想依據(jù)。
問(wèn)題1、用什么樣的線性關(guān)系刻畫(huà)會(huì)更好一些？
想法：保證這條直線與所有點(diǎn)都近（也就是距離最�。�。
最小二乘法就是基于這種想法。
問(wèn)題2、用什么樣的方法刻畫(huà)點(diǎn)與直線的距離會(huì)方便有效？
設(shè)直線方程為y=a+bx，樣本點(diǎn)A（xi，yi）
方法一、點(diǎn)到直線的距離公式

方法二、

顯然方法二能有效地表示點(diǎn)A與直線y=a+bx的距離，而且比方法一更方便計(jì)算，所以我們用它表示二者之間的接近程度。
問(wèn)題3、怎樣刻畫(huà)多個(gè)點(diǎn)與直線的接近程度？
例如有5個(gè)樣本點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）與直線y=a+bx的接近程度：
從而我們可以推廣到n個(gè)樣本點(diǎn)：（x1，y1），（x2，y2），…（xn，yn）與直線y=a+bx的接近程度：

使得上式達(dá)到最小值的直線y=a+bx就是我們所要求的直線，這種方法稱(chēng)為最小二乘法
問(wèn)題4、怎樣使 達(dá)到最小值？
先討論3個(gè)樣本點(diǎn)的情況
設(shè)有3個(gè)點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），則由最小二乘法可知直線y=a+bx與這3個(gè)點(diǎn)的接近程度由下面表達(dá)式刻畫(huà)：
…………………①
整理成為關(guān)于a的一元二次函數(shù) ，如下所示：

利用配方法可得

從而當(dāng) 時(shí)，使得函數(shù) 達(dá)到最小值。
將 代入①式，整理成為關(guān)于b的一元二次函數(shù) ，



同樣使用配方法可以得到，當(dāng)

時(shí)，使得函數(shù) 達(dá)到最小值。
從而得到直線y=a+bx的系數(shù)a，b，且稱(chēng)直線y=a+bx為這3個(gè)樣本點(diǎn)的線性回歸方程。
用同樣的方法我們可以推導(dǎo)出n個(gè)點(diǎn)的線性回歸方程的系數(shù)：


其中
由 我們知道線性回歸直線y=a+bx一定過(guò) 。
例題與練習(xí)
例1 在上一節(jié)練習(xí)中，從散點(diǎn)圖可以看出，某小賣(mài)部6天賣(mài)出熱茶的杯數(shù)（y）與當(dāng)天氣溫（x）之間是線性相關(guān)的。數(shù)據(jù)如下表
氣溫（xi）／oC261813104-1
杯數(shù)（yi）／杯202434385064
（１）試用最小二乘法求出線性回歸方程。
（２）如果某天的氣溫是－3 oC，請(qǐng)預(yù)測(cè)可能會(huì)賣(mài)出熱茶多少杯。
解：（1）先畫(huà)出其散點(diǎn)圖

ixiyixi2xiyi
12620676520
21824324432
31334169442
41038100380
545016200
6－1641－64
合計(jì)7023012861910
可以求得
則線性回歸方程為
y =57.557－1.648x
（2）當(dāng)某天的氣溫是－3 oC時(shí)，賣(mài)出熱茶的杯數(shù)估計(jì)為：

練習(xí)1 已知x，y之間的一組數(shù)據(jù)如下表，則y與x的線性回歸方程y=a+bx必經(jīng)過(guò)點(diǎn) ( D )
x0123
y1357

（A）（2，2） （B）（1.5，0） （C）（1，2） （D）（1.5，4）

練習(xí)2 某連鎖經(jīng)營(yíng)公司所屬5個(gè)零售店某月的銷(xiāo)售額和利潤(rùn)額資料如下表：
商店名稱(chēng)ABCDE
銷(xiāo)售額（x）/千萬(wàn)元35679
利潤(rùn)額（y）/百萬(wàn)元23345
（１）畫(huà)出銷(xiāo)售額和利潤(rùn)額的散點(diǎn)圖；
（２）若銷(xiāo)售額和利潤(rùn)額具有相關(guān)關(guān)系，計(jì)算利潤(rùn)額y對(duì)銷(xiāo)售額x的回歸直線方程。

解：（1）

（2）數(shù)據(jù)如下表：
ixiyixi2xiyi
13296
2532515
3633618
4744928
5958145
合計(jì)3017200112
可以求得b=0.5，a=0.4
線性回歸方程為：
小結(jié)
1、最小二乘法的思想
2、線性回歸方程的系數(shù)：

作業(yè)：P60 習(xí)題1－8 第1題

本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaoer/34696.html

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