空間向量及其運算

●考試目標(biāo) 主詞填空
1.空間向量基本定理及應(yīng)用
空間向量基本定理：如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p存在惟一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z,使p=x a+ y b+ z c.
2.向量的直角坐標(biāo)運算：
設(shè)a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3),
A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2).
則a+b= .
a-b= .
a•b= .
若a、b為兩非零向量，則a⊥b a•b=0 =0.
?
●題型示例 點津歸納
【例1】已知空間四邊形OABC中，∠AOB=∠BOC=
∠AOC,且OA=OB=OC.，N分別是OA，BC的中點，G是
N的中點.
求證：OG⊥BC.
【解前點津】 要證OG⊥BC，只須證明 即可.
而要證 ,必須把 、 用一組已知的空間基向量表示.又已知條為∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC，因此可選 為已知的基向量.
【規(guī)范解答】 連ON由線段中點公式得：

又 ,
所以 )
= ( ).
因為 .

且 ，∠AOB=∠AOC.
所以 =0,即OG⊥BC.
【解后歸納】 本題考查應(yīng)用平面向量、空間向量和平面幾何知識證線線垂直的能力.

【例2】 在棱長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，求：異面直線BA1與AC所成的角.
【解前點津】 利用 ，求出向量 與 的夾角〈 , 〉，再根據(jù)異面直線BA1，AC所成角的范圍確定異面直線所成角.
【規(guī)范解答】 因為 ,
所以
=
因為AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC， 例2圖
所以 =0,
=-a2.
所以 =-a2.
又

所以〈 〉=120°.
所以異面直線BA1與AC所成的角為60°．
【解后歸納】 求異面直線所成角的關(guān)鍵是求異面直線上兩向量的數(shù)量積，而要求兩向量的數(shù)量積，必須會把所求向量用空間的一組基向量表示.
【例3】 如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分
別是BB1、DC的中點.
(1)求AE與D1F所成的角；
(2)證明AE⊥平面A1D1F.
【解前點津】 設(shè)已知正方體的棱長為1，且 =e1，
=e2， =e3，以e1，e2,e3為坐標(biāo)向量，建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz,
則：(1)A(1，0，0)，E(1，1， )，F(xiàn)(0， ，0)，D1(0，0，1)，
所以 =(0,1, ), =(0, ,-1).
所以 • =(0,1 ),•(0, ,-1)=0.
所以 ⊥ ，即AE與D1F所成的角為90°．
(2)又 =(1,0,0)= ，
且 • =(1,0,0)•(0,1, )=0.
所以 AE⊥D1A1，由(1)知AE⊥D1F，且D1A1∩D1F=D1.
所以AE⊥平面A1D1F.
【解后歸納】本題考查應(yīng)用空間向量的坐標(biāo)運算求異面直線所成的角和證線面垂直的方法.
【例4】 證明：四面體中連接對棱中點的三條直線交于一點且互相平分(此點稱為四面體的重心).
【規(guī)范解答】∵E,G分別為AB,AC的中點,
∴EG ,同理HF ，∴EG HF .
從而四邊形EGFH為平行四邊形，故其對角線EF,
GH相交于一點O,且O為它們的中點,連接OP,OQ.
只要能證明向量 =- 就可以說明P,O,Q三點共線且O
為PQ的中點,事實上, ,而O為GH的中點, 例4圖
∴ CD,QH CD,
∴
∴= =0.
∴ =,∴PQ經(jīng)過O點,且O為PQ的中點.
【解后歸納】本例要證明三條直線相交于一點O,我們采用的方法是先證明兩條直線相交于一點,然后證明 兩向量共線,從而說明P、O、Q三點共線進(jìn)而說明PQ直線過O點.

●對應(yīng)訓(xùn)練 分階提升
一、基礎(chǔ)夯實
1.在下列條中,使與A、B、C一定共面的是( )
A. B.
C. D.
2.與向量a=(12,5)平行的單位向量是( )
A. B.
C. D.
3.若向量｛a， b，c｝是空間的一個基底，向量m＝a+b，n＝a-b，那么可以與m、n構(gòu)成空間另一個基底的向量是( )?
A.a B.b ? C. c D.2a?
4. a、b是非零向量，則〈a，b〉的范圍是 ( )?
A.(0， ) B.［0， ］? C.(0，π)? D.［0，π］?
5.若a與b是垂直的，則a•b的值是( )?
A.大于0 B.等于零? ?C.小于0 D.不能確定
6.向量a＝(1，2，-2)，b＝(-2，-4，4)，則a與b( )
A.相交 B.垂直? C.平行 ?D.以上都不對
7. A(1，1，-2)、B(1，1，1)，則線段AB的長度是( )?
?A.1 ?B.2 ? C.3 ?D.4
8. m＝｛8，3，a｝，n＝｛2b,6,5｝，若m∥n，則a+b的值為( )
?A.0 ? B. C. D.8
9. a＝｛1,5,-2｝，b＝｛m,2,m+2｝，若a⊥b，則m的值為( )?
?A.0 ?B.6 ?C.-6 ?D.±6
10. A(2，-4，-1)，B(-1，5，1)，C(3，-4，1)，令a＝ ，b＝ ，則a+b對應(yīng)的點為( )
?A.(5，-9，2) B.(-5，9，-2) ?C.(5，9，-2) D.(5，-9，2)
11. a＝(2，-2，-3)，b＝(2,0,4)，則a與b的夾角為( )
?A.arc cos ? B. ? C. D.90°
12.若非零向量a＝｛x1，y1，z1｝，b＝｛x2，y２，z2｝,則 是a與b同向或反向的( )
?A.充分不必要條 B.必要非充分條?
?C.充要條 D.不充分不必要條

二、思維激活
13.已知向量a, b, c滿足a+b+c=0,a=3, b=1, c=4.則ab+bc+ca= .?
14.已知a＝2 ，b＝ ，ab＝- ，則a、b所夾的角為 .
15.已知空間三點A、B、C坐標(biāo)分別為(0，0，2)，(2，2，0)，(-2，-4，-2)，點P在xOy平面上且PA⊥AB，PA⊥AC，則P點坐標(biāo)為 .
16.已知a＝｛8,-1,4｝，b＝｛2,2,1｝，則以a、b為鄰邊的平行四邊形的面積為 .

三、能力提高
17.已知線段AB在平面α內(nèi)，線段AC⊥α，線段BD⊥AB，且與α所成的角是30°，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D之間的距離.

18.長方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別為AB、B1C1中點，若AB＝BC＝2，AA1＝4，試用向量法求：
(1) 的夾角的大小.
(2)直線A1E與FC所夾角的大小.

19.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別為BB1、DC的中點，求證：D1F⊥平面ADE.

20.如圖所示,已知 ABCD,O是平面AC外的一點, ,求證:A1,B1,C1,D1四點共面.

空間向量及其運算習(xí)題解答

1.C 由向量共線定義知.?
2.C 設(shè)此向量為(x,y),∴ ，?∴
3.C
4.D 根據(jù)兩向量所成的角的定義知選D.
5. B 當(dāng)a⊥b時，a•b=0(cos 〈a, b〉=0)?
6.C a=(1,2,-2)=- •b ∴a∥b.
7.C AB= =3.?
8.C ∵m∥n,故(8,3,a)=k(2b,6,5)，?∴8=2bk,3=6k,a=5k，?
∴k= 故a= ,b=8,∴a+b= +8=
9.B ∵a⊥b ∴1•m+5•2-2(m+2)=0. ∴m=6.
10.B =(-1,0,-2), =(-4,9,0)，∴a+b=(-5,9,-2).
11.C cos(a•b)= =- .
12.A?若 ，則a與b同向或反向，反之不成立.
13.-13 ∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0,?
∴ab+bc+ca=- (a2+b2+c2)=- (9+1+16)=-13.
14. ?cos〈a, b〉= .∴a,b所夾的角為 .
15.(-8,6,0) 由向量的數(shù)量的積求得.
16.9 S=absin〈a, b〉求得.
17.如圖，由AC⊥α，知AC⊥AB.?
過D作DD′⊥α，D′為垂足，則∠DBD′＝30°，
〈 〉＝１２０°，
∴CD2=
＝
＝b2+a2+b2+2b2cos120°＝a2+b2.
∴CD＝
點評：本題把線段轉(zhuǎn)化成向量表示，然后利用向量進(jìn)行運算.
18.如圖，建立空間坐標(biāo)系，則D(0，0，0)、A(2，0，0)，B(2，2，0)
、C(0，2，0)、A1(2，0，4)、B1(2，2，4)、C1(0，2，4).
由題設(shè)可知E(2，1，0)，F(xiàn)(1，2，4).
(1)令 的夾角為θ，?
則cosθ＝ .
∴ 的夾角為π-arccos .
(2)∴直線A1E與FC的夾角為arccos
19.如圖所示，不妨設(shè)正方體的棱長為1，且設(shè) ＝i， ＝j(luò)， ＝k，
以i、j、k的坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz，
則 ＝（－１，0，０）， ＝(0, ,-1)，?
• ＝(-1，0，0)•(0， ，-1)＝0，∴AD⊥D1F.
又 ＝(0，1， )， ＝(0， ，-1)，
∴ • ＝(0，1， )•(0， ，-1)＝ - ＝0.
∴AE⊥D1F，又AE∩AD＝A， ∴D1F⊥平面ADE.
點評：利用向量法解決立體幾何問題，首先必須建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.
20.證明：∵
=2
=
∴A1,B1,C1,D1四點共面.

本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaoer/50633.html

相關(guān)閱讀：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角