4.1.1 定積分的背景——面積和路程問題

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 高二 來源: 高中學習網(wǎng)
定積分的背景——面積和路程問題
過程:
一、問題引入
師:1.求下圖中陰影部分的面積:

師:對于哪些圖形的面積,大家會求呢?(學生回憶,回答)
師:對于 , , , 圍成的圖形(曲邊三角形)的面積如何來求呢?(一問激起千層浪,開門見山,讓學生明確本節(jié)課的所要學習的內(nèi)容,對于學生未知的東西,學生往往比較好奇,激發(fā)他們的求知欲)今天我們一起來探究這種曲邊圖形的面積的求法。
二、學生活動與意義建構(gòu)
1、讓學生自己探求,討論(3—4分鐘)
2、讓學生說出自己的想法
希望學生說出以 的面積近似代替曲邊三角形的面積,但誤差很大,如何減小誤差呢?希望學生討論得出將曲邊三角形進行分割,形成若干個曲邊梯形。(在討論的過程中滲透分割的思想)
師:如何計算每個曲邊梯形的面積呢?(通過討論希望學生能出以下三種方案,在討論的過程中,讓學生想到以直代曲,給學生創(chuàng)新的機會)


方案一 方案二 方案三

方案一:用一個矩形的面積近似代替曲邊梯形的面積,梯形分割的越多,三角形的面積越小,小矩形的面積就可以近視代替曲邊梯形的面積。
方案二:用一個大矩形的面積來近似代替曲邊梯形的面積,梯形分割的越多,三角形的面積越小,大矩形的面積來近似代替曲邊梯形的面積。
方案三:以梯形的面積來近似代替曲邊梯形的面積。
(對于其中的任意一個曲邊梯形,我們可以用“直邊”來代替“曲邊”(即在很小的范圍內(nèi)以直代曲),這三種方案是本節(jié)課內(nèi)容的核心,故多花點時間引導學生探求,討論得出,讓學生體會“以曲代直”的思想,從近似中認識精確,給學生探求的機會)
師:這樣,我們就可以計算出任意一個小曲邊梯形的面積的近似值,從而可以計算出整個曲邊三角形面積的近似值,(求和),并且分割越細,面積的近似值就越精確,當分割無限變細時,這個近似值就無限逼近所求的曲邊三角形的面積。如何求這個曲邊三角形的面積,以方案一為例:
⑴分割細化
將區(qū)間 等分成 個小區(qū)間 , ,…, ,…, ,每個區(qū)間的長度為 (學生回答),過各個區(qū)間端點作 軸的垂線,從而得到 個小曲邊梯形,它們的面積分別記作 , ,…, ,…, 。
⑵以直代曲
對區(qū)間 上的小曲邊梯形,以區(qū)間左端點 對應的函數(shù)值 為一邊的長,以 為鄰邊的長的小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積。即
(當分割很細時,在 上任一點的函數(shù)值作為矩形的一邊長都可以,常取左右端點或中點,這樣為以后定積分的定義埋下了伏筆,為學生的解題提供了方法)
⑶作和
因為每個小矩形的面積是相應的小曲邊梯形面積的近似值,所以 個小矩形面積之和就是所求曲邊三角形面積 的近似值:

(復習 符號的運用)


⑷逼近
當分割無限變細時,即 無限趨近于 ( 趨向于 )

當 趨向 時, 無限趨近于 , 無限趨近于 ,故上式的結(jié)果無限趨近于 , ,即所求曲邊三角形面積是 。(在逼近的過程中,難點是求 在此應給學生一些時間探求自然數(shù)的平方和,
最好在講數(shù)列知識時補充進去。新教材有很多知識點前后順序編排的有所不妥,有好多知識應該先有伏筆,而不是要用到什么就補充什么,在研究解析幾何中直線部分時,這個問題也有所體現(xiàn))
3、分成兩組,分別以方案二、方案三按上述四個步驟重新計算曲邊三角形的面積,并將操作過程和計算結(jié)果與方案一進行比較。
(設計的目的是培養(yǎng)學生的合作交流的能力,優(yōu)化解題方案)
師:請用流程圖表示求曲邊三角形面積的過程

4、反思
在求曲邊梯形面積過程中,你認為最讓你感到困難的是什么?(如何分割,求和逼近是兩大難點)
(在新課程的課堂過程中,經(jīng)常性地問學生一些這樣的問題,可以讓學生對自己的學習過程起到一個自查作用,查漏補缺,對培養(yǎng)學生學習數(shù)學的自查意識是一個很好的途徑,也可以活躍課堂氣氛)
三、數(shù)學應用
1、典型例題
師:在方案一中,和式 (*)表示曲邊梯形的面積的近似值,這一和式不僅是有直觀的幾何意義,還有豐富的實際背景。
例1:火箭發(fā)射后 的速度為 (單位 ),假定 ,對函數(shù) 按(*)式所作的和具有怎樣的意義?
解:將區(qū)間 等分成 個小區(qū)間,每個小區(qū)間的長度為 ,在每個小區(qū)間上取一點,依次為 ,雖然火箭的速度不是常數(shù),但在一個小區(qū)間內(nèi)其變化很小,可以用 來代替火箭在第一個小區(qū)間上的速度,這樣,
火箭在第一個時段內(nèi)運行的路程
同理 火箭在第二個時段內(nèi)運行的路程
從而
火箭在 內(nèi)運行的路程總和
這就是函數(shù) 在時間區(qū)間 上按(*)式所作的和的實際背景。
(由于學生初次遇到這類問題,語言表達比較困難,故教師在教學過程中最好采用對話式教學,邊說邊寫,規(guī)范板書)
例2:如圖,有兩個點電荷 、 ,電量分別為 、 ,固定電荷 將電荷 從距 為 處移到距 為 處,求庫侖力對電荷 所做的功。

先分析,再讓學生嘗試書寫,然后投影解題過程。
(設計兩道例題的目的,一是培養(yǎng)學生的文字表達能力,二是讓學生體會數(shù)學在物理上的應用,也為后面的定積分的物理意義變力所做的功,變速運動的位移埋下伏筆)
學生練習:課本P46練習
四、回顧反思
知識點:⑴求曲邊梯形面積的四個步驟;⑵數(shù)學知識在物理上的應用。
反思消化:⑴對今天學習的內(nèi)容,你覺得有什么困難?
⑵在以前的學習過程中,有哪些地方用到了與今天類似的方法?
(希望學生能回憶起初中圓的周長、高中球的表面積以及線性回歸方程等類似的內(nèi)容)
五、布置作業(yè):
1、探究:有沒有不同于方案一、方案二、方案三的以直代曲的方案?
2、課課練P41 1. 2
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