4.2 微積分基本定理

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 高二 來(lái)源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)
4.2 微積分基本定理
過(guò)程:
1、復(fù)習(xí):
定積分的概念及用定義計(jì)算
2、引入新課
我們講過(guò)用定積分定義計(jì)算定積分,但其計(jì)算過(guò)程比較復(fù)雜,所以不是求定積分的一般方法。我們必須尋求計(jì)算定積分的新方法,也是比較一般的方法。
變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系
設(shè)一物體沿直線作變速運(yùn)動(dòng),在時(shí)刻t時(shí)物體所在位置為S(t),速度為v(t)( ),
則物體在時(shí)間間隔 內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程可用速度函數(shù)表示為 。
另一方面,這段路程還可以通過(guò)位置函數(shù)S(t)在 上的增量 來(lái)表達(dá),即
=

而 。
對(duì)于一般函數(shù) ,設(shè) ,是否也有

若上式成立,我們就找到了用 的原函數(shù)(即滿足 )的數(shù)值差 來(lái)計(jì)算 在 上的定積分的方法。
注:1:定理 如果函數(shù) 是 上的連續(xù)函數(shù) 的任意一個(gè)原函數(shù),則

證明:因?yàn)?= 與 都是 的原函數(shù),故
- =C( )
其中C為某一常數(shù)。
令 得 - =C,且 = =0
即有C= ,故 = +
= - =
令 ,有
此處并不要求學(xué)生理解證明的過(guò)程
為了方便起見,還常用 表示 ,即

該式稱之為微積分基本公式或牛頓—萊布尼茲公式。它指出了求連續(xù)函數(shù)定積分的一般方法,把求定積分的問(wèn)題,轉(zhuǎn)化成求原函數(shù)的問(wèn)題,是微分學(xué)與積分學(xué)之間聯(lián)系的橋梁。 它不僅揭示了導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系,同時(shí)也提供計(jì)算定積分的一種有效方法,為后面的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。因此它在教材中處于極其重要的地位,起到了承上啟下的作用,不僅如此,它甚至給微積分學(xué)的發(fā)展帶來(lái)了深遠(yuǎn)的影響,是微積分學(xué)中最重要最輝煌的成果。
例1.計(jì)算下列定積分:
(1) ; (2) 。
解:(1)因?yàn)?,
所以 。
(2))因?yàn)?,
所以
。
練習(xí):計(jì)算
解:由于 是 的一個(gè)原函數(shù),所以根據(jù)牛頓—萊布尼茲公式有
= = =
例2.計(jì)算下列定積分:
。
由計(jì)算結(jié)果你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論?試?yán)们吿菪蔚拿娣e表示所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。
解:因?yàn)?,
所以

,
.
可以發(fā)現(xiàn),定積分的值可能取正值也可能取負(fù)值,還可能是0:
( l )當(dāng)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于 x 軸上方時(shí)(圖1.6一3 ) ,定積分的值取正值,且等于曲邊梯形的面積;

圖1 . 6 一 3 ( 2 )
(2)當(dāng)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于 x 軸下方時(shí)(圖 1 . 6 一 4 ) ,定積分的值取負(fù)值,且等于曲邊梯形的面積的相反數(shù);

( 3)當(dāng)位于 x 軸上方的曲邊梯形面積等于位于 x 軸下方的曲邊梯形面積時(shí),定積分的值為0(圖 1 . 6 一 5 ) ,且等于位于 x 軸上方的曲邊梯形面積減去位于 x 軸下方的曲邊梯形面積.
例3.汽車以每小時(shí)32公里速度行駛,到某處需要減速停車。設(shè)汽車以等減速度 =1.8米/秒2剎車,問(wèn)從開始剎車到停車,汽車走了多少距離?
解:首先要求出從剎車開始到停車經(jīng)過(guò)了多少時(shí)間。當(dāng)t=0時(shí),汽車速度 =32公里/小時(shí)= 米/秒 8.88米/秒,剎車后汽車減速行駛,其速度為 當(dāng)汽車停住時(shí),速度 ,故從 解得 秒
于是在這段時(shí)間內(nèi),汽車所走過(guò)的距離是
= 米,即在剎車后,汽車需走過(guò)21.90米才能停住.
微積分基本定理揭示了導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系,同時(shí)它也提供了計(jì)算定積分的一種有效方法.微積分基本定理是微積分學(xué)中最重要的定理,它使微積分學(xué)蓬勃發(fā)展起來(lái),成為一門影響深遠(yuǎn)的學(xué)科,可以毫不夸張地說(shuō),微積分基本定理是微積分中最重要、最輝煌的成果.
四:課堂小結(jié):
本節(jié)課借助于變速運(yùn)動(dòng)物體的速度與路程的關(guān)系以及圖形得出了特殊情況下的牛頓-萊布尼茲公式.成立,進(jìn)而推廣到了一般的函數(shù),得出了微積分基本定理,得到了一種求定積分的簡(jiǎn)便方法,運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是找到被積函數(shù)的原函數(shù),這就要求大家前面的求導(dǎo)數(shù)的知識(shí)比較熟練,希望,不明白的同學(xué),回頭來(lái)多復(fù)習(xí)!

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