高考要求
1．通過(guò)復(fù)習(xí)不等式的性質(zhì)及常用的證明方法(比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等)，使學(xué)生較靈活的運(yùn)用常規(guī)方法(即通性通法)證明不等式的有關(guān)問(wèn)題；
2．掌握用“分析法”證明不等式；理解反證法、換元法、判別式法、放縮法證明不等式的步驟及應(yīng)用范圍
3．搞清分析法證題的理論依據(jù)，掌握分析法的證題格式和要求 搞清各種證明方法的理論依據(jù)和具體證明方法和步驟
4 通過(guò)證明不等式的過(guò)程，培養(yǎng)自覺(jué)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)等基本數(shù)學(xué)思想方法證明不等式的能力；能較靈活的應(yīng)用不等式的基本知識(shí)、基本方法，解決有關(guān)不等式的問(wèn)題
知識(shí)點(diǎn)歸納
不等式的證明方法
（1）比較法：作差比較：
作差比較的步驟：
①作差：對(duì)要比較大小的兩個(gè)數(shù)（或式）作差
②變形：對(duì)差進(jìn)行因式分解或配方成幾個(gè)數(shù)（或式）的完全平方和
③判斷差的符號(hào)：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號(hào)
注意：若兩個(gè)正數(shù)作差比較有困難，可以通過(guò)它們的平方差來(lái)比較大小
（2）綜合法：由因?qū)Ч?
（3）分析法：執(zhí)果索因 基本步驟：要證……只需證……，只需證……
①“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件
②“分析法”證題是一個(gè)非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可以利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá)
（4）反證法：正難則反
（5）放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的
放縮法的方法有：
①添加或舍去一些項(xiàng)，如： ； ；
②將分子或分母放大（或縮�。�
③利用基本不等式，
如： ；
④利用常用結(jié)論：
Ⅰ、 ；
Ⅱ、 ； （程度大）
Ⅲ、 ； （程度小）
（6）換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元 如：
已知 ，可設(shè) ；
已知 ，可設(shè) ( )；
已知 ，可設(shè) ；
已知 ，可設(shè) ；
（7）構(gòu)造法：通過(guò)構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來(lái)證明不等式；
證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的最基本方法．要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語(yǔ)言特點(diǎn)．
數(shù)學(xué)歸納法法證明不等式將在數(shù)學(xué)歸納法中專門研究
題型講解
例1 若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水會(huì)變得更甜，試將這一事實(shí)用數(shù)學(xué)關(guān)系式反映出來(lái)，并證明之
分析：本例反映的事實(shí)質(zhì)上是化學(xué)問(wèn)題，由濃度概念（糖水加糖甜更甜）可知
解：由題意得
證法一：（比較法）
， ，
證法二：（放縮法）
，
證法三：（數(shù)形結(jié)合法）如圖，在Rt ABC及Rt ADF中，
AB=a，AC=b，BD=m，作CE∥BD
，
例2 已知a，b∈R，且a+b=1
求證：
證法一：（比較法）
即 （當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，取等號(hào)）
證法二：（分析法）
因?yàn)轱@然成立，所以原不等式成立
點(diǎn)評(píng)：分析法是基本的數(shù)學(xué)方法，使用時(shí)，要保證“后一步”是“前一步”的充分條件
證法三：（綜合法）由上分析法逆推獲證（略）
證法四：（反證法）假設(shè) ，
則
由a+b=1，得 ，于是有
所以 ，
這與 矛盾
所以
證法五：（放縮法）∵
∴左邊＝
＝右邊
點(diǎn)評(píng)：根據(jù)欲證不等式左邊是平方和及a+b=1這個(gè)特點(diǎn)，選用基本不等式
證法六：（均值換元法）∵ ，
所以可設(shè) ， ，
∴左邊＝
＝右邊
當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)，等號(hào)成立
點(diǎn)評(píng)：形如a+b=1結(jié)構(gòu)式的條件，一般可以采用均值換元
證法七：（利用一元二次方程根的判別式法）
設(shè)y=(a+2)2+(b+2)2，
由a+b=1，有 ，
所以 ，
因?yàn)?，所以 ，即
故
例3設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足y+x2=0，0
，只要證： ，
又 ，
只需證：
∴只需證 ，
即證 ，此式顯然成立
∴原不等式成立
例4 設(shè)m等于 ， 和1中最大的一個(gè)，當(dāng) 時(shí)，求證：
分析：本題的關(guān)鍵是將題設(shè)條件中的文字語(yǔ)言“m等于 ， 和1中最大的一個(gè)”翻譯為符號(hào)語(yǔ)言“ ， ， ”，從而知
證明：（綜合法） ，
例5 已知
的單調(diào)區(qū)間；
(2)求證：
（3）若 求證：
解: （1） 對(duì) 已 知 函 數(shù) 進(jìn) 行 降 次 分 項(xiàng) 變 形 , 得 ,
（2）∵
∴
而
⑶
∴
點(diǎn)評(píng)：函 數(shù) 與 不 等 式 證 明 的 綜 合 題 在 高 考 中 常 考 常 新 , 是 既 考 知 識(shí) 又 考 能 力 的 好 題 型 , 在 高 考 備 考 中 有 較 高 的 訓(xùn) 練 價(jià) 值
小結(jié)：
1．掌握好不等式的證明，不等式的證明內(nèi)容甚廣，證明不但用到不等式的性質(zhì)，不等式證明的技能、技巧，還要注意到橫向結(jié)合內(nèi)容的方方面面 如與數(shù)列的結(jié)合，與“二次曲線”的結(jié)合，與“三角函數(shù)”的結(jié)合，與“一元二次方程，一元二次不等式、二次函數(shù)”這“三個(gè)二次”間的互相聯(lián)系、互相滲透和互相制約，這些也是近年命題的重點(diǎn)
2 在不等式證明中還要注意數(shù)學(xué)方法，如比較法（包括比差和比商）、分析法、綜合法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等，還要注意一些數(shù)學(xué)技巧，如數(shù)形結(jié)合、放縮、分類討論等
3 比較法是證明不等式最常用最基本的方法 當(dāng)欲證的不等式兩端是多項(xiàng)式或分式時(shí)，常用差值比較法 當(dāng)欲證的不等式兩端是乘積的形式或冪指不等式時(shí)常用商值比較法，即欲證
4 基本思想、基本方法：
⑴用分析法和綜合法證明不等式常要用等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想的換元的基本方法
⑵用分析法探索證明的途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過(guò)程，這是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法
⑶ “分析法”證明不等式就是“執(zhí)果索因”，從所證的不等式出發(fā)，不斷利用充分條件或者充要條件替換前面的不等式，直至找到顯然成立的不等式，書寫方法習(xí)慣上用“ ”來(lái)表達(dá) 分析法是數(shù)學(xué)解題的兩個(gè)重要策略原則的具體運(yùn)用，兩個(gè)重要策略原則是：
正難則反原則：若從正面考慮問(wèn)題比較難入手時(shí)，則可考慮從相反方向去探索解決問(wèn)題的方法，即我們常說(shuō)的逆向思維，由結(jié)論向條件追溯
簡(jiǎn)單化原則：尋求解題思路與途徑，常把較復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，在證明較復(fù)雜的不等式時(shí)，可以考慮將這個(gè)不等式不斷地進(jìn)行變換轉(zhuǎn)化，得到一個(gè)較易證明的不等式
⑷凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題適宜用反證法
⑸換元法（主要指三角代換法）多用于條件不等式的證明，此法若運(yùn)用恰當(dāng)，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的三角問(wèn)題
⑹含有兩上字母的不等式，若可化成一邊為零，而另一邊是關(guān)于某字母的二次式時(shí)，這時(shí)可考慮判別式法，并注意根的取值范圍和題目的限制條件
⑺有些不等式若恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用放縮法可以很快得證，放縮時(shí)要看準(zhǔn)目標(biāo)，做到有的放矢，注意放縮適度
學(xué)生練習(xí)
1 設(shè) ，求證：
證明：
=
=
=
，則
故原不等式成立
點(diǎn)評(píng)：（1）三元因式分解因式，可以排列成一個(gè)元的降冪形式：
（2）用比較法證不等式，關(guān)鍵在于作差（或商）后結(jié)式了進(jìn)行變形，常見(jiàn)的變形是通分、因式分解或配方
2 己知 都是正數(shù)，且 成等比數(shù)列，
求證：
證明：
成等比數(shù)列，
都是正數(shù)，
點(diǎn)評(píng)：兩邊相減能消去一部分、兩邊相除能約去一部分是運(yùn)用比較法的外部特征，除了通分、因式分解或配方法，局部運(yùn)用基本不等式，也是用比較法證不等式時(shí)的一種常用手段
3 己知函數(shù) ，當(dāng) 滿足 時(shí)，證明： 對(duì)于任意實(shí)數(shù) 都成立的充要條件是
證明：
（1）若 ，則
(2)當(dāng) 時(shí)，
故原命題成立
4．比較 的大小 （其中0< x <1 ）
解： - = >0 (比差)
5
6
證明：
7．若 ，求證ab與 不能都大于
證明：假設(shè)ab, (1－a) (1－b)都大于
8．已知：a3+b3=2,求證：a+b
證明：假設(shè)a+b>2 則b>2-a
a3+b3>a3+(2-a)3=8-12a+6a2=6(a-1)2+2
與已知相矛盾，所以, a+b
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13 設(shè) 都正數(shù)，求證：
證明：
，
14 設(shè) 且 ，求證：
證法1 若 ， ，
這與 矛盾，
同理可證
證法2 由 知
15 有甲、乙兩個(gè)糧食經(jīng)銷商每次在同一糧食生產(chǎn)基地以相同價(jià)格購(gòu)進(jìn)糧食，他們共購(gòu)糧三次，各次的糧食價(jià)格不同，甲每次購(gòu)糧10000千克，乙每次購(gòu)糧10000元 三次后統(tǒng)計(jì)，誰(shuí)購(gòu)的糧食平均價(jià)低？為什么？
解：設(shè)第一、二、三次的糧食價(jià)格分別為 元/千克、 元/千克、 元/千克， ，則甲三次購(gòu)糧的平均價(jià)格為 ，乙三次購(gòu)糧的平均價(jià)格為 ，因?yàn)?br />
所以乙購(gòu)的糧食價(jià)格低
說(shuō)明“各次的糧食價(jià)格不同”，必須用字母表示，這樣就能把糧食平均價(jià)格用式子表示出來(lái) 我們應(yīng)該從式的特征聯(lián)想到用基本不等式進(jìn)行變換
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaoer/57517.html
相關(guān)閱讀：一元二次不等式的應(yīng)用