學(xué)生探究過程:
證明的方法
(1)、分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學(xué)解題中,分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā),一步一步地探索下去,最后達(dá)到題設(shè)的已知條件。綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā),經(jīng)過逐步的邏輯推理,最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問題。對于解答證明來說,分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因,綜合法表現(xiàn)為由果導(dǎo)因,它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法,應(yīng)用十分廣泛。
(2)、例1.設(shè)a、b是兩個正實數(shù),且a≠b,求證:a3+b3>a2b+ab2.
證明:(用分析法思路書寫)
要證 a3+b3>a2b+ab2成立,
只需證(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立,
即需證a2-ab+b2>ab成立。(∵a +b>0)
只需證a2-2ab+b2>0成立,
即需證(a-b)2 >0成立。
而由已知條件可知,a≠b,有a-b≠0,所以(a-b)2>0顯然成立,由此 命題得證。
(以下用綜合法思路書寫)
∵a≠b,∴a-b≠0,∴(a-b)2>0,即a2-2ab+b2>0
亦即a2-ab+b2>ab
由 題設(shè)條件知,a+b>0,∴(a+b)(a2-ab+b2)>(a+b)ab
即a3+b3>a2b+ab2,由此命題得證
例2、若實數(shù) ,求證:
證明:采用差值比較法:
=
=
=
=
∴
∴
例3、已知 求證
本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進(jìn)行。
證明:1) 差值比較法:注意到要證的不等式關(guān)于 對稱,不妨設(shè)
,從而原不等式得證。
2)商值比較法:設(shè)
故原不等式得證。
注:比較法是證明不等 式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是:作差(或作商)、變形、判斷符號。
討論:若題設(shè)中去掉 這一限制條件,要求證的結(jié)論如何變換?
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