1.數(shù)列的通項
求數(shù)列通項公式的常用方法:
(1)觀察與歸納法:先觀察哪些因素隨項數(shù) 的變化而變化,哪些因素不變:分析符號、數(shù)字、字母與項數(shù) 在變化過程中的聯(lián)系,初步歸納公式。
(2)公式法:等差數(shù)列與等比數(shù)列。
(3)利用 與 的關系求 :
(4)構造新數(shù)列法;(5)逐項作差求和法;(6)逐項作商求積法
2.等差數(shù)列 中:
(1)等差數(shù)列公差的取值與等差數(shù)列的單調(diào)性;(2) ;
(3) 也成等差數(shù)列;(4)兩等差數(shù)列對應項和(差)組成的新數(shù)列仍成等差數(shù)列.
(5) ,……仍成等差數(shù)列.
(6) , ,
(7)若 ,則 ;若 ,則 .
(8)“首正”的遞減等差數(shù)列中,前 項和的最大值是所有非負項之和;
(9)等差中項:若 成等差數(shù)列,則 叫做 的等差中項。
(10)判定數(shù)列是否是等差數(shù)列的主要方法有:定義法、中項法、通項法
3.等比數(shù)列 中:
(1)等比數(shù)列的符號特征(全正或全負或一正一負),等比數(shù)列的首項、公比與等比數(shù)列的單調(diào)性。
(2) ;
(3) 、 成等比數(shù)列; 成等比數(shù)列 成等比數(shù)列.
(4)兩等比數(shù)列對應項積(商)組成的新數(shù)列仍成等比數(shù)列.
(5) ,……成等比數(shù)列.
(6) .
(7) ; .
(8)并非任何兩數(shù)總有等比中項. 僅當實數(shù) 同號時,實數(shù) 存在等比中項.對同號兩實數(shù) 的等比中項不僅存在,而且有一對 .也就是說,兩實數(shù)要么沒有等比中項(非同號時),如果有,必有一對(同號時)。
(9)判定數(shù)列是否是等比數(shù)列的方法主要有:定義法、中項法、通項法
4.等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系:各項都不為零的常數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列
5.數(shù)列求和的常用方法:
(1)公式法:①等差數(shù)列求和公式;②等比數(shù)列求和公式
③ , ,
, .
(2)分組求和法:在直接運用公式法求和有困難時,常將“和式”中“同類項”先合并在一起,再運用公式法求和.
(3)倒序相加法:在數(shù)列求和中,若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數(shù)列的通項與組合數(shù)相關聯(lián),則?煽紤]選用倒序相加法,發(fā)揮其共性的作用求和(這也是等差數(shù)列前 和公式的推導方法).
(4)錯位相減法:如果數(shù)列的通項是由一個等差數(shù)列的通項與一個等比數(shù)列的通項相乘構成,那么常選用錯位相減法,將其和轉化為“一個新的的等比數(shù)列的和”求解
(5)裂項相消法:如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式,且相鄰項分裂后相關聯(lián),那么常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有:
① ② ,③
二、自我檢測
一、選擇題(5分 10=50分)
1.一個等差數(shù)列的第一項是32,若這個數(shù)列從15項開始小于1,那么這個數(shù)列的公差d的取值范圍是( )
A. B. C. D.
2.已知等差數(shù)列{bn},d=-3,b7=10,則b1是( )
A.-39 B.28 C.39 D.32
3.在等差數(shù)列{an }中, ,S5=40,則a10為( )
A.27 B.28 C.29 D.30
4.數(shù)列{an}成等比數(shù)列,a6=3,則 的值等于( 。
A.35 B.36 C.37 D.38
5.如果將20、50、100各加上同一個常數(shù)能組成一個等比數(shù)列,那么這個數(shù)列的公比是( )
A. B. C. D.
6.在等差數(shù)列{an }中,已知 ,則S21等于( )
A.100 B.105 C.200 D.0
7.等比數(shù)列 的前 項,前 項,前 項的和分別為 , , ,則( )
A. B.
C. D.
8.在等比數(shù)列{an}中,前n項和Sn,已知S2=9,S3=21,那么公比q的值等于( )
A.2 B. C. 或 D.1或 或
9.已知等比數(shù)列{an},公比q= 且a1+a3+…+a49=30,則a1+a2+a3+…+a50等于( )
A.35 B.40 C.45 D.50
10.在等比數(shù)列 中, , ,則 等于( 。
A. 和 B. C. D. 和
二、填空題(5分 4=20分)
11.若一個三角形的三內(nèi)角成等差數(shù)列,且已知一個角為 ,則其他兩個角的度數(shù)為____________.
12.設一等差數(shù)列,由三個數(shù)組成,三個數(shù)之和為9 ,三個數(shù)的平方和為35,則公差d=_______
13.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn, ,則此數(shù)列的公比為_________
14.在等比數(shù)列{an}中,S4=1,S8=4,則 _________
三、解答題(共80分,要有解答過程)
15.(本小題12分)已知等差數(shù)列{an}滿足 , ,求數(shù)列{an}的通項公式。
16.(本小題12分)三個數(shù) ,1, 成等差數(shù)列,三個數(shù) ,1, 成等比數(shù)列,求 的值.
17.(本小題14分)有4 個數(shù),前3個數(shù)成等差數(shù)列,后三個數(shù)成等比數(shù)列,且 , 是方程 的兩個根, ,求這4 個數(shù)。
18.(本小題14分)已知{an}為等差數(shù)列,
(1) ,求 。
(2)前12項和為354,前12項中奇數(shù)項與偶數(shù)項的和之比為27:32,求d.
19.(本小題14分)在等比數(shù)列{an}中,
(1)已知S2=30,S3=155,求an和 ;。2)已知 ,求an和a4
20.(本小題14分)設數(shù)列 滿足 , .
(1)求數(shù)列 的通項;(2)設 ,求數(shù)列 的前 項和 .
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