【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解等差中項的概念,能應(yīng)用等差中項的性質(zhì)解題;
2.理解等差數(shù)列的代數(shù)特征、幾何特征
3.利用等差數(shù)列解決簡單的應(yīng)用問題。
【知識概念】
1.等差數(shù)列的定義:______________________________________.
2.等差數(shù)列的通項公式及變形
=_______________=_____________
(變形d=_______________=___________________)
3.等差中項:如果 這三個數(shù)成等差數(shù)列,那么A=_____.則稱A叫做 的等差中項。
4.等差數(shù)列通項公式的幾何圖象
= 形如:
其圖象是直線y=Ax+B上從橫坐標(biāo)為1開始的均勻排列(等距離)的________
公差d的幾何意義:相鄰兩點縱坐標(biāo)的__________
5.等差數(shù)列的證明方法:(1)定義法;(2)等差中項法;即
【例題選講】
例1.(1)若 是等差數(shù)列, 則 。
(2)若 是等差數(shù)列, ,則d=________, =__________
(3)若 是等差數(shù)列, , ,試判斷153是否為該數(shù)列的項。如果是,是第幾項?
(4)在數(shù) , 之間插入 個數(shù),使得它們與 , 一起組成等差數(shù)列,則 _______________
(5)若 是等差數(shù)列, ,則
例2.(1)三個數(shù)成等差數(shù)列,和為15,首末兩項積是9,求三個數(shù)
(2)成等差數(shù)列的四個數(shù)之和是26,中間兩個數(shù)的積是40,求這四個數(shù)
(3)某滑輪組由直徑成等差數(shù)列的6個滑輪組成。已知最小和最大的滑輪的直徑分別為15cm和25cm,求中間四個滑輪的直徑。
例3.已知b是a,c的等差中項,且lg(a+1),lg(b-1),lg(c-1)成等差數(shù)列,同時a+b+c=15,求a,b,c.
例4.(1)已知: ( ),求證: 是等差數(shù)列。
(2)如果x,y,z滿足 ,證明:x,y,z成等差數(shù)列。
練習(xí):(1)已知正數(shù)列 和 對任意 , 成等差數(shù)列,且
判斷數(shù)列 是否為等差數(shù)列。 (2)已知三個正數(shù) 滿足
成等差數(shù)列,求證: ,也成等差數(shù)列。
【鞏固提高】
1.一個等差數(shù)列的第5項 ,且 ,則
2.若a≠b,數(shù)列a,x1,x2,b和數(shù)列a,y1,y2,y3,b都是等差數(shù)列,則x2 - x1y2 - y1 =_________
3.(1) 的等差中項是________________;
(2) 的等差中項_____________
4.若lg2,lg(2x ? 1),lg(2x + 3)成等差數(shù)列,則 x =____________________
5.在等差數(shù)列{an} 中,a1= -5,a4 = -12,在每相鄰的兩項之間插入一個數(shù),使之成等差數(shù)列,那么新等差數(shù)列的一個通項公式是
5.一個等差數(shù)列 中, ,則
6.在正整數(shù)10至1000之間被11除,余數(shù)為9的數(shù)共有 ________個.
7.若 成等差數(shù)列,則二次函數(shù) 的圖象與 軸的交點個數(shù)是_______
8.在 中,若三個角A,B,C成等差數(shù)列, 為其對邊,且 也成等差數(shù)列,則 的形狀是______________________.
9.如圖(1)是一個三角形,分別連接這個三角形三邊的中點,將原三角形分成4個三角形(如圖(2)),在連接圖(2)中間的一個三角形三邊的中點,又可將原三角形分成7個三角形(如圖(3))。依次類推,第n個圖中原三角形備分成 個三角形。
(1) (2) (3)
(1)求數(shù)列 的通項公式;(2)第100個圖中原三角形被分成多少個三角形?
10. 是等差數(shù)列,如果 ,其中 ,求通項公式
11.已知 成等差數(shù)列,求證: 也成等差數(shù)列。
12.己知 為等差數(shù)列, ,若在每相鄰兩項之間插入三個數(shù),使它和原數(shù)列的數(shù)構(gòu)成一個新的等差數(shù)列,求:(1)原數(shù)列的第12項是新數(shù)列的第幾項?
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