求數(shù)列中幾種類型的通項(xiàng)公式
制作:高二數(shù)學(xué)組
一、由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式
(1)遞推式為 = + 及 = ( 為常數(shù))(可利用等差、等比數(shù)列來求)
例、⒈ 已知數(shù)列{ }滿足 = +2,且 =1,求 .
⒉ 已知數(shù)列{ }滿足 = ,且 =2,求 .
(2)遞推式為 = + ,( 需可求和)
例、已知數(shù)列{ }滿足 = + , =1,求 .
練習(xí) 已知數(shù)列{ }中, = ,且當(dāng) 時 ,求通項(xiàng)公式
(3) 遞推式為 = + ( 為常數(shù))
例、已知數(shù)列{ }滿足 =3 +2,且 =1,求 .
簡解:法一、由已知得 =3 +2, =3 +2,相減得 - =3( - )即數(shù)列
{ - }是 =3的等比數(shù)列,所以 - =( - ) 且 - =4,又 =3 +2,
代入可得 =2 -1
法二、由法一得{ - }是 =3的等比數(shù)列,則 - =4, - = 4 3, - = 4 ,…, - = 4 .以上n-1式累加得 - = 4(1+3+ + +…+ )= ,所以可得 =2 -1
法三、由遞推式 =3 + 2,得 + 1=3( +1)即數(shù)列{ + 1}是公比為3的等比數(shù)列,且首項(xiàng)為 +1=2,所以 +1=2 ,即 =2 -1
練習(xí) 已知數(shù)列{ }滿足 =2 -1,且 =2,求 .
(4)遞推式為 = + ( 為常數(shù))
例 已知數(shù)列{ }滿足 = + ,且 = ,求 .
(提示:兩邊同時除以 轉(zhuǎn)化為類型二來求)
練習(xí) 已知數(shù)列{ }滿足 =2 + ,且 =1,求 .
(5)遞推式為 =
例 在數(shù)列{ }中, =2, = ,求 .
練習(xí) 已知: =1, ,求 .
(6)遞推式為 = (可先求倒數(shù),轉(zhuǎn)化成數(shù)列{ }來求)
例 已知數(shù)列{ }滿足 =1, ,求 .
(7)其他 例 已知數(shù)列{ }滿足: =1, , ( )令 。① 求證:數(shù)列{ }是等比數(shù)列,并求 ;②求 .
二、已知 之間的關(guān)系來求通項(xiàng)公式
利用公式 (n 2),注意首項(xiàng).
例 已知數(shù)列{ }滿足 = +1,求 .
練習(xí) 已知數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和為 ,滿足 ,其中 >1,求數(shù)列{ }的通項(xiàng)公式。
三、已知 和 的關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式
常用思路 1. 消 ,轉(zhuǎn)化為 的關(guān)系,再求 (優(yōu)先考慮);
2. 消 ,轉(zhuǎn)化為 的關(guān)系,先求 ,再求 。
利用公式 (n 2),注意首項(xiàng).
例 已知數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和為 ,若對任意的 ,都有 =2 -3 .
① 求數(shù)列{ }的首項(xiàng) 及遞推關(guān)系式 = ;②求通項(xiàng)公式 。
本文來自:逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaoer/75103.html
相關(guān)閱讀:遞推數(shù)列中的通項(xiàng)公式