2.3離散型隨機變量的均值與方差教案一(新人教A版選修2-3)

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 高二 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)


2.3.2離散型隨機變量的方差
目標(biāo):
知識與技能:了解離散型隨機變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義,會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出方差或標(biāo)準(zhǔn)差。
過程與方法:了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”, 以及“若ξ~Β(n,p),則Dξ=np(1—p)”,并會應(yīng)用上述公式計算有關(guān)隨機變量的方差 。
情感、態(tài)度與價值觀:承前啟后,感悟數(shù)學(xué)與生活的和諧之美 ,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的化功能與人價值。
重點:離散型隨機變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差
教學(xué)難點:比較兩個隨機變量的期望與方差的大小,從而解決實際問題
教具準(zhǔn)備:多媒體、實物投影儀 。
教學(xué)設(shè)想:了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”,以及“若ξ~Β(n,p),則Dξ=np(1—p)”,并會應(yīng)用上述公式計算有關(guān)隨機變量的方差 。
授類型:新授
時安排:2時
教 具:多媒體、實物投影儀
內(nèi)容分析:
數(shù) 學(xué)期望是離散型隨機變量的一個特征數(shù),它反映了離散型隨機變量取值的平均水平,表示了隨機變量在隨機實驗中取值的平均值,所以又常稱為隨機變量的平均數(shù)、均值.今天,我們將對隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度進行研究.其實在初中我們也對一組數(shù)據(jù)的波動情況作過研究,即研究過一組數(shù)據(jù)的方差.
回顧一組數(shù)據(jù)的方差的概念:設(shè)在一組數(shù)據(jù) , ,…, 中,各數(shù)據(jù)與它們的平均值 得差的平方分別是 , ,…, ,那么 + +…+
叫做這組數(shù)據(jù)的方差
教學(xué)過程:
一、復(fù)習(xí)引入:
1.隨機變量:如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量表示,那么這樣的變量叫做隨機變量 隨機變量常用希臘字母ξ、η等表示
2. 離散型隨機變量:對于隨機變量可能取的值,可以按一定次序一一列出,這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量
3.連續(xù)型隨機變量: 對于隨機變量可能取的值,可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值,這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機變量
4.離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別與聯(lián)系: 離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結(jié)果;但是離散型隨機變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出,而連續(xù)性隨機變量的結(jié)果不可以一一列出
5. 分布列:
ξx1x2…xi…
PP1P2…Pi…
6. 分布列的兩個性質(zhì): ⑴Pi≥0,i=1,2,…; ⑵P1+P2+…=1.
7.二項分布:ξ~B(n,p),并記 =b(k;n,p).
ξ01…k…n
P


8.幾何分布: g(k,p)= ,其中k=0,1,2,…, .
ξ123…k…
P

9.數(shù)學(xué)期望: 一般地,若離散型隨機變量ξ的概率分布為
ξx1x2…xn…
Pp1p2…pn…
則稱 … … 為ξ的數(shù)學(xué)期望,簡稱期望.
  10. 數(shù)學(xué)期望是離散型隨機變量的一個特征數(shù),它反映了離散型隨機變量取值的平均水平
11 平均數(shù)、均值:在有限取值離散型隨機變量ξ的概率分布中,令 … ,則有 … , … ,所以ξ的數(shù)學(xué)期望又稱為平均數(shù)、均值
12. 期望的一個性質(zhì):
13.若ξ B(n,p),則Eξ=np
二、講解新:
1. 方差: 對于離散型隨機變量ξ,如果它所有可能取的值是 , ,…, ,… ,且取這些值的概率分別是 , ,…, ,…,那么,
= + +…+ +…
稱為隨機變量ξ的均方差,簡稱為方差,式中的 是隨機變量ξ的期望.
2. 標(biāo)準(zhǔn)差: 的算術(shù)平方根 叫做隨機變量ξ的標(biāo)準(zhǔn)差,記作 .
3.方差的性質(zhì):(1) ;(2) ;
(3)若ξ~B(n,p),則 np(1-p)
4.其它:
⑴隨機變量ξ的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的;
⑵隨機變量ξ的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機變量ξ的特征數(shù),它們都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度;
⑶標(biāo)準(zhǔn)差與隨機變量本身有相同的單位,所以在實際問題中應(yīng)用更廣泛
三、講解范例:
例1.隨機拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,求向上一面的點數(shù)的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差.
解:拋擲散子所得點數(shù)X 的分布列為
ξ123456

從而

例2.有甲乙兩個單位都愿意聘用你,而你能獲得如下信息:
甲單位不同職位月工資X1/元1200140016001800
獲得相應(yīng)職位的概率P10.40.30.20.1

乙單位不同職位月工資X2/元1000140018002000
獲得相應(yīng)職位的概率P20.40.3 0.20.1
根據(jù)工資待遇的差異情況,你愿意選擇哪家單位?
解:根據(jù)月工資的分布列,利用計算器可算得
EX1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1
= 1400 ,
DX1 = (1200-1400) 2 ×0. 4 + (1400-1400 ) 2×0.3
+ (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0. 1
= 40 000 ;
EX2=1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,
DX2 = (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 )2×0.l
= 160000 .
因為EX1 =EX2, DX 1<DX2,所以兩家單位的工資均值相等,但甲單位不同職位的工資相對集中,乙單位不同職位的工資相對分散.這樣,如果你希望不同職位的工資差距小一些,就選擇甲單位;如果你希望不同職位的工資差距大一些,就選擇乙單位.

例3.設(shè)隨機變量ξ的分布列為
ξ12…n
P

求Dξ
解:(略) ,
例4.已知離散型隨機變量 的概率分布為

1234567

P

離散型隨機變量 的概率分布為

3.73.83.944.14.24.3
P

求這兩個隨機變量期望、均方差與標(biāo)準(zhǔn)差
解: ;

;
=0.04, .
點評:本題中的 和 都以相等的概率取各個不同的值,但 的取值較為分散, 的取值較為集中. , , ,方差比較清楚地指出了 比 取值更集中.
=2, =0.02,可以看出這兩個隨機變量取值與其期望值的偏差
例5.甲、乙兩射手在同一條下進行射擊,分布列如下:射手甲擊中環(huán)數(shù)8,9,10的概率分別為0.2,0.6,0.2;射手乙擊中環(huán)數(shù)8,9,10的概率分別為 0.4,0.2,0.24 用擊中環(huán)數(shù)的期望與方差比較兩名射手的射擊水平
解:
+(10-9) ;
同理有
由上可知, , 所以,在射擊之前,可以預(yù)測甲、乙兩名射手所得的平均環(huán)數(shù)很接近,均在9環(huán)左右,但甲所得環(huán)數(shù)較集中,以9環(huán)居多,而乙得環(huán)數(shù)較分散,得8、10環(huán)地次數(shù)多些.
點評:本題中, 和 所有可能取的值是一致的,只是概率的分布情況不同. =9,這時就通過 =0.4和 =0.8比較 和 的離散程度,即兩名射手成績的穩(wěn)定情況
例6.A、B兩臺機床同時加工零,每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時,出次品的概率如下表所示:
A機床B機床
次品數(shù)ξ10123次品數(shù)ξ10123
概率P0.70.20.060 .04概率P0.80.060.040.10
問哪一臺機床加工質(zhì)量較好
解: Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,
Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.
它們的期望相同,再比較它們的方差
Dξ1=(0-0.44)2×0.7+(1-0.44)2×0.2+(2-0.44)2
×0.06+(3-0.44)2×0.04=0.6064,
Dξ2=(0-0.44)2×0.8+(1-0.44)2×0.06+(2-0.44)2
×0.04+(3-0.44)2×0.10=0.9264.
∴Dξ1< Dξ2 故A機床加工較穩(wěn)定、質(zhì)量較好.
四、堂練習(xí):
1 .已知 ,則 的值分別是( )
A. ;  B. ;  C. ;  D.
答案:1.D
2 . 一盒中裝有零12個,其中有9個正品,3個次品,從中任取一個,如果每次取出次品就不再放回去,再取一個零,直到取得正品為止.求在取得正品之前已取出次品數(shù)的期望.
分析:涉及次品率;抽樣是否放回的問題.本例采用不放回抽樣,每次抽樣后次品率將會發(fā)生變化,即各次抽樣是不獨立的.如果抽樣采用放回抽樣,則各次抽樣的次品率不變,各次抽樣是否抽出次品是完全獨立的事.
解:設(shè)取得正品之前已取出的次品數(shù)為ξ,顯然ξ所有可能取的值為0,1,2,3
當(dāng)ξ=0時,即第一次取得正品,試驗停止,則
P(ξ=0)=
當(dāng)ξ=1時,即第一次取出次品,第二次取得正品,試驗停止,則
P(ξ=1)=
當(dāng)ξ=2時,即第一、二次取出次品,第三次取得正品,試驗停止,則
P(ξ=2)=
當(dāng)ξ=3時,即第一、二、三次取出次品,第四次取得正品,試驗停止,則P(ξ=3)=
所以,Eξ=
3. 有一批數(shù)量很大的商品的次品率為1% ,從中任意地連續(xù)取出200商品,設(shè)其中次品數(shù)為ξ,求Eξ,Dξ
分析:涉及產(chǎn)品數(shù)量很大,而且抽查次數(shù)又相對較少的產(chǎn)品抽查問題.由于產(chǎn)品數(shù)量很大,因而抽樣時抽出次品與否對后面的抽樣的次品率影響很小,所以可以認(rèn)為各次抽查的結(jié)果是彼此獨立的.解答本題,關(guān)鍵是理解清楚:抽200商品可以看作200次獨立重復(fù)試驗,即ξ B(200,1%),從而可用公式:Eξ=np,Dξ=npq(這里q=1-p)直接進行計算
解:因為商品數(shù)量相當(dāng)大,抽200商品可以看作200次獨立重復(fù)試驗,所以ξ B(200,1%) 因為Eξ=np,Dξ=npq,這里n=200,p=1%,q=99%,所以,Eξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=1.98
4. 設(shè)事A發(fā)生的概率為p,證明事A在一次試驗中發(fā)生次數(shù)ξ的方差不超過1/4
分析:這是一道純數(shù)學(xué)問題.要求學(xué)生熟悉隨機變量的期望與方差的計算方法,關(guān)鍵還是掌握隨機變量的分布列.求出方差Dξ=P(1-P)后,我們知道Dξ是關(guān)于P(P≥0)的二次函數(shù),這里可用配方法,也可用重要不等式證明結(jié)論
證明:因為ξ所有可能取的值為0,1且P(ξ=0)=1-p,P(ξ=1)=p,
所以,Eξ=0×(1-p)+1×p=p
則 Dξ=(0-p)2×(1-p)+(1-p) 2×p=p(1-p)
5. 有A、B兩種鋼筋,從中取等量樣品檢查它們的抗拉強度,指標(biāo)如下:
ξA110120125130135ξB100115125130145
P0.10.20.40.10.2P0.10.20.40.10.2
其中ξA、ξB分別表示A、B兩種鋼筋的抗拉強度.在使用時要求鋼筋的抗拉強度不低于120,試比較A、B兩種鋼筋哪一種質(zhì)量較好
分析: 兩個隨機變量ξA和ξ B&都以相同的概率0.1,0.2,0.4,0.1,0.2取5個不同的數(shù)值.ξA取較為集中的數(shù)值110,12 0,125, 130,135;ξB取較為分散的數(shù)值100,115,125,130,145.直觀上看,猜想A種鋼筋質(zhì)量較好.但猜想不一定正確,需要通過計算證明我們猜想的正確性
解:先比較ξA與ξB的期望值,因為
EξA=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,
EξB=100×0.1+115×0.2+125×0.4十130×0.1+145×0.2=125.
所以,它們的期望相同.再比較它們的方差.因為
DξA=(110-125)2×0.1+(120-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(135-125) 2×0.2=50,
DξB=(100-125)2×0.1+(110-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(145-125) 2×0.2=165.
所以,DξA < DξB.因此,A種鋼筋質(zhì)量較好
6. 在有獎摸彩中,一期(發(fā)行10000張彩票為一期)有200個獎品是5元的,20個獎品是25元的,5個獎品是100元的.在不考慮獲利的前提下,一張彩票的合理價格是多少元?
分析:這是同學(xué)們身邊常遇到的現(xiàn)實問題,比如福利彩票、足球彩票、奧運彩票等等.一般說,出臺各種彩票,政府要從中收取一部分資金用于公共福利事業(yè),同時也要考慮工作人員的工資等問題.本題的“不考慮獲利”的意思是指:所收資金全部用于獎品方面的費用
解:設(shè)一張彩票中獎額為隨機變量ξ,顯然ξ所有可能取的值為0,5,25,100 依題
意,可得ξ的分布列為
ξ0525100
P


答:一張彩票的合理價格是0.2元.
五、小結(jié) :⑴求離散型隨機變量ξ的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的步驟:①理解ξ的意義,寫出ξ可能取的全部值;②求ξ取各個值的概率,寫出分布列;③根據(jù)分布列,由期望的定義求出Eξ;④根據(jù)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義求出 、 .若ξ~B(n,p),則不必寫出分布列,直接用公式計算即可.
⑵對于兩個隨機變量 和 ,在 和 相等或很接近時,比較 和
,可以確定哪個隨機變量的性質(zhì)更適合生產(chǎn)生活實際,適合人們的需要
六、后作業(yè): P69練習(xí)1,2,3 P69 A組4 B組1,2
1.設(shè) ~B(n、p)且E =12 D =4,求n、p
解:由二次分布的期 望與方差性質(zhì)可知E =np D = np(1-p)
∴ ∴
2.已知隨機變量 服從二項分布即 ~B(6、 )求b (2;6, )
解:p( =2)=c62( )2( )4
3.已知甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個相互獨立的隨機變量 和 ,已知 和 的分布列如下:(注得分越大,水平越高)


123
pA 0.10.6

123
p0.3 b0.3


試分析甲、乙技術(shù)狀況
解:由0.1+0.6+a+1 a=0.3
0.3+0.3+b=1 a=0.4
∴E =2.3 , E =2.0
D =0.81 , D =0.6
七、板書設(shè)計(略)
八、教學(xué)反思:
⑴求離散型隨機變量ξ的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的步驟:
①理解ξ的意義,寫出ξ可能取的全部值;
②求ξ取各個值的概率,寫出分布列;
③根據(jù)分布列,由期望的定義求出Eξ;
④根據(jù)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義求出 、 .若ξ~B(n,p),則不必寫出分布列,直接用公式計算即可.
⑵對于兩個隨機變量 和 ,在 和 相等或很接近時,比較 和 ,可以確定哪個隨機變量的性質(zhì)更適合生產(chǎn)生活實際,適合人們的需要




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