(1)形式一: =2R;
形式二: ; ; ;(角到邊的轉(zhuǎn)換)
形式三: , , ;(邊到角的轉(zhuǎn)換)
形式四: ;(求三角形的面積)
(2)解決以下兩類問題: 1)、已知兩角和任一邊,求其他兩邊和一角;(唯一解)
2)、已知兩邊和其中一邊的對角,求另一邊的對角(從而進(jìn)一步求出其他的邊和角)。
(3)若給出 那么解的個數(shù)為:若 ,則無解;若 ,則一解;
若 ,則兩解;
2.余弦定理:txjy
(1)形式一: , ,
形式二: , , ,(角到邊的轉(zhuǎn)換)
(2)解決以下兩類問題: 1)、已知三邊,求三個角;(唯一解)
2)、已知兩邊和它們得夾角,求第三邊和其他兩個角;(唯一解)
【精典范例】
【例1】根據(jù)下列條件判斷三角形ABC的形狀:
(1)若a2tanB=b2tanA;
(2)b2sin2C + c2sin2B=2bccosBcosC;
解(1)由已知及正弦定理
(2RsinA)2 = (2RsinB)2 2sinAcosA=2sinBcosB sin2A=sin2B
2cos(A + B)sin(A ? B)=0
∴ A + B=90o 或 A ? B=0所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.
(2)由正弦定理得
sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC ∵ sinBsinC≠0, ∴ sinBsinC=cosBcosC,
即 cos(B + C)=0, ∴ B + C=90o, A=90o,故△ABC是直角三角形.
【例2】3.△ABC中已知∠A=30°cosB=2sinB-
①求證:△ABC是等腰三角形
②設(shè)D是△ABC外接圓直徑BE與AC的交點,且AB=2 求: 的值
【例3】在ΔABC中,角A、B、C所對的邊分別為 、b、c,且 .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)若 ,求bc的最大值.
【解】(Ⅰ) =
= = =
(Ⅱ) ∵ ∴ ,
又∵ ∴ 且僅當(dāng) b=c= 時,bc= ,故bc的最大值是 .
【追蹤訓(xùn)練】
1、在△ABC中,a=10,B=60°,C=45°,則c等于 ( )
A. B. C. D.
2、在△ABC中,a= ,b= ,B=45°,則A等于()
A.30° B.60° C.60°或120°D. 30°或150°
3、在△ABC中,a=12,b=13,C=60°,此三角形的解的情況是( )
A.無解B.一解C.二解D.不能確定
4、在△ABC中,已知 ,則角A為()
A. B. C. D. 或
5、在△ABC中,若 ,則△ABC的形狀是()
A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形
6、在△ABC中,已知 ,那么△ABC一定是 ()
A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形
7、在△ABC中,周長為7.5cm,且sinA:sinB:sinC=4:5:6,下列結(jié)論:
① ②
③ ④
其中成立的個數(shù)是 ( )
A.0個B.1個C.2個D.3個
8、在△ABC中, , ,∠A=30°,則△ABC面積為 ( )
A. B. C. 或 D. 或
9、已知△ABC的面積為 ,且 ,則∠A等于 ( )
A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°
10、已知△ABC的三邊長 ,則△ABC的面積為 ( )
A. B. C. D.
11、在△ABC中,若 ,則△ABC是( )
A.有一內(nèi)角為30°的直角三角形 B.等腰直角三角形
C.有一內(nèi)角為30°的等腰三角形D.等邊三角形
§2.數(shù)列
1、數(shù)列
[數(shù)列的通項公式] [數(shù)列的前n項和]
2、等差數(shù)列 [等差數(shù)列的概念]
[定義]如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母d表示。
[等差數(shù)列的判定方法]
1.定義法:若 2.等差中項:若
[等差數(shù)列的通項公式]
如果等差數(shù)列 的首項是 ,公差是 ,則等差數(shù)列的通項為 。
[說明]該公式整理后是關(guān)于n的一次函數(shù)。
[等差數(shù)列的前n項和] 1. 2.
[說明]對于公式2整理后是關(guān)于n的沒有常數(shù)項的二次函數(shù)。
[等差中項]如果 , , 成等差數(shù)列,那么 叫做 與 的等差中項。即: 或
[等差數(shù)列的性質(zhì)]
1.等差數(shù)列任意兩項間的關(guān)系:如果 是等差數(shù)列的第 項, 是等差數(shù)列的第 項,且 ,公差為 ,則有
2.對于等差數(shù)列 ,若 ,則 。
3.若數(shù)列 是等差數(shù)列, 是其前n項的和, ,那么 , , 成等差數(shù)列。
3、等比數(shù)列
[等比數(shù)列的概念][定義]如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比通常用字母q表示( )。
[等比中項]如果是的等比中項,那么 ,即 。
[等比數(shù)列的判定方法]1定義法:若 2.等比中項法:若 ,
2[等比數(shù)列的通項公式] 的首項是 ,公比是 ,則等比數(shù)列的通項為 。
3[等比數(shù)列的前n項和]
[等比數(shù)列的性質(zhì)]
1.等比數(shù)列任意兩項間的關(guān)系:如果 是等比數(shù)列的第 項, 是等差數(shù)列的第 項,且 ,公比為 ,則有
3.對于等比數(shù)列 ,若 ,則
4.若數(shù)列 是等比數(shù)列, 是其前n項的和, ,那么 , , 成等比數(shù)列。
4、數(shù)列前n項和
(1)重要公式: ; ;
(2)等差數(shù)列中,
(3)等比數(shù)列中, (4)裂項求和: ;
【追蹤訓(xùn)練】
2、已知 為等差數(shù)列 的前 項和, ,則 .
3.已知 個數(shù)成等差數(shù)列,它們的和為 ,平方和為 ,求這 個數(shù).
4、已知 為等差數(shù)列, ,則
5、已知 為等比數(shù)列, ,則
6、已知 為等差數(shù)列 的前 項和, ,求 .
7、已知下列數(shù)列 的前 項和 ,分別求它們的通項公式 .⑴ ; ⑵ .
8、數(shù)列 中, ,求 ,并歸納出 .
9、數(shù)列 中, .
⑴ 是數(shù)列中的第幾項? ⑵ 為何值時, 有最小值?并求最小值.
§3.不等式
一、不等式的基本性質(zhì):
(1)對稱性: (2)傳遞性:
(2)同加性:若 (3)同乘性:若 若
如何比較兩個實數(shù)(代數(shù)式)的大小——作差法,其具體解題步驟可歸納為:
第一步:作差并化簡,其目標(biāo)應(yīng)是n個因式之積或完全平方式或常數(shù)的形式;
第二步:判斷差值與零的大小關(guān)系,必要時須進(jìn)行討論;第三步:得出結(jié)論
二、一元二次不等式解法:
解一元二次不等式的步驟:(用具體不等式比較好理解)
① 將二次項系數(shù)化為“+”:A= >0(或<0)(a>0)
② 計算判別式 ,分析不等式的解的情況:
?. >0時,求根 < ,
?. =0時,求根 = = ,
?. <0時,方程無解,
③ 寫出解集.
設(shè)相應(yīng)的一元二次方程 的兩根為 , ,則不等式的解的各種情況如下表:
二次函數(shù)
( )的圖象
一元二次方程
有兩相異實根
有兩相等實根
無實根
R
1、已知二次不等式 的解集為 ,求關(guān)于 的不等式 的解集.
2、若關(guān)于 的不等式 的解集為空集,求 的取值范圍.
追蹤訓(xùn)練
1、設(shè) ,且 ,求 的取值范圍.
2、已知二次不等式 的解集為 ,求關(guān)于 的不等式 的解集.
3、若關(guān)于 的不等式 的解集為空集,求 的取值范圍.
三、二元一次不等式(組)與平面區(qū)域
四、簡單的線性規(guī)劃
典型例題:求z=3x+5y的最大值和最小值,使式中的x、y滿足約束條件
解:不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示:
從圖示可知,直線3x+5y=t在經(jīng)過不等式組所表示的公共區(qū)域內(nèi)的點時,以經(jīng)過點(-2,-1)的直線所對應(yīng)的t最小,以經(jīng)過點( )的直線所對應(yīng)的t最大.
所以zmin=3×(-2)+5×(-1)=-11.
zmax=3× +5× =14
五、基本不等式
1.重要不等式:
如果
2.基本不等式:如果a,b是正數(shù),那么
??我們稱 的算術(shù)平均數(shù),稱 的幾何平均數(shù)?
(注意: 成立的條件是不同的:前者只要求a,b都是實數(shù),而后者要求a,b都是正數(shù)。)
不等式應(yīng)用:
(1).兩個正數(shù)的和為定值時,它們的積有最大值,即若a,b∈R+,且a+b=M,M為定值,則ab≤ ,等號當(dāng)且僅當(dāng)a=b時成立.(簡記為:和為定值積最大)
(2).兩個正數(shù)的積為定值時,它們的和有最小值,即若a,b∈R+,且ab=P,P為定值,則a+b≥2 ,等號當(dāng)且僅當(dāng)a=b時成立.(簡記為:積為定值和最小)
典型例題:例1(1) 若x>0,求 的最小值;(2)若x<0,求 的最大值.
[點撥]本題(1)x>0和 =36兩個前提條件;(2)中x<0,可以用-x>0來轉(zhuǎn)化.
解1) 因為 x>0 由基本不等式得
,當(dāng)且僅當(dāng) 即x= 時,
有最小值為12.
(2)因為 x<0, 所以 -x>0, 由基本不等式得:
,
所以 .
當(dāng)且僅當(dāng) 即x=- 時, 取得最大-12.
例2將一塊邊長為 的正方形鐵皮,剪去四個角(四個全等的正方形),作成一個無蓋的鐵盒,要使其容積最大,剪去的小正方形的邊長為多少?最大容積是多少?
解:設(shè)剪去的小正方形的邊長為 則其容積為
當(dāng)且僅當(dāng) 即 時取“=”
即當(dāng)剪去的小正方形的邊長為 時,鐵盒的容積為
【追蹤訓(xùn)練】
3、已知函數(shù) ,滿足 , ,那么
的取值范圍是 .
4、解不等式:(1) ;(2)
6、 畫出不等式組 表示的平面區(qū)域。7、已知x、y滿足不等式 ,求z=3x+y的最小值。
(利用基本不等式證明不等式 ) 求證
(利用基本不等式求最值)若x>0,y>0,且 ,求xy的最小值
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