高考要求
1 了解二元一次不等式表示平面區(qū)域
2 了解線性規(guī)劃的意義 并會簡單的應用
知識點歸納
1 二元一次不等式表示平面區(qū)域:
在平面直角坐標系中,已知直線Ax+By+C=0,坐標平面內的點P(x0,y0)
B>0時,①Ax0+By0+C>0,則點P(x0,y0)在直線的上方;②Ax0+By0+C<0,則點P(x0,y0)在直線的下方
對于任意的二元一次不等式Ax+By+C>0(或<0),無論B為正值還是負值,我們都可以把y項的系數(shù)變形為正數(shù)
當B>0時,①Ax+By+C>0表示直線Ax+By+C=0上方的區(qū)域;②Ax+By+C<0表示直線Ax+By+C=0下方的區(qū)域
2 線性規(guī)劃:
求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題,統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題
滿足線性約束條件的解(x,y)叫做可行解,由所有可行解組成的集合叫做可行域(類似函數(shù)的定義域);使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解 生產實際中有許多問題都可以歸結為線性規(guī)劃問題
線性規(guī)劃問題一般用圖解法,其步驟如下:
(1)根據(jù)題意,設出變量x、y;
(2)找出線性約束條件;
(3)確定線性目標函數(shù)z=f(x,y);
(4)畫出可行域(即各約束條件所示區(qū)域的公共區(qū)域);
(5)利用線性目標函數(shù)作平行直線系f(x,y)=t(t為參數(shù));
(6)觀察圖形,找到直線f(x,y)=t在可行域上使t取得欲求最值的位置,以確定最優(yōu)解,給出答案
題型講解
例1 求不等式|x-1|+|y-1|≤2表示的平面區(qū)域的面積
分析:依據(jù)條件畫出所表達的區(qū)域,再根據(jù)區(qū)域的特點求其面積
解:|x-1|+|y-1|≤2可化為
或 或 或
其平面區(qū)域如圖
∴面積S= ×4×4=8
點評:畫平面區(qū)域時作圖要盡量準確,要注意邊界
例2 某人上午7時,乘摩托艇以勻速v n mile/h(4≤v≤20)從A港出發(fā)到距50 n mile的B港去,然后乘汽車以勻速w km/h(30≤w≤100)自B港向距300 km的C市駛去 應該在同一天下午4至9點到達C市 設乘汽車、摩托艇去所需要的時間分別是x h、y h
(1)作圖表示滿足上述條件的x、y范圍;
(2)如果已知所需的經費p=100+3×(5-x)+2×(8-y)(元),
那么v、w分別是多少時走得最經濟?此時需花費多少元?
分析:由p=100+3×(5-x)+2×(8-y)可知影響花費的是3x+2y的取值范圍
解:(1)依題意得v= ,w= ,4≤v≤20,30≤w≤100
∴3≤x≤10, ≤y≤ ①
由于乘汽車、摩托艇所需的時間和x+y應在9至14個小時之間,
即9≤x+y≤14 ②
因此,滿足①②的點(x,y)的存在范圍是圖中陰影部分(包括邊界)
(2)∵p=100+3?(5-x)+2?(8-y),
∴3x+2y=131-p
設131-p=k,那么當k最大時,p最小 在通過圖中的陰影部分區(qū)域(包括邊界)且斜率為- 的直線3x+2y=k中,使k值最大的直線必通過點(10,4),即當x=10,y=4時,p最小
此時,v=12 5,w=30,p的最小值為93元
點評:線性規(guī)劃問題首先要根據(jù)實際問題列出表達約束條件的不等式 然后分析要求量的幾何意義
例3 某礦山車隊有4輛載重量為10 t的甲型卡車和7輛載重量為6 t的乙型卡車,有9名駕駛員 此車隊每天至少要運360 t礦石至冶煉廠 已知甲型卡車每輛每天可往返6次,乙型卡車每輛每天可往返8次 甲型卡車每輛每天的成本費為252元,乙型卡車每輛每天的成本費為160元 問每天派出甲型車與乙型車各多少輛,車隊所花成本費最低?
分析:弄清題意,明確與運輸成本有關的變量的各型車的輛數(shù),找出它們的約束條件,列出目標函數(shù),用圖解法求其整數(shù)最優(yōu)解
解:設每天派出甲型車x輛、乙型車y輛,車隊所花成本費為z元,那么
z=252x+160y,
作出不等式組所表示的平面區(qū)域,即可行域,如圖
作出直線l0:252x+160y=0,把直線l向右上方平移,使其經過可行域上的整點,且使在y軸上的截距最小 觀察圖形,可見當直線252x+160y=t經過點(2,5)時,滿足上述要求
此時,z=252x+160y取得最小值,即x=2,y=5時,zmin=252×2+160×5=1304
答:每天派出甲型車2輛,乙型車5輛,車隊所用成本費最低
點評:用圖解法解線性規(guī)劃題時,求整數(shù)最優(yōu)解是個難點,對作圖精度要求較高,平行直線系f(x,y)=t的斜率要畫準,可行域內的整點要找準,最好使用“網點法”先作出可行域中的各整點
例4 設 ,式中變量 滿足條件
求 的最大值和最小值
解:由已知,變量 滿足的每個不等式都表示一個平面區(qū)域,因此①所表示的區(qū)域為如圖中的四邊形ABCD
當 過點C時, 取最小值,當 過點A時, 取最大值
即當 時, ,
當 時,
例5 某糖果公司得一條流水線不論生產與否每天都要支付3000元的固定費用,它生產1千克糖果的成本是10元,而銷售價是每千克15元,試問:每天應生產并銷售多少糖果,才能使收支平衡,即它的盈虧平衡點是多少?
解:設生產 千克的糖果的成本函數(shù)為 ,銷售 千克的糖果的收益函數(shù)為 ,在同一坐標系中畫出它們的圖像,交點的橫坐標就是反映盈虧平衡的產銷量,
令 ,得 ,
即每天必須生產并銷售600千克糖果,這條流水線才能做到盈虧平衡,從圖中可以看出,當 時, ,表示有盈利,反之則表示虧本
例6 某人有樓房一幢,室內面積共180m ,擬分隔成兩類房間作為旅游客房,大房間每間面積為18,可住游客5名,每名游客每天住宿費為40元,小房間每間面積為15,可住游客3名,每名游客每天住宿費為50元,裝修大房間每間需要1000元,裝修小房間每間需要600元,如果他們只能籌8000元用于裝修,且游客能住滿客房,它應隔出大房間和小房間各多少間,能獲最大利益?
解:設應隔出大房間 間和小房間 間,則
且 ,
目標函數(shù)為 ,
作出約束條件可行域:
根據(jù)目標函數(shù) ,
作出一組平行線
當此線經過直線
和直線 的交點 ,
此直線方程為 ,
由于 不是整數(shù),所以經過整點(3,8)時,才是他們的最優(yōu)解,同時經過整點(0,12)也是最優(yōu)解
即應隔大房間3間,小房間8間,或者隔大房間0間,小房間12間,所獲利益最大 如果考慮到不同客人的需要,應隔大房間3間,小房間8間
小結:
簡單的線性規(guī)劃在實際生產生活中應用非常廣泛,主要解決的問題是:在資源的限制下,如何使用資源來完成最多的生產任務;或是給定一項任務,如何合理安排和規(guī)劃,能以最少的資源來完成 如常見的任務安排問題、配料問題、下料問題、布局問題、庫存問題,通常解法是將實際問題轉化為數(shù)學模型,歸結為線性規(guī)劃,使用圖解法解決
圖解法解決線性規(guī)劃問題時,根據(jù)約束條件畫出可行域是關鍵的一步 一般地,可行域可以是封閉的多邊形,也可以是一側開放的非封閉平面區(qū)域 第二是畫好線性目標函數(shù)對應的平行直線系,特別是其斜率與可行域邊界直線斜率的大小關系要判斷準確 通常最優(yōu)解在可行域的頂點(即邊界線的交點)處取得,但最優(yōu)整數(shù)解不一定是頂點坐標的近似值 它應是目標函數(shù)所對應的直線平移進入可行域最先或最后經過的那一整點的坐標
學生練習
1 下列命題中正確的是
A 點(0,0)在區(qū)域x+y≥0內 B 點(0,0)在區(qū)域x+y+1<0內
C 點(1,0)在區(qū)域y>2x內 D 點(0,1)在區(qū)域x-y+1>0內
解析:將(0,0)代入x+y≥0,成立
答案:A
2 設動點坐標(x,y)滿足(x-y+1)(x+y-4)≥0,x≥3,則x2+y2的最小值為
A B C D 10
解析:數(shù)形結合可知當x=3,y=1時,x2+y2的最小值為10
答案:D
3 不等式組 2x-y+1≥0,x-2y-1≤0, x+y≤1表示的平面區(qū)域為
A 在第一象限內的一個無界區(qū)域 B 等腰三角形及其內部
C 不包含第一象限內的點的一個有界區(qū)域 D 正三角形及其內部
答案:B
4 點(-2,t)在直線2x-3y+6=0的上方,則t的取值范圍是______
解析:(-2,t)在2x-3y+6=0的上方,則2×(-2)-3t+6<0,解得t> 答案:t>
5 不等式組 表示的平面區(qū)域內的整點(橫坐標和縱坐標都是整數(shù)的點)共有____________個
解析:(1,1),(1,2),(2,1),共3個 答案:3
6 (x-1)2+(y-1)2=1是|x-1|+|y-1|≤1的__________條件
A 充分而不必要 B 必要而不充分C 充分且必要 D 既不充分也不必要
答案:B
7(x+2y+1)(x-y+4)≤0表示的平面區(qū)域為
A B C D
答案:B
8 畫出以A(3,-1)、B(-1,1)、C(1,3)為頂點的△ABC的區(qū)域(包括各邊),寫出該區(qū)域所表示的二元一次不等式組,并求以該區(qū)域為可行域的目標函數(shù)z=3x-2y的最大值和最小值
分析:本例含三個問題:①畫指定區(qū)域;②寫所畫區(qū)域的代數(shù)表達式??不等式組;③求以所寫不等式組為約束條件的給定目標函數(shù)的最值
解:如圖,連結點A、B、C,則直線AB、BC、CA所圍成的區(qū)域為所求△ABC區(qū)域
直線AB的方程為x+2y-1=0,BC及CA的直線方程分別為x-y+2=0,2x+y-5=0
在△ABC內取一點P(1,1),
分別代入x+2y-1,x-y+2,2x+y-5
得x+2y-1>0,x-y+2>0,2x+y-5<0
因此所求區(qū)域的不等式組為
x+2y-1≥0,x-y+2≥0,2x+y-5≤0
作平行于直線3x-2y=0的直線系3x-2y=t(t為參數(shù)),即平移直線y= x,觀察圖形可知:當直線y= x- t過A(3,-1)時,縱截距- t最小 此時t最大,tmax=3×3-2× (-1)=11;
當直線y= x- t經過點B(-1,1)時,縱截距- t最大,此時t有最小值為tmin= 3×(-1)-2×1=-5
因此,函數(shù)z=3x-2y在約束條件
x+2y-1≥0,x-y+2≥0,2x+y-5≤0下的最大值為11,最小值為-5
9 某;锸抽L期以面粉和大米為主食,面食每100 g含蛋白質6個單位,含淀粉4個單位,售價0 5元,米食每100 g含蛋白質3個單位,含淀粉7個單位,售價0 4元,學校要求給學生配制盒飯,每盒盒飯至少有8個單位的蛋白質和10個單位的淀粉,問應如何配制盒飯,才既科學又費用最少?
解:設每盒盒飯需要面食x(百克),米食y(百克),
所需費用為S=0 5x+0 4y,且x、y滿足
6x+3y≥8,4x+7y≥10,x≥0,y≥0,
由圖可知,直線y=- x+ S過A( , )時,縱截距 S最小,即S最小
故每盒盒飯為面食 百克,米食 百克時既科學又費用最少
10 配制A、B兩種藥劑,需要甲、乙兩種原料,已知配一劑A種藥需甲料3 mg,乙料5 mg;配一劑B種藥需甲料5 mg,乙料4 mg 今有甲料20 mg,乙料25 mg,若A、B兩種藥至少各配一劑,問共有多少種配制方法?
解:設A、B兩種藥分別配x、y劑(x、y∈N),則
x≥1,y≥1,3x+5y≤20,5x+4y≤25
上述不等式組的解集是以直線x=1,y=1,3x+5y=20及5x+4y=25為邊界所圍成的區(qū)域,這個區(qū)域內的整點為(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)、(3,2)、(4,1) 所以,在至少各配一劑的情況下,共有8種不同的配制方法.
11 某公司計劃在今年內同時出售變頻空調機和智能洗衣機,由于這兩種產品的市場需求量非常大,有多少就能銷售多少,因此該公司要根據(jù)實際情況(如資金、勞動力)確定產品的月供應量,以使得總利潤達到最大 已知對這兩種產品有直接限制的因素是資金和勞動力,通過調查,得到關于這兩種產品的有關數(shù)據(jù)如下表:
資 金單位產品所需資金(百元)月資金供應量(百元)
空調機洗衣機
成 本3020300
勞動力(工資)510110
單位利潤68
試問:怎樣確定兩種貨物的月供應量,才能使總利潤達到最大,最大利潤是多少?
解:設空調機、洗衣機的月供應量分別是x、y臺,總利潤是P,則P=6x+8y,由題意有
30x+20y≤300,5x+10y≤110,x≥0,y≥0,x、y均為整數(shù)
由圖知直線y=- x+ P過M(4,9)時,縱截距最大 這時P也取最大值Pmax=6×4+8×9=96(百元)
故當月供應量為空調機4臺,洗衣機9臺時,可獲得最大利潤9600元
12 實系數(shù)方程f(x)=x2+ax+2b=0的一個根在(0,1)內,另一個根在(1,2)內,求:
(1) 的值域;
(2)(a-1)2+(b-2)2的值域;
(3)a+b-3的值域
解:由題意知
f(0)>0,f(1)<0,f(2)>0 b>0,a+b+1<0,a+b+2>0
如圖所示 A(-3,1)、B(-2,0)、C(-1,0)
又由所要求的量的幾何意義知,值域分別為(1)( ,1);(2)(8,17);(3)(-5,-4)
本文來自:逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaoer/54738.html
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