一、進一步理解并應(yīng)用球的性質(zhì)
球的性質(zhì)是圓的性質(zhì)在空間中的延伸，中，應(yīng)要求學(xué)生在熟練掌握圓的性質(zhì)的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出球的性質(zhì)，進而使學(xué)生在解決與球有關(guān)的問題中學(xué)會用“變未知為已知”的轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，將空間的球變?yōu)槠矫娴膱A去解決.下面，試舉兩例，供讀者體會.
［例1］已知球的兩個平行截面分別為5π和8π,它們位于球心的同側(cè)，且距離等于1，求這個球的半徑.
分析：作出球的軸截面，實現(xiàn)空間圖形平面化，進而利用圓的性質(zhì)去解決問題.
解：如圖所示，設(shè)這兩個截面的半徑分別為r1、r2,球心到截面距離分別為d1、d2,球半徑為R，則πr12=5π,πr22=8π,∴r12=5,r22=8.
又∵R2=r12+d12=r22+d22,
∴d12-d22=8-5=3,
即（d1-d2)(d1+d2)=3.
又d1-d2=1,
∴ 解得
∴R= = =3.
評述：以上例題中體現(xiàn)了空間球的“與截面垂直的直徑過截面圓的圓心”到平面圓的“與弦垂直的直徑過弦的中點”及“球半徑2=球心到截面圓的距離2+截面圓的半徑2”到“圓半徑2=圓心到弦的距離2+弦長的一半2”的等價轉(zhuǎn)化思想.
［例2］球面上有三個點，其中任意兩點的球面距離都等于大圓周長的 ，經(jīng)過這三個點的小圓的周長為4π,求這個球的半徑.
分析：解決這個問題的關(guān)鍵是將已知條件中的“任意兩點的球面距離等于大圓周長的 ”與“經(jīng)過這三個點的小圓周長為4π”，轉(zhuǎn)化成平面圖形圖中的問題去解決.
解：如圖所示，設(shè)這三個點是A、B、C，球半徑為R，A、B、C所在的小圓半徑為r,則2πr=4π,∴r=2.
又∵A、B、C三點中任意兩點的球面距離是大圓周長的 ，
∴球心角∠AOB=∠AOC=∠COA= .
又OA=OB=OC=R，∴AB=BC=CA=R.
∴△ABC是半徑為2的圓O′的內(nèi)接三角形.
∴△ABC的高為3.
∴AB=R=2 .
評述：(1)本題通過將“兩點的球面距離等于大圓周長的 ”轉(zhuǎn)化成“兩點間的線段長等于球的半徑”，將“經(jīng)過三個點的小圓周長為4π,求球的半徑”轉(zhuǎn)化成“求周長為4π的圓的內(nèi)接正三角形的邊長”，從而將球面上兩點間的距離、弧長公式及圓內(nèi)接正三角形三者作為整體，體現(xiàn)了等價化歸的數(shù)學(xué)思想，實現(xiàn)了問題的解決.
(2)將舊知識靈活巧妙地應(yīng)用到新問題中，需有牢固的基礎(chǔ)和一定的變通能力，這是我們在中應(yīng)引起重視的一個重要方面.
二、“兩點間的球面距離”的學(xué)習(xí)
1.在“兩點間的球面距離”的教學(xué)中，應(yīng)注意些什么？
答：(1)球面上兩點間的距離，必須是在球的過此兩點的大圓中求此兩點所對應(yīng)的劣弧的長度，而不能在過此兩點的球的小圓中求.
(2)球面上兩點間的距離指的是球面上兩點之間的最短距離.
2.球面上兩點間的距離的求法.
設(shè)球面上兩點間的球心角為α弧度，球半徑為R，則球面上兩點間距離為α?R,所以求球面上兩點間距離的關(guān)鍵是確定球心角.
(1)兩點在同一經(jīng)線圓上，可直接計算兩點間的劣弧長度.
(2)兩點在同一緯線圓上，先求弦長，由余弦定理求球心角，化為弧度，再用l=α?r可求得.
(3)兩點經(jīng)緯度都不同時，用異面直線上兩點間距離公式求弦長，再由余弦定理求球心角.對于這一種情況，高考不作要求.
［例3］設(shè)地球半徑為R，城市A位于東經(jīng)90°，北緯60°，城市B位于東經(jīng)150°，北緯60°，求城市A與城市B之間的距離.
分析：因所求A、B兩點在同一緯線圓上，故需先求出弦長，由余弦定理求球心角，再用l=α?r求得A、B兩點間的球面距離.
解：如圖，設(shè)北緯60°緯度圓圓心為O′，則∠AO1B=60°,
∵r=R?cos60°= R,
∴AB= R.
在△AOB中，
cosAOB= = = ,
∴∠AOB=arccos .
∴過A、B的大圓的劣弧長為R?arccos .
∴A、B的球面距離為R?arccos .
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一、球體積公式的學(xué)習(xí)
球體積公式敘述了球的體積與球半徑之間的函數(shù)關(guān)系，即V（R）= πR3,教學(xué)中應(yīng)要求學(xué)生熟練掌握在各種不同條件下求出球的半徑，進而求出球的體積方法.下面，我們通過例題的分析,體會不同條件下對球半徑R不同的求法.
［例1］一個體積為8的正方體的各個頂點都在球面上，則此球的體積是
A. πB.4 π
C. πD.4( +1)π
分析：正方體內(nèi)接于球，則由球及正方體都是中心對稱圖形知，它們的中心重合，這樣就找到了正方體的對角線與球直徑相等這一重要關(guān)系.
解：∵正方體的體積是8,
∴正方體的棱長為2.
又∵球的半徑與內(nèi)接正方體棱長的關(guān)系為2r= a,
∴r= .
∴球的體積V= π( )2=4 π.
答案：B
評述：此題的關(guān)鍵是尋找球半徑與其內(nèi)接正方體棱長之間的關(guān)系.
［例2］正三棱錐P?ABC的側(cè)棱長為l,兩側(cè)棱的夾角為2α，求它的外接球的體積.
分析：利用正三棱錐的性質(zhì)及平面幾何知識求出球的半徑.
解：如圖所示，作PD⊥底面ABC于D，則D為正△ABC的中心.
∵OD⊥底面ABC，
∴P、O、D三點共線.
∵PA=PB=PC=l,∠APB=2α,
∴AB= =2lsinα.
∴AD= AB= lsinα.
再設(shè)∠APD=β，作OE⊥PA于E點，
在Rt△APD中，
∵sinβ= = sinα,
又OP=OA=R，
∴PE= PA= l.
在Rt△POE中，
∵R=PO= = ,
∴V球= π［ ］3.
∴V球= .
評述：此題應(yīng)準確把握圖形的特點，找出幾何體內(nèi)各個元素之間的關(guān)系，進而求出球的半徑.
［例3］一個高為16的圓錐內(nèi)接于一個體積為972π的球，在圓錐內(nèi)又有一個內(nèi)切球.
求：（１）圓錐的側(cè)面積；
（２）圓錐內(nèi)切球的體積.
分析：作出軸截面圖，將問題轉(zhuǎn)化為已知△ABC的外接圓半徑和高，求它的邊AB、BC的長和內(nèi)切圓半徑，可通過平面幾何知識解決.
解：（1）如圖所示，作出軸截面，則等腰三角形SAB內(nèi)接于⊙O，而⊙O1內(nèi)切于△SAB.
設(shè)⊙O的半徑為R，則有
πR3=972π.
∴R3=729,R=9.
∴SE=18.
已知SD=16,
∴ED=2.連結(jié)AE，則由SE是直徑，SA⊥AE，SA2=SD?SE=18?16=288，
∴SA=12 .
∵AB⊥SD，
∴AD2=SD?DE=16×2=32.
∴AD=4 .
∴S圓錐側(cè)=π?4 ?12 =96π.
(2)設(shè)內(nèi)切球O1的半徑為r,
∵△SAB的周長為2（12 +4 ）=32 ,
∴ r×32 = ×8 ×16.
∴r=4.
∴內(nèi)切球O1的體積V球= πr3= π.
評述：(1)在處理與球有關(guān)的相接切問題時，一般要通過作一適當?shù)慕孛�，將問題由立體轉(zhuǎn)化為平面問題解決，而這類截面常指的是圓錐的軸截面、球的大圓等.
(2)通過此例的分析，應(yīng)使學(xué)生注意歸納、總結(jié)解決數(shù)學(xué)綜合性較強的問題的規(guī)律和 方法.
二、參考練習(xí)題
1.球與正四面體的6條棱都相切，則球與正四面體的體積比是多少？
解：如圖所示，設(shè)正四面體棱長為a,球半徑為R，取AB中點E，CD中點F，連結(jié)AF、CF，則AF=BF= ,
∴EF⊥AB.同理可得EF⊥CD.
∴EF是AB、CD的公垂線.
∴EF是AB、CD的距離,
EF= = = a.
又∵球與正四面體的6條棱都相切,
∴EF是該球的直徑，即2R= a.
∴R3= a3.
∴V球= πR3= π? a3= πa3.
又V正四面體= a3,
∴V球∶V正四面體=π∶2.
2.棱長為a的正四棱錐的外接球的體積是多少？
解：如圖所示，設(shè)正四棱錐P?ABCD，作PO⊥平面ABCD，則O為正方形ABCD的中心，
∴OA=OB=OC=OD= a.
又∵PA=PC=a,AC= a,
∴∠APC=90°.
∵O為AC的中點，
∴OP= a.
∵點O到A、B、C、D的距離相等,
∴球半徑R=OA= a.
∴V球= π?( a)3= πa3.
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一、球表面積公式的學(xué)習(xí)
球的表面積公式敘述了球的表面積與球半徑之間的函數(shù)關(guān)系，即S（R）=4πR2,教學(xué)中應(yīng)要求學(xué)生熟練掌握在各種不同條件下求出球的半徑，進而求出球的表面積.下面，我們通過例題的分析體會不同條件下對球半徑R的不同求法.
［例1］正方體的全面積是a2,它的頂點都在這個球面上，則這個球的表面積是
A. B.
C.2πa2D.3πa2
分析：正方體內(nèi)接于球，則由球及正方體都是中心對稱圖形知，它們的中心重合，這樣，就找到正方體的對角線與球直徑相等這一結(jié)論了.
解：設(shè)球的半徑為R，則正方體的對角線長為2R.
依題意， R2= a2,
即R2= a2.
∴S球=4πR2=4π? a2= .
答案：B
［例2］長方體一個頂點上三條棱的長分別為3、4、5，且它的八個頂點都在同一個球面上，這個球的表面積是
A.20 πB.25 π
C.50πD.200π
分析：由長方體內(nèi)接于球可以得到長方體的對角線長等于球的直徑.
解：設(shè)球的半徑為R，則（2R）2=32+42+52.
∴R2= .
∴S球表面積=4πR2=4π? =50π.
答案：C
［例3］已知過球面上A、B、C三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=2，則球面面積是
A. πB. π
C.4πD. π
分析：設(shè)球心是O，可借助三棱錐O?ABC進行分析解決，三棱錐O?ABC是正三棱錐，OD是高，OA等于球的半徑R，AB=BC=CA=2，為求球面積S，只需求出R即可.
解：∵D是正△ABC的中心,
∴AD是△ABC的外接圓半徑.
∵AD= = ,
又OD= R= OA，
OA2=OD2+AD2,
∴R2= R2+ .
∴R2= .
∴球面積S=4πR2= π.
答案：D
［例4］長方體的共頂點的三個側(cè)面面積分別為 、 、 ，則它的外接球的表面積為________.
分析：根據(jù)球內(nèi)接長方體的體對角線與球直徑相等及矩形面積公式求得球半徑.
解：設(shè)長方體的有公共頂點的三條側(cè)棱長分別為x、y、z,則由已知有
解得
∴球的半徑R= AB= = .
∴S球=4πR2=9π.
［例5］在球心同側(cè)有相距9 cm的兩個平行截面，它們的面積分別為49π cm2和 400π cm2,求球的表面積.
分析：畫出球的軸截面，利用球的截面性質(zhì)，求球的半徑.
解：如圖，圓O為球的軸截面，由球的截面性質(zhì)知，
AO1∥BO2，且若O1、O2分別為兩截面圓的圓心，則OO1⊥AO1，OO2⊥BO2，設(shè)球半徑為R.
∵π?O2B2=49π,∴O2B=7 cm.
同理π?O1A2=400π.∴O1A=20 cm.
設(shè)OO1=x cm,則OO2=（x+9) cm.
在Rt△OO1A 中，R2=x2+202;
在Rt△OO2B中，R2=（x+9)2+72,
∴x2+20=72+(x+9)2,解得x=15.
∴R2=x2+202=252.∴R=25.
∴S球=4πR2=2500π cm2.
∴球的表面積為2500π cm2.
評述：(1)例1、例4解決的關(guān)鍵在于分析球半徑與其內(nèi)接長方體的對角線之間的關(guān)系，從而求出球半徑.
(2)如果能注意到例3是一選擇題，則除用以上方法計算求出答案外，還可以用估值方法作出判斷：設(shè)球半徑為R，球面積是S，根據(jù)棱錐和三角形的性質(zhì)，有R=OA>AD> AB=1,
∴S=4πR2>4π.∴可排除A、B、C.
顯然，這種方法帶給我們簡潔、明快的感覺，同時也提高了做題的速度.
二、與圓錐的內(nèi)切球有關(guān)的問題的處理方法
在遇到圓錐的內(nèi)切球問題時，常常引進母線與底面所成的角為參數(shù)，使得圓錐的底面半徑和高均可用這個參數(shù)表示出來，進而使問題獲解.
［例6］如圖所示，已知P是以AB為直徑的半圓上的一點，過P作半圓的切線，分別交直徑BA的延長線于S點，交過B的半圓的切線于C點，將圖形繞SB旋轉(zhuǎn)一周，得到一個圓錐和一個球，若球的表面積為4π,求當圓錐的體積最小時，該圓錐的表面積.
分析：求出圓錐體積最小時的圓錐形狀是解決問題的關(guān)鍵，而圓錐的體積則與它的底面半徑及高有關(guān)，因此需要由已知條件列出圓錐體積與其底面半徑和高的函數(shù)關(guān)系，使問題得到解決.
解：圖中SDC為圓錐的軸截面，設(shè)球半徑為r,∵S球=4π,∴r=1.
連結(jié)OC，設(shè)∠SCB=2θ，則∠OCD=θ,
∴圓錐底面半徑BC=cotθ,圓錐的高SB=cotθ?tan2θ,
圓錐的體積V= π(cotθ)2?tan2θ?cotθ= ? .
由0<2θ< ,∴0<θ< .
∴tan2θ<1,1-tan2θ>0.
由0
此時，圓錐表面積S=π?BC2+π?BC?SC=π?( )2+π? =8π.
評述：(1)以上例題中，通過設(shè)圓錐母線與底面所成角為２θ，使圓錐的底面半徑與高均可用θ表示出來，將體積化為θ的函數(shù)，再運用平均不等式求最值.
(2)運用平均不等式求最值時，要注意其條件，特別是取等號的條件不可忽視.
(3)對于以上tan2θ(1-tan2θ),也可用二次函數(shù)求它的最大值，從而得到體積的最小值.而圓錐的形狀也可由SA的大小決定，設(shè)為x，則圓錐的高為x+2,底面半徑也用x表示.
∵BC=PC，SP2=SA?SB,
∴BC= .
∴V= π?( )2?(x+2).
當V取最小值時，x=2.
(4)對本課時教案例2的處理也可用以下方法得到處理：
設(shè)圓錐底面半徑為r,母線長為l,內(nèi)切球半徑為R，設(shè)∠OAO1=θ，則由切線的性質(zhì)可得∠SAO=∠OAO1=θ,∠SAO1=2θ,
∴r=Rcotθ,l= = .
∴πR2cot2θ+π?Rcotπ? =2?4πR2.
∴cot2θ+ =8.∴1+ =8tan2θ,
即 =8? .
∴9cos22θ-6cos2θ+1=0.
∴cos2θ= .
∴ = = =3.
●備課資料
與球有關(guān)的綜合問題的解決方法
與球有關(guān)的綜合問題，常常體現(xiàn)在球與
其他幾何體相接切問題中，它是知識與能力的結(jié)合，要求我們對球的定義及其性質(zhì)熟練掌握,并要注意挖掘知識的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律，通過對知識的重新組合，達到鞏固知識、提升能力的目的.下面通過對例題的分析，體會其中的數(shù)學(xué)思想與方法.
［例題］圓錐的內(nèi)切球半徑為r,求圓錐體積的最小值.
分析：通過作圓錐的軸截面及它截內(nèi)切球所得的截面圓，尋找圓錐與球之間的主要元素關(guān)系，使問題獲解.
解：如圖，設(shè)圓錐母線與底面所成的角為2α，則圓錐的底面半徑R= ,
高h=R?tan2α= ? = .
圓錐的體積V= πR2h= π ?
= πr3? ≥ πr3 = πr3.
當且僅當tan2α=1-tan2α,
即tanα= ,α=arctan 時，取等號.
又∵0<α< ,∴arctan ∈(0, ).
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaoer/64236.html
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