第二十四教時
教材:倍角公式,推導(dǎo)“和差化積”及“積化和差”公式
目的:繼續(xù)復(fù)習(xí)鞏固倍角公式,加強(qiáng)對公式靈活運(yùn)用的訓(xùn)練;同時,讓學(xué)生推導(dǎo)出和差化積和積化和差公式,并對此有所了解。
過程:
一、復(fù)習(xí)倍角公式、半角公式和萬能公式的推導(dǎo)過程:
例一、已知 , ,tan = ,tan = ,求2 +
解: ∴
又∵tan2 < 0,tan < 0 ∴ ,
∴ ∴2 + =
例二、已知sin cos = , ,求 和tan的值
解:∵sin cos = ∴
化簡得: ∴
∵ ∴ ∴ 即
二、積化和差公式的推導(dǎo)
sin( + ) + sin( ) = 2sincos sincos = [sin( + ) + sin( )]
sin( + ) sin( ) = 2cossin cossin = [sin( + ) sin( )]
cos( + ) + cos( ) = 2coscos coscos = [cos( + ) + cos( )]
cos( + ) cos( ) = 2sinsin sinsin = [cos( + ) cos( )]
這套公式稱為三角函數(shù)積化和差公式,熟悉結(jié)構(gòu),不要求記憶,它的優(yōu)點(diǎn)在于將“積式”化為“和差”,有利于簡化計算。(在告知公式前提下)
例三、求證:sin3sin3 + cos3cos3 = cos32
證:左邊 = (sin3sin)sin2 + (cos3cos)cos2
= (cos4 cos2)sin2 + (cos4 + cos2)cos2
= cos4sin2 + cos2sin2 + cos4cos2 + cos2cos2
= cos4cos2 + cos2 = cos2(cos4 + 1)
= cos22cos22 = cos32 = 右邊
∴原式得證
三、和差化積公式的推導(dǎo)
若令 + = , = φ,則 , 代入得:
∴
這套公式稱為和差化積公式,其特點(diǎn)是同名的正(余)弦才能使用,它與積化和差公式相輔相成,配合使用。
例四、已知cos cos = ,sin sin = ,求sin( + )的值
解:∵cos cos = ,∴ ①
sin sin = ,∴ ②
∵ ∴ ∴
∴
四、小結(jié):和差化積,積化和差
五、作業(yè): P40 1—3
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