第Ⅰ卷(,共50分)
一、(本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1.下列命題是真命題的是( )
A、“若 ,則 ”的逆命題; B、“若 ,則 ”的否命題;
C、“若 ,則 ”的逆否命題 D、“若 ,則 ”的逆否命題
2.“ 且 ”是“ ”的 ( 。
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C. 充要條件 D.既不充分也不必要條件
3.拋物線 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( )
(A) (B) (C) (D)
4.設(shè)f(x)是一個(gè)三次函數(shù),f′(x)為其導(dǎo)函數(shù),如圖所示的是y=x?f′(x)的圖象的一部分,則f(x)的極大值與極小值分別是( )
A.f(1)與f(-1) B.f(-1)與f(1)
C.f(-2)與f(2) D.f(2)與f(-2)
5.函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間為( )
(A) (B) (C) (D)
6.雙曲線 - =1的兩條漸近線互相垂直,那么它的離心率為( )
A. B. C.2D.
7.已知正方形 的頂點(diǎn) 為橢圓的焦點(diǎn),頂點(diǎn) 在橢圓上,則此橢圓的離心率為( )
A. B. C. D.
8. 若關(guān)于x的不等式x3-3x2-9x+2≥m對(duì)任意x∈[-2,2]恒成立,則m的取值范圍是 ( )
A.(-∞,7] B.(-∞,-20]
C.(-∞,0] D.[-12,7]
9.若直線 和圓 無(wú)公共點(diǎn),則過點(diǎn) 的直線 與橢圓 的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 ( )
A.至多一個(gè) B.2個(gè) C.1個(gè) D. 0個(gè)
10.若橢圓 和雙曲線 有相同的焦點(diǎn)F1、F2,P是兩曲線的交點(diǎn),則 的值是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非選擇題,共100分)
二、題(本大題共7個(gè)小題,每小題5分,共35分)
11.雙曲線 的實(shí)軸長(zhǎng)是 .
12.設(shè)曲線y=1+cosxsinx在點(diǎn)π2,1處的切線與直線x-ay+1=0平行,則實(shí)數(shù)a等于 ;
13.雙曲線 的左、右焦點(diǎn)分別為 ,過 的直線與左支相交與于A,B兩點(diǎn),若 ,則 ______.
14.若拋物線頂點(diǎn)為 ,對(duì)稱軸為 軸,焦點(diǎn)在 上那么拋物線的方程為 ;
15.已知 : , :方程 表示雙曲線,若 為真命題,則 的取值范圍為 ;
16.命題“ ”為假命題,則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 .
17.已知雙曲線 的左、右焦點(diǎn)分別為 ,拋物線 與雙曲線 有相同焦點(diǎn), 與 在第一象限相交于點(diǎn) ,且 ,則雙曲線 的離心率為 .
三.解答題(本大題共5小題,共65分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟。)
18.(12分)
已知命題 :方程 的圖象是焦點(diǎn)在 軸上的橢圓;命題 : 在 上是單調(diào)遞增函數(shù);又 為真, 為真,求實(shí)數(shù) 的取值范圍。
19. (12分) 求兩條漸近線為 且截直線 所得弦長(zhǎng)為 的雙曲線方程.
20.(13分)已知函數(shù) 的圖象過點(diǎn) ,且在點(diǎn) 處的切線與直線 垂直.
(1)求實(shí)數(shù) 的值;
(2)求 在 上的最大值;
21.(14分)已知點(diǎn) 是圓 上任意一點(diǎn),過點(diǎn) 作 軸的垂線,垂足為 ,點(diǎn) 滿足 ,記點(diǎn) 的軌跡為曲線 .
(1)求曲線 的方程;
(2)設(shè) ,點(diǎn) 、 在曲線 上,且直線 與直線 的斜率之積為 ,求證:直線MN過定點(diǎn).
22.(14分)已知函數(shù) = ,在 處取得極值2。
(1)求函數(shù) 的解析式;
(2) 滿足什么條件時(shí),區(qū)間 為函數(shù) 的單調(diào)增區(qū)間?
(3)若 為 = 圖象上的任意一點(diǎn),直線 與 = 的圖象切于 點(diǎn),求直線 的斜率的取值范圍。
22.解:(1)當(dāng) 時(shí), , 由題意得 ,解得 ; --- --3分
(2)由(1),知 ,①當(dāng) 時(shí), ,由 ,得 ;由 ,得 或 ;所以 在 和 上單調(diào)遞減,在 上單調(diào)遞增。因?yàn)?, , ,則 在 上的最大值為2.
②當(dāng) 時(shí), ,當(dāng) 時(shí), ;當(dāng) 時(shí), 在 上單調(diào)遞增;所以 在 上的最大值為 .
故當(dāng) 時(shí) 在 上的最大值為 ;當(dāng) 時(shí) 在 上的最大值為2. ----6分
(3)假設(shè)曲線 上存在兩點(diǎn) , 滿足題意,則 , 只能在 軸兩側(cè),因?yàn)?是以O(shè)為頂點(diǎn)的直角三角形,所以 ,
不妨設(shè) ,則 ,且 ,即 。(*)
是否存在 , 等價(jià)于方程(*)是否有解。
若 ,則 ,代入方程的(*),得 ,此方程無(wú)實(shí)數(shù)解。當(dāng) 時(shí),則 ,代入方程的(*),得 ,設(shè) ,則 在 上恒成立,所以 在 上單調(diào)遞增,從而 ,則 的值域?yàn)?。
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