一、
1．下列說法正確的是( )
A．由合情推理得出的結論一定是正確的
B．合情推理必須有前提有結論
C．合情推理不能猜想
D．合情推理得出的結論無法判定正誤
[答案] B
[解析] 由合情推理得出的結論不一定正確，A不正確；B正確；合情推理的結論本身就是一個猜想，C不正確；合情推理結論可以通過證明來判定正誤，D也不正確，故應選B.
2．下面幾種推理是合情推理的是( )
①由圓的性質類比出球的有關性質
②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內角和是180°，歸納出所有三角形的內角和都是180°
③教室內有一把椅子壞了，則該教室內的所有椅子都壞了
④三角形內角和是180°，四邊形內角和是360°，五邊形內角和是540°，由此得出凸多邊形的內角和是(n－2)?180°
A．①②
B．①③④
C．①②④
D．②④
[答案] C
[解析]�、偈穷惐韧评�；②④都是歸納推理，都是合情推理．
3．三角形的面積為S＝12(a＋b＋c)?r，a、b、c為三角形的邊長，r為三角形內切圓的半徑，利用類比推理，可以得到四面體的體積為( )
A．V＝13abc
B．V＝13Sh
C．V＝13(S1＋S2＋S3＋S4)r，(S1、S2、S3、S4分別為四面體四個面的面積，r為四面體內切球的半徑)
D．V＝13(ab＋bc＋ac)h(h為四面體的高)
[答案] C
[解析] 邊長對應表面積，內切圓半徑應對應內切球半徑．故應選C.
4．類比平面內正三角形的“三邊相等，三內角相等”的性質，可推知正四面體的下列哪些性質，你認為比較恰當?shù)氖? )
①各棱長相等，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等
②各個面都是全等的正三角形，相鄰兩個面所成的二面角都相等
③各個面都是全等的正三角形，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等
A．①
B．①②
C．①②③
D．③
[答案] C
[解析] 正四面體的面(或棱)可與正三角形的邊類比，正四面體的相鄰兩面成的二面角(或共頂點的兩棱的夾角)可與正三角形相鄰兩邊的夾角類比，故①②③都對．
5．類比三角形中的性質：
(1)兩邊之和大于第三邊
(2)中位線長等于底邊的一半
(3)三內角平分線交于一點
可得四面體的對應性質：
(1)任意三個面的面積之和大于第四個面的面積
(2)過四面體的交于同一頂點的三條棱的中點的平面面積等于第四個面面積的14
(3)四面體的六個二面角的平分面交于一點
其中類比推理方法正確的有( )
A．(1)
B．(1)(2)
C．(1)(2)(3)
D．都不對
[答案] C
[解析] 以上類比推理方法都正確，需注意的是類比推理得到的結論是否正確與類比推理方法是否正確并不等價，方法正確結論也不一定正確．
6．由代數(shù)式的法則類比推導向量的數(shù)量積的運算法則：
①“mn＝nm”類比得到“a?b＝b?a”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得到“(a＋b)?c＝a?c＋b?c”；
③“(m?n)t＝m(n?t)”類比得到“(a?b)?c＝a?(b?c)”；
④“t≠0，mt＝xt?m＝x”類比得到“p≠0，a?p＝x?p?a＝x”；
⑤“m?n＝m?n”類比得到“a?b＝a?b”；
⑥“acbc＝ab”類比得到“a?cb?c＝ab”．
以上式子中，類比得到的結論正確的個數(shù)是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
[答案] B
[解析] 由向量的有關運算法則知①②正確，③④⑤⑥都不正確，故應選B.
7．(2010?浙江溫州)如圖所示，橢圓中心在坐標原點，F(xiàn)為左焦點，當FB→⊥AB→時，其離心率為5－12，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”．類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于( )
A.5＋12
B.5－12
C.5－1
D.5＋1
[答案] A
[解析] 如圖所示，設雙曲線方程為x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，
則F(－c,0)，B(0，b)，A(a,0)
∴FB→＝(c，b)，AB→＝(－a，b)
又∵FB→⊥AB→，∴FB→?AB→＝b2－ac＝0
∴c2－a2－ac＝0
∴e2－e－1＝0
∴e＝1＋52或e＝1－52(舍去)，
故應選A.
8．六個面都是平行四邊形的四棱柱稱為平行六面體．如圖甲，在平行四邊形ABD中，有AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)，那么在圖乙中所示的平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AC21＋BD21＋CA21＋DB21等于( )
A．2(AB2＋AD2＋AA21)
B．3(AB2＋AD2＋AA21)
C．4(AB2＋AD2＋AA21)
D．4(AB2＋AD2)
[答案] C
[解析] AC21＋BD21＋CA21＋DB21
＝(AC21＋CA21)＋(BD21＋DB21)
＝2(AA21＋AC2)＋2(BB21＋BD2)
＝4AA21＋2(AC2＋BD2)
＝4AA21＋4AB2＋4AD2，故應選C.
9．下列說法正確的是( )
A．類比推理一定是從一般到一般的推理
B．類比推理一定是從個別到個別的推理
C．類比推理是從個別到個別或一般到一般的推理
D．類比推理是從個別到一般的推理
[答案] C
[解析] 由類比推理的定義可知：類比推理是從個別到個別或一般到一般的推理，故應選C.
10．下面類比推理中恰當?shù)氖? )
A．若“a?3＝b?3，則a＝b”類比推出“若a?0＝b?0，則a＝b”
B．“(a＋b)c＝ac＋bc”類比推出“(a?b)c＝ac?bc”
C．“(a＋b)c＝ac＋bc”類比推出“a＋bc＝ac＋bc(c≠0)”
D．“(ab)n＝anbn”類比推出“(a＋b)n＝an＋bn”
[答案] C
[解析] 結合實數(shù)的運算知C是正確的．
二、題
11．設f(x)＝12x＋2，利用課本中推導等差數(shù)列前n項和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值為________．
[答案] 32
[解析] 本題是“方法類比”．因等比數(shù)列前n項和公式的推導方法是倒序相加，亦即首尾相加，那么經類比不難想到f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝[f(－5)＋f(6)]＋[f(－4)＋f(5)]＋…＋[f(0)＋f(1)]，
而當x1＋x2＝1時，有f(x1)＋f(x2)＝
＝12＝22，故所求答案為6×22＝32.
12．(2010?廣州高二檢測)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，對于bn＝1n(a1＋a2＋…＋an)，則數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列．類比上述性質，若數(shù)列{cn}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，對于dn>0，則dn＝________時，數(shù)列{dn}也是等比數(shù)列．
[答案] nc1?c2?…?cn
13．在以原點為圓心，半徑為r的圓上有一點P(x0，y0)，則過此點的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2，而在橢圓x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)中，當離心率e趨近于0時，短半軸b就趨近于長半軸a，此時橢圓就趨近于圓．類比圓的面積公式，在橢圓中，S橢＝________.類比過圓上一點P(x0，y0)的圓的切線方程，則過橢圓x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上一點P(x1，y1)的橢圓的切線方程為________．
[答案] π?a?b；x1a2?x＋y1b2?y＝1
[解析] 當橢圓的離心率e趨近于0時，橢圓趨近于圓，此時a，b都趨近于圓的半徑r，故由圓的面積S＝πr2＝π?r?r，猜想橢圓面積S橢＝π?a?b，其嚴格證明可用定積分處理．而由切線方程x0?x＋y0?y＝r2變形得x0r2?x＋y0r2?y＝1，則過橢圓上一點P(x1，y1)的橢圓的切線方程為x1a2?x＋y1b2?y＝1，其嚴格證明可用導數(shù)求切線處理．
14．在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立，類比上述性質，相應地：在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則有等式__________成立．
[答案] b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)
[解析] 解法1：從分析所提供的性質入手：由a10＝0，可得ak＋a20－k＝0，因而當n<19－n時，有a1＋a2＋…＋a19－n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋a19－n，
而an＋1＋an＋2＋…＋a19－n＝(19－2n)(an＋1＋a19－n)2＝0，∴等式成立．同理可得n>19－n時的情形．
由此可知：等差數(shù)列{an}之所以有等式成立的性質，關鍵在于在等差數(shù)列中有性質：an＋1＋a19－n＝2a10＝0，類似地，在等比數(shù)列{bn}中，也有性質：bn＋1?b17－n＝b29＝1，因而得到答案：b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)．
解法2：因為在等差數(shù)列中有“和”的性質a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n＜19，n∈N*)成立，故在等比數(shù)列{bn}中，由b9＝1，可知應有“積”的性質b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)成立. (1)
證明如下：當n＜8時，等式(1)為b1b2…bn＝b1b2…bnbn＋1…b17－n
即：bn＋1?bn＋2…b17－n＝1.(2)
∵b9＝1，∴bk＋1?b17－k＝b29＝1.
∴bn＋1bn＋2…b17－n＝b17－2n9＝1.
∴(2)式成立，即(1)式成立；
當n＝8時，(1)式即：b9＝1顯然成立；
當8＜n＜17時，(1)式即：
b1b2…b17－n?b18－n?…bn＝b1b2…b17－n
即：b18－n?b19－n…bn＝1(3)
∵b9＝1，∴b18－k?bk＝b29＝1
∴b18－nb19－n?…?bn＝b2n－179＝1
∴(3)式成立，即(1)式成立．
綜上可知，當?shù)缺葦?shù)列{bn}滿足b9＝1時，有：
b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)成立．
三、解答題
15．已知：等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，有如下的性質：
(1)an＝am＋(n－m)?d.
(2)若m＋n＝p＋q，其中，m、n、p、q∈N*，則am＋an＝ap＋aq.
(3)若m＋n＝2p，m，n，p∈N*，則am＋an＝2ap.
(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n構成等差數(shù)列．
類比上述性質，在等比數(shù)列{bn}中，
寫出相類似的性質．
[解析] 等比數(shù)列{bn}中，公比q，前n項和Sn.
(1)通項an＝am?qn－m.
(2)若m＋n＝p＋q，其中m，n，p，q∈N*，
則am?an＝ap?aq.
(3)若m＋n＝2p，其中，m，n，p∈N*，則a2p＝am?an.
(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n構成等比數(shù)列．
16．先解答(1)，再根據(jù)結構類比解答(2)．
(1)已知a，b為實數(shù)，且a<1，b<1，求證：ab＋1>a＋b.
(2)已知a，b，c均為實數(shù)，且a<1，b<1，c<1，求證：abc＋2>a＋b＋c.
[解析] (1)ab＋1－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0.
(2)∵a<1，b<1，c<1，據(jù)(1)得(ab)?c＋1>ab＋c，
∴abc＋2＝[(ab)?c＋1]＋1>(ab＋c)＋1＝(ab＋1)＋c>a＋b＋c.
你能再用歸納推理方法猜想出更一般地結論嗎？
[點評] (1)與(2)的條件與結論有著相同的結構，通過分析(1)的推證過程及結論的構成進行類比推廣得出：(ab)?c＋1＞ab＋c是關鍵．
用歸納推理可推出更一般的結論：ai為實數(shù)，ai＜1，i＝1、2、…、n，則有：a1a2…an＋(n－1)＞a1＋a2＋…＋an.
17．點P22，22在圓C：x2＋y2＝1上，經過點P的圓的切線方程為22x＋22y＝1，又點Q(2,1)在圓C外部，容易證明直線2x＋y＝1與圓相交，點R12，12在圓C的內部．直線12x＋12y＝1與圓相離．類比上述結論，你能給出關于一點P(a，b)與圓x2＋y2＝r2的位置關系與相應直線與圓的位置關系的結論嗎？
[解析] 點P(a，b)在⊙C：x2＋y2＝r2上時，直線ax＋by＝r2與⊙C相切；點P在⊙C內時，直線ax＋by＝r2與⊙C相離；點P在⊙C外部時，直線ax＋by＝r2與⊙C相交．容易證明此結論是正確的．
18．我們知道：
12＝ 1，
22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1，
32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1，
42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1，
……
n2＝(n－1)2＋2(n－1)＋1，
左右兩邊分別相加，得
n2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋n
∴1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2.
類比上述推理方法寫出求
12＋22＋32＋…＋n2的表達式的過程．
[解析] 我們記S1(n)＝1＋2＋3＋…＋n，
S2(n)＝12＋22＋32＋…＋n2，…Sk(n)＝1k＋2k＋3k＋…＋nk (k∈N*)．
已知
13＝ 1，
23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1，
33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1，
43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1，
……
n3＝(n－1)3＋3(n－1)2＋3(n－1)＋1.
將左右兩邊分別相加，得
S3(n)＝[S3(n)－n3]＋3[S2(n)－n2]＋3[S1(n)－n]＋n.
由此知S2(n)＝n3＋3n2＋2n－3S1(n)3＝2n3＋3n2＋n6
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