1.?dāng)?shù)列1,12,14,…,12n,…是( )
A.遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列
C.常數(shù)列 D.?dāng)[動數(shù)列
答案:B
2.已知數(shù)列{an}的通項公式an=12[1+(-1)n+1],則該數(shù)列的前4項依次是( )
A.1,0,1,0 B.0,1,0,1
C.12,0,12,0 D.2,0,2,0
答案:A
3.?dāng)?shù)列{an}的通項公式an=cn+dn,又知a2=32,a4=154,則a10=__________.
答案:9910
4.已知數(shù)列{an}的通項公式an=2n2+n.
(1)求a8、a10.
(2)問:110是不是它的項?若是,為第幾項?
解:(1)a8=282+8=136,a10=2102+10=155.
(2)令an=2n2+n=110,∴n2+n=20.
解得n=4.∴110是數(shù)列的第4項.
一、
1.已知數(shù)列{an}中,an=n2+n,則a3等于( )
A.3 B.9
C.12 D.20
答案:C
2.下列數(shù)列中,既是遞增數(shù)列又是無窮數(shù)列的是( )
A.1,12,13,14,…
B.-1,-2,-3,-4,…
C.-1,-12,-14,-18,…
D.1,2,3,…,n
解析:選C.對于A,an=1n,n∈N*,它是無窮遞減數(shù)列;對于B,an=-n,n∈N*,它也是無窮遞減數(shù)列;D是有窮數(shù)列;對于C,an=-(12)n-1,它是無窮遞增數(shù)列.
3.下列說法不正確的是( )
A.根據(jù)通項公式可以求出數(shù)列的任何一項
B.任何數(shù)列都有通項公式
C.一個數(shù)列可能有幾個不同形式的通項公式
D.有些數(shù)列可能不存在最大項
解析:選B.不是所有的數(shù)列都有通項公式,如0,1,2,1,0,….
4.?dāng)?shù)列23,45,67,89,…的第10項是( )
A.1617 B.1819
C.2021 D.2223
解析:選C.由題意知數(shù)列的通項公式是an=2n2n+1,
∴a10=2×102×10+1=2021.故選C.
5.已知非零數(shù)列{an}的遞推公式為an=nn-1•an-1(n>1),則a4=( )
A.3a1 B.2a1
C.4a1 D.1
解析:選C.依次對遞推公式中的n賦值,當(dāng)n=2時,a2=2a1;當(dāng)n=3時,a3=32a2=3a1;當(dāng)n=4時,a4=43a3=4a1.
6.(2011年浙江樂嘉調(diào)研)已知數(shù)列{an}滿足a1>0,且an+1=12an,則數(shù)列{an}是( )
A.遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列
C.常數(shù)列 D.?dāng)[動數(shù)列
解析:選B.由a1>0,且an+1=12an,則an>0.
又an+1an=12<1,∴an+1<an.
因此數(shù)列{an}為遞減數(shù)列.
二、題
7.已知數(shù)列{an}的通項公式an=19-2n,則使an>0成立的最大正整數(shù)n的值為__________.
解析:由an=19-2n>0,得n<192,∵n∈N*,∴n≤9.
答案:9
8.已知數(shù)列{an}滿足a1=2,a2=5,a3=23,且an+1=αan+β,則α、β的值分別為________、________.
解析:由題意an+1=αan+β,
得a2=αa1+βa3=αa2+β⇒5=2α+β23=5α+β⇒α=6,β=-7.
答案:6。7
9.已知{an}滿足an=-1nan-1+1(n≥2),a7=47,則a5=________.
解析:a7=-1a6+1,a6=1a5+1,∴a5=34.
答案:34
三、解答題
10.寫出數(shù)列1,23,35,47,…的一個通項公式,并判斷它的增減性.
解:數(shù)列的一個通項公式an=n2n-1.
又∵an+1-an=n+12n+1-n2n-1=-12n+12n-1<0,
∴an+1<an.
∴{an}是遞減數(shù)列.
11.在數(shù)列{an}中,a1=3,a17=67,通項公式是關(guān)于n的一次函數(shù).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求a2011;
(3)2011是否為數(shù)列{an}中的項?若是,為第幾項?
解:(1)設(shè)an=kn+b(k≠0),則有k+b=3,17k+b=67,
解得k=4,b=-1.∴an=4n-1.
(2)a2011=4×2011-1=8043.
(3)令2011=4n-1,解得n=503∈N*,
∴2011是數(shù)列{an}的第503項.
12.?dāng)?shù)列{an}的通項公式為an=30+n-n2.
(1)問-60是否是{an}中的一項?
(2)當(dāng)n分別取何值時,an=0,an>0,an<0?
解:(1)假設(shè)-60是{an}中的一項,則-60=30+n-n2.
解得n=10或n=-9(舍去).
∴-60是{an}的第10項.
(2)分別令30+n-n2=0;>0;<0,
解得n=6;0<n<6;n>6,
即n=6時,an=0;
0<n<6時,an>0;
n>6時,an<0.
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